Номер 850, страница 210 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

850. При каких значениях a биквадратное уравнение имеет только два различных корня?

x⁴ + ax² + a – 1 = 0

Данное уравнение является биквадратным. Для его решения введем замену переменной.Пусть $t = x^2$. Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, то $t \ge 0$.После замены исходное уравнение принимает вид квадратного уравнения относительно переменной $t$:

$t^2 + at + a - 1 = 0$

Теперь проанализируем, как количество корней исходного биквадратного уравнения зависит от корней этого квадратного уравнения.

• Если квадратное уравнение имеет корень $t > 0$, то из $x^2 = t$ мы получаем два различных действительных корня для $x$: $x_1 = \sqrt{t}$ и $x_2 = -\sqrt{t}$.
• Если квадратное уравнение имеет корень $t = 0$, то из $x^2 = 0$ мы получаем один корень для $x$: $x = 0$.
• Если квадратное уравнение имеет корень $t < 0$, то из $x^2 = t$ мы не получаем действительных корней для $x$.

По условию задачи, исходное биквадратное уравнение должно иметь ровно два различных корня. Это возможно в следующих двух случаях:

1) Квадратное уравнение $t^2 + at + a - 1 = 0$ имеет один положительный и один отрицательный корень ($t_1 > 0$ и $t_2 < 0$). В этом случае корень $t_1$ даст два различных корня для $x$, а корень $t_2$ не даст действительных корней.

2) Квадратное уравнение $t^2 + at + a - 1 = 0$ имеет один двукратный (совпадающий) положительный корень ($t_1 = t_2 > 0$). В этом случае этот корень даст два различных корня для $x$.

Рассмотрим каждый случай отдельно.

Случай 1: Квадратное уравнение имеет один положительный и один отрицательный корень.

Согласно теореме Виета, для того чтобы корни квадратного уравнения $t^2 + pt + q = 0$ имели разные знаки, необходимо и достаточно, чтобы их произведение было отрицательным, то есть $q < 0$.В нашем уравнении $t^2 + at + a - 1 = 0$ свободный член равен $a - 1$.Следовательно, условие имеет вид:

$a - 1 < 0$

$a < 1$

При этом условии дискриминант $D = a^2 - 4 \cdot 1 \cdot (a-1) = a^2 - 4a + 4 = (a-2)^2$ всегда будет строго больше нуля, так как если $a < 1$, то $a \neq 2$, а значит $D > 0$. Это гарантирует наличие двух различных корней $t_1$ и $t_2$.Таким образом, при $a < 1$ биквадратное уравнение имеет ровно два различных корня.

Случай 2: Квадратное уравнение имеет один двукратный положительный корень.

Для наличия одного двукратного корня необходимо, чтобы дискриминант был равен нулю.

$D = (a-2)^2 = 0$

Отсюда $a = 2$.

Теперь нужно проверить, будет ли этот двукратный корень положительным при $a=2$.Найдем этот корень по формуле $t = -a/2$:

$t = -2/2 = -1$

Так как корень $t = -1$ является отрицательным, уравнение $x^2 = -1$ не имеет действительных корней. Следовательно, при $a=2$ исходное уравнение не имеет корней вовсе. Этот случай не удовлетворяет условию задачи.

Объединяя результаты анализа обоих случаев, приходим к выводу, что биквадратное уравнение $x^4 + ax^2 + a - 1 = 0$ имеет только два различных корня при выполнении условия из первого случая.

Ответ: $a < 1$