Номер 859, страница 211 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

859. Знаменатель обыкновенной дроби меньше квадрата её числителя на 1. Если числитель и знаменатель этой дроби увеличить на 2, то значение дроби станет больше $\frac{1}{4}$, а если числитель и знаменатель уменьшить на 3, то значение дроби станет меньше $\frac{1}{10}$. Найдите такие дроби.

Пусть числитель искомой дроби равен $x$, а знаменатель равен $y$. Тогда дробь имеет вид $\frac{x}{y}$. Из условия задачи следует, что $x$ и $y$ — натуральные числа.

Первое условие задачи: "Знаменатель обыкновенной дроби меньше квадрата её числителя на 1". Запишем это в виде уравнения:$y = x^2 - 1$.Поскольку знаменатель $y$ должен быть положительным, то $x^2 - 1 > 0$, что означает $x^2 > 1$. Так как $x$ — натуральное число, то $x \ge 2$.

Второе условие задачи: "Если числитель и знаменатель этой дроби увеличить на 2, то значение дроби станет больше $\frac{1}{4}$". Составим неравенство:$\frac{x+2}{y+2} > \frac{1}{4}$Подставим выражение для $y$ из первого условия:$\frac{x+2}{(x^2 - 1) + 2} > \frac{1}{4}$$\frac{x+2}{x^2 + 1} > \frac{1}{4}$Так как $x \ge 2$, то знаменатель $x^2 + 1$ всегда положителен. Можем умножить обе части неравенства на $4(x^2 + 1)$, не меняя знака неравенства:$4(x+2) > x^2 + 1$$4x + 8 > x^2 + 1$$x^2 - 4x - 7 < 0$

Третье условие задачи: "если числитель и знаменатель уменьшить на 3, то значение дроби станет меньше $\frac{1}{10}$". Составим неравенство:$\frac{x-3}{y-3} < \frac{1}{10}$Чтобы знаменатель новой дроби был положительным, необходимо, чтобы $y-3 > 0$. Подставим $y=x^2-1$:$(x^2 - 1) - 3 > 0 \implies x^2 - 4 > 0 \implies x^2 > 4$.Учитывая, что $x$ — натуральное число, получаем $x > 2$, то есть $x \ge 3$.Теперь вернемся к неравенству. Подставим $y=x^2-1$:$\frac{x-3}{x^2 - 4} < \frac{1}{10}$При $x \ge 3$ знаменатель $x^2-4$ положителен. Умножим обе части на $10(x^2 - 4)$:$10(x-3) < x^2 - 4$$10x - 30 < x^2 - 4$$x^2 - 10x + 26 > 0$

Итак, мы получили систему условий для натурального числа $x$:$\begin{cases}x \ge 3 \\x^2 - 4x - 7 < 0 \\x^2 - 10x + 26 > 0\end{cases}$

Рассмотрим неравенство $x^2 - 4x - 7 < 0$. Найдем корни уравнения $x^2 - 4x - 7 = 0$ с помощью дискриминанта: $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 16 + 28 = 44$.Корни: $x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{44}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{11}}{2} = 2 \pm \sqrt{11}$.Так как ветви параболы $y=x^2-4x-7$ направлены вверх, неравенство выполняется между корнями: $2 - \sqrt{11} < x < 2 + \sqrt{11}$.Приближенно оценим значения: $3 < \sqrt{11} < 4$, поэтому $2 - \sqrt{11} \approx 2 - 3.3 = -1.3$, а $2 + \sqrt{11} \approx 2 + 3.3 = 5.3$.Таким образом, $ -1.3 < x < 5.3 $.

Рассмотрим неравенство $x^2 - 10x + 26 > 0$. Найдем дискриминант уравнения $x^2 - 10x + 26 = 0$: $D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 26 = 100 - 104 = -4$.Так как дискриминант отрицателен, а ветви параболы направлены вверх, то выражение $x^2 - 10x + 26$ всегда положительно. Это неравенство верно для любого $x$.

Теперь объединим все условия для $x$: $x$ — натуральное число, $x \ge 3$ и $2 - \sqrt{11} < x < 2 + \sqrt{11}$.Учитывая, что $2+\sqrt{11} \approx 5.3$, получаем, что натуральные числа $x$, удовлетворяющие всем условиям, это $x=3$, $x=4$, $x=5$.

Найдем соответствующие дроби для каждого значения $x$:

1. Если $x=3$, то $y = 3^2 - 1 = 8$. Дробь $\frac{3}{8}$.
   Проверка:
   • $\frac{3+2}{8+2} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$. $\frac{1}{2} > \frac{1}{4}$ (верно).
   • $\frac{3-3}{8-3} = \frac{0}{5} = 0$. $0 < \frac{1}{10}$ (верно).
2. Если $x=4$, то $y = 4^2 - 1 = 15$. Дробь $\frac{4}{15}$.
   Проверка:
   • $\frac{4+2}{15+2} = \frac{6}{17}$. Сравним $\frac{6}{17}$ и $\frac{1}{4}$. $6 \cdot 4 = 24$, $17 \cdot 1 = 17$. Так как $24>17$, то $\frac{6}{17} > \frac{1}{4}$ (верно).
   • $\frac{4-3}{15-3} = \frac{1}{12}$. Так как $12 > 10$, то $\frac{1}{12} < \frac{1}{10}$ (верно).
3. Если $x=5$, то $y = 5^2 - 1 = 24$. Дробь $\frac{5}{24}$.
   Проверка:
   • $\frac{5+2}{24+2} = \frac{7}{26}$. Сравним $\frac{7}{26}$ и $\frac{1}{4}$. $7 \cdot 4 = 28$, $26 \cdot 1 = 26$. Так как $28>26$, то $\frac{7}{26} > \frac{1}{4}$ (верно).
   • $\frac{5-3}{24-3} = \frac{2}{21}$. Сравним $\frac{2}{21}$ и $\frac{1}{10}$. $2 \cdot 10 = 20$, $21 \cdot 1 = 21$. Так как $20<21$, то $\frac{2}{21} < \frac{1}{10}$ (верно).

Все три найденных значения $x$ приводят к дробям, удовлетворяющим условиям задачи.

Ответ: $\frac{3}{8}$, $\frac{4}{15}$, $\frac{5}{24}$.