Номер 849, страница 210 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии - номер 849, страница 210.

Условие.

849. При каком значении m корни уравнения x² – 2mx + m² – 1 = 0 принадлежат интервалу (–2; 4)?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Рассмотрим данное уравнение $x^2 - 2mx + m^2 - 1 = 0$.

Заметим, что левую часть уравнения можно преобразовать, выделив полный квадрат. Первые три слагаемых представляют собой квадрат разности:

$(x^2 - 2mx + m^2) - 1 = 0$

$(x - m)^2 - 1 = 0$

Перенесем 1 в правую часть:

$(x - m)^2 = 1$

Извлекая квадратный корень из обеих частей уравнения, получаем два возможных случая:

$x - m = 1$ или $x - m = -1$

Отсюда находим два корня уравнения:

$x_1 = m + 1$

$x_2 = m - 1$

Согласно условию задачи, оба корня должны принадлежать интервалу $(-2; 4)$. Это означает, что для обоих корней должны одновременно выполняться следующие двойные неравенства:

$\begin{cases} -2 < m - 1 < 4 \\ -2 < m + 1 < 4 \end{cases}$

Решим эту систему неравенств.

Решаем первое неравенство:

$-2 < m - 1 < 4$

Прибавим 1 ко всем трем частям неравенства, чтобы выделить $m$:

$-2 + 1 < m < 4 + 1$

$-1 < m < 5$

Таким образом, $m$ должно находиться в интервале $(-1; 5)$.

Решаем второе неравенство:

$-2 < m + 1 < 4$

Вычтем 1 из всех трех частей неравенства:

$-2 - 1 < m < 4 - 1$

$-3 < m < 3$

Таким образом, $m$ должно находиться в интервале $(-3; 3)$.

Чтобы оба условия выполнялись одновременно, необходимо найти пересечение полученных интервалов для $m$: $m \in (-1; 5)$ и $m \in (-3; 3)$.

Пересечением этих двух интервалов является интервал $(-1; 3)$.

Следовательно, при $m$, принадлежащем интервалу $(-1; 3)$, оба корня уравнения будут находиться в заданном интервале $(-2; 4)$.

Ответ: $m \in (-1; 3)$.