Номер 839, страница 209 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии - номер 839, страница 209.

Условие.

839. При каком значении a сумма квадратов корней квадратного трёхчлена x² – (a – 2)x – a – 1 принимает наименьшее значение?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни данного квадратного трёхчлена $x^2 - (a - 2)x - a - 1$. Нам нужно найти значение параметра $a$, при котором сумма квадратов корней, то есть выражение $x_1^2 + x_2^2$, принимает наименьшее значение.

В первую очередь, убедимся, что у трёхчлена есть действительные корни. Для этого его дискриминант $D$ должен быть неотрицательным.$D = b^2 - 4ac = (-(a-2))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-a-1) = (a-2)^2 + 4(a+1) = a^2 - 4a + 4 + 4a + 4 = a^2 + 8$.

Поскольку $a^2 \ge 0$ для любого действительного $a$, то $D = a^2 + 8$ всегда больше нуля. Это означает, что при любом значении $a$ уравнение имеет два различных действительных корня.

Воспользуемся теоремой Виета для приведённого квадратного уравнения.Сумма корней: $x_1 + x_2 = -(-(a-2)) = a-2$.Произведение корней: $x_1 x_2 = -a-1$.

Теперь выразим сумму квадратов корней через сумму и произведение корней:$x_1^2 + x_2^2 = (x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2) - 2x_1x_2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$.

Подставим в это выражение найденные по теореме Виета значения, выраженные через $a$. Обозначим сумму квадратов корней как функцию от $a$, $S(a)$:$S(a) = (a-2)^2 - 2(-a-1) = (a^2 - 4a + 4) + 2a + 2 = a^2 - 2a + 6$.

Задача свелась к нахождению значения $a$, при котором квадратичная функция $S(a) = a^2 - 2a + 6$ принимает наименьшее значение. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх (коэффициент при $a^2$ равен 1, что больше 0). Наименьшее значение достигается в вершине параболы.

Абсциссу вершины параболы $y = Ax^2+Bx+C$ находят по формуле $x_0 = -\frac{B}{2A}$.В нашем случае $S(a) = a^2 - 2a + 6$, где $A=1$, $B=-2$.$a_0 = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = \frac{2}{2} = 1$.

Таким образом, сумма квадратов корней принимает наименьшее значение при $a=1$.

Ответ: $1$.