Номер 842, страница 209 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии - номер 842, страница 209.

Условие.

842. Найдите координаты общих точек оси x и графика функции y = x² – 4x + |2x – 8|.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Чтобы найти координаты общих точек графика функции $y = x^2 - 4x + |2x - 8|$ и оси $x$, необходимо найти точки, в которых координата $y$ равна нулю. Для этого решим уравнение:

$x^2 - 4x + |2x - 8| = 0$

Для решения этого уравнения необходимо раскрыть модуль, рассмотрев два случая в зависимости от знака подмодульного выражения.

Случай 1: подмодульное выражение неотрицательно, $2x - 8 \ge 0$.

Это неравенство выполняется при $2x \ge 8$, то есть при $x \ge 4$. В этом случае модуль раскрывается со знаком плюс: $|2x - 8| = 2x - 8$. Подставим это выражение в исходное уравнение:

$x^2 - 4x + (2x - 8) = 0$

$x^2 - 2x - 8 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Воспользуемся теоремой Виета: сумма корней равна 2, а их произведение равно -8. Отсюда находим корни: $x_1 = 4$ и $x_2 = -2$.

Теперь необходимо проверить, удовлетворяют ли найденные корни условию $x \ge 4$.

Корень $x_1 = 4$ удовлетворяет условию ($4 \ge 4$), следовательно, является решением.

Корень $x_2 = -2$ не удовлетворяет условию (поскольку $-2 < 4$), следовательно, он не является решением в данном случае.

Случай 2: подмодульное выражение отрицательно, $2x - 8 < 0$.

Это неравенство выполняется при $2x < 8$, то есть при $x < 4$. В этом случае модуль раскрывается со знаком минус: $|2x - 8| = -(2x - 8) = -2x + 8$. Подставим это выражение в исходное уравнение:

$x^2 - 4x + (-2x + 8) = 0$

$x^2 - 6x + 8 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 6, а их произведение равно 8. Отсюда находим корни: $x_3 = 2$ и $x_4 = 4$.

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни условию $x < 4$.

Корень $x_3 = 2$ удовлетворяет условию ($2 < 4$), следовательно, является решением.

Корень $x_4 = 4$ не удовлетворяет условию (поскольку $4$ не меньше $4$), следовательно, он не является решением в данном случае.

Объединив решения из обоих случаев, получаем две абсциссы точек пересечения графика с осью $x$: $x=2$ и $x=4$. Поскольку эти точки лежат на оси $x$, их ордината $y$ равна 0. Таким образом, координаты общих точек:

$(2, 0)$ и $(4, 0)$.

Ответ: $(2, 0)$, $(4, 0)$.