Номер 871, страница 212 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Авторы: Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И., Суворова С. Б.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2023 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: белый, зелёный, фиолетовый
ISBN: 978-5-09-112135-3
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 9 классе
Задачи повышенной трудности. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии - номер 871, страница 212.
№871 (с. 212)
Условие. №871 (с. 212)
скриншот условия

871. Пусть a₁, a₂, ... — арифметическая прогрессия с положительными членами. Докажите, что сумма первых n членов последовательности (xₙ), где

Решение 1. №871 (с. 212)


Решение 2. №871 (с. 212)

Решение 3. №871 (с. 212)

Решение 4. №871 (с. 212)

Решение 5. №871 (с. 212)

Решение 7. №871 (с. 212)

Решение 8. №871 (с. 212)
Пусть $(a_n)$ — арифметическая прогрессия с разностью $d$. По условию, все члены прогрессии $a_n$ положительны. Требуется доказать, что сумма $S_n = \sum_{k=1}^{n} x_k$, где $x_k = \frac{1}{\sqrt{a_k} + \sqrt{a_{k+1}}}$, равна $\frac{n}{\sqrt{a_1} + \sqrt{a_{n+1}}}$.
Рассмотрим два случая.
1. Случай, когда разность прогрессии $d \neq 0$.
Преобразуем общий член последовательности $x_k$. Для этого умножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное знаменателю, то есть на $\sqrt{a_{k+1}} - \sqrt{a_k}$:
$x_k = \frac{1}{\sqrt{a_k} + \sqrt{a_{k+1}}} = \frac{1}{\sqrt{a_k} + \sqrt{a_{k+1}}} \cdot \frac{\sqrt{a_{k+1}} - \sqrt{a_k}}{\sqrt{a_{k+1}} - \sqrt{a_k}} = \frac{\sqrt{a_{k+1}} - \sqrt{a_k}}{(\sqrt{a_{k+1}})^2 - (\sqrt{a_k})^2} = \frac{\sqrt{a_{k+1}} - \sqrt{a_k}}{a_{k+1} - a_k}$.
По определению арифметической прогрессии, $a_{k+1} - a_k = d$. Следовательно,
$x_k = \frac{\sqrt{a_{k+1}} - \sqrt{a_k}}{d}$.
Теперь найдем сумму первых $n$ членов последовательности $(x_k)$:
$S_n = \sum_{k=1}^{n} x_k = \sum_{k=1}^{n} \frac{\sqrt{a_{k+1}} - \sqrt{a_k}}{d} = \frac{1}{d} \sum_{k=1}^{n} (\sqrt{a_{k+1}} - \sqrt{a_k})$.
Сумма в правой части является телескопической:
$\sum_{k=1}^{n} (\sqrt{a_{k+1}} - \sqrt{a_k}) = (\sqrt{a_2} - \sqrt{a_1}) + (\sqrt{a_3} - \sqrt{a_2}) + \dots + (\sqrt{a_{n+1}} - \sqrt{a_n}) = \sqrt{a_{n+1}} - \sqrt{a_1}$.
Таким образом, сумма $S_n$ равна:
$S_n = \frac{\sqrt{a_{n+1}} - \sqrt{a_1}}{d}$.
По формуле для $(n+1)$-го члена арифметической прогрессии, $a_{n+1} = a_1 + nd$. Отсюда $nd = a_{n+1} - a_1$.
Преобразуем полученное выражение для $S_n$, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{a_{n+1}} + \sqrt{a_1}$:
$S_n = \frac{\sqrt{a_{n+1}} - \sqrt{a_1}}{d} \cdot \frac{\sqrt{a_{n+1}} + \sqrt{a_1}}{\sqrt{a_{n+1}} + \sqrt{a_1}} = \frac{a_{n+1} - a_1}{d(\sqrt{a_{n+1}} + \sqrt{a_1})}$.
Подставим $a_{n+1} - a_1 = nd$ в числитель:
$S_n = \frac{nd}{d(\sqrt{a_{n+1}} + \sqrt{a_1})} = \frac{n}{\sqrt{a_1} + \sqrt{a_{n+1}}}$.
Таким образом, для случая $d \neq 0$ утверждение доказано.
2. Случай, когда разность прогрессии $d = 0$.
Если $d=0$, то все члены арифметической прогрессии равны первому члену: $a_k = a_1$ для любого $k$.
Тогда общий член последовательности $(x_k)$ имеет вид:
$x_k = \frac{1}{\sqrt{a_k} + \sqrt{a_{k+1}}} = \frac{1}{\sqrt{a_1} + \sqrt{a_1}} = \frac{1}{2\sqrt{a_1}}$.
Сумма первых $n$ членов будет равна:
$S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2\sqrt{a_1}} = n \cdot \frac{1}{2\sqrt{a_1}} = \frac{n}{2\sqrt{a_1}}$.
Правая часть доказываемого равенства в этом случае ($a_{n+1}=a_1$) также равна:
$\frac{n}{\sqrt{a_1} + \sqrt{a_{n+1}}} = \frac{n}{\sqrt{a_1} + \sqrt{a_1}} = \frac{n}{2\sqrt{a_1}}$.
Поскольку левая и правая части совпадают, утверждение верно и для $d=0$.
Итак, равенство доказано для любой арифметической прогрессии с положительными членами. Что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано, что $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{a_k} + \sqrt{a_{k+1}}} = \frac{n}{\sqrt{a_1} + \sqrt{a_{n+1}}}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 9 класс, для упражнения номер 871 расположенного на странице 212 к учебнику 2023 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №871 (с. 212), авторов: Макарычев (Юрий Николаевич), Миндюк (Нора Григорьевна), Нешков (Константин Иванович), Суворова (Светлана Борисовна), ФГОС (новый, красный) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.