Страница 212 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

869. Известно, что y = f(x) — линейная функция и x₁, x₂, x₃, … — арифметическая прогрессия. Докажите, что последовательность f(x₁), f(x₂), … является арифметической прогрессией.

По условию, y = f(x) является линейной функцией. Общий вид линейной функции: $f(x) = kx + b$, где $k$ и $b$ — некоторые постоянные числа.

Также по условию, последовательность $x_1, x_2, x_3, \dots$ является арифметической прогрессией. По определению арифметической прогрессии, разность между любым последующим и предыдущим членами постоянна. Обозначим эту разность как $d$. Таким образом, для любого натурального $n$: $x_{n+1} - x_n = d$.

Рассмотрим последовательность, состоящую из значений функции $f(x)$ в точках $x_n$: $y_1 = f(x_1), y_2 = f(x_2), y_3 = f(x_3), \dots$. Чтобы доказать, что эта последовательность $y_n$ является арифметической прогрессией, нужно показать, что разность $y_{n+1} - y_n$ является постоянной величиной для любого натурального $n$.

Вычислим эту разность: $y_{n+1} - y_n = f(x_{n+1}) - f(x_n)$.

Подставим в это выражение вид линейной функции $f(x) = kx + b$: $y_{n+1} - y_n = (k \cdot x_{n+1} + b) - (k \cdot x_n + b)$.

Раскроем скобки и упростим выражение: $y_{n+1} - y_n = kx_{n+1} + b - kx_n - b = kx_{n+1} - kx_n = k(x_{n+1} - x_n)$.

Мы знаем, что $x_{n+1} - x_n = d$. Подставим это значение в полученное равенство: $y_{n+1} - y_n = k \cdot d$.

Так как $k$ (угловой коэффициент функции) и $d$ (разность исходной прогрессии) являются постоянными величинами, их произведение $k \cdot d$ также является постоянной величиной.

Таким образом, мы доказали, что разность между любыми двумя последовательными членами последовательности $f(x_n)$ постоянна и равна $kd$. Следовательно, по определению, последовательность $f(x_1), f(x_2), \dots$ является арифметической прогрессией. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Последовательность значений линейной функции, аргументы которой образуют арифметическую прогрессию, сама является арифметической прогрессией с разностью $d' = kd$, где $k$ — угловой коэффициент линейной функции, а $d$ — разность исходной арифметической прогрессии.

870. В арифметической прогрессии a₁, a₂, a₃, a₄, состоящей из целых чисел, наибольший член равен сумме квадратов остальных членов. Найдите члены этой прогрессии.

Пусть дана арифметическая прогрессия $a_1, a_2, a_3, a_4$, состоящая из целых чисел. Обозначим разность прогрессии как $d$. Так как все члены прогрессии являются целыми числами, их разность $d = a_2 - a_1$ также должна быть целым числом. Члены прогрессии можно выразить через первый член $a_1$ и разность $d$: $a_2 = a_1 + d$, $a_3 = a_1 + 2d$, $a_4 = a_1 + 3d$.

По условию, наибольший член прогрессии равен сумме квадратов остальных трех членов. Рассмотрим три возможных случая для разности прогрессии $d$.

Случай 1: $d > 0$

Если разность прогрессии положительна, то прогрессия является возрастающей: $a_1 < a_2 < a_3 < a_4$. Наибольшим членом будет $a_4$. Согласно условию, имеем уравнение: $a_4 = a_1^2 + a_2^2 + a_3^2$ Подставим выражения для членов прогрессии через $a_1$ и $d$: $a_1 + 3d = a_1^2 + (a_1 + d)^2 + (a_1 + 2d)^2$ Раскроем скобки и упростим выражение: $a_1 + 3d = a_1^2 + (a_1^2 + 2a_1d + d^2) + (a_1^2 + 4a_1d + 4d^2)$ $a_1 + 3d = 3a_1^2 + 6a_1d + 5d^2$ Приведем уравнение к стандартному виду квадратного уравнения относительно $a_1$: $3a_1^2 + (6d - 1)a_1 + (5d^2 - 3d) = 0$ Так как $a_1$ должно быть целым числом, дискриминант этого уравнения $D$ должен быть полным квадратом целого числа. $D = (6d - 1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (5d^2 - 3d) = (36d^2 - 12d + 1) - 12(5d^2 - 3d) = 36d^2 - 12d + 1 - 60d^2 + 36d = -24d^2 + 24d + 1$ Мы ищем целые положительные значения $d$, при которых $D$ является полным квадратом. Проверим $d = 1$: $D = -24(1)^2 + 24(1) + 1 = -24 + 24 + 1 = 1 = 1^2$. Это полный квадрат. При $d \ge 2$, выражение $-24d^2 + 24d + 1$ будет отрицательным, так как это парабола с ветвями вниз, достигающая максимума при $d=0.5$. Таким образом, единственное подходящее значение — это $d=1$. Подставим $d=1$ и $D=1$ в формулу для корней квадратного уравнения: $a_1 = \frac{-(6d - 1) \pm \sqrt{D}}{2 \cdot 3} = \frac{-(6 \cdot 1 - 1) \pm \sqrt{1}}{6} = \frac{-5 \pm 1}{6}$ Получаем два возможных значения для $a_1$: $a_{1,1} = \frac{-5 + 1}{6} = -\frac{4}{6} = -\frac{2}{3}$. Это не целое число, поэтому данное решение не подходит. $a_{1,2} = \frac{-5 - 1}{6} = -\frac{6}{6} = -1$. Это целое число. Найдем члены прогрессии для $a_1 = -1$ и $d = 1$: $a_1 = -1$, $a_2 = 0$, $a_3 = 1$, $a_4 = 2$. Прогрессия: -1, 0, 1, 2. Проверим условие: наибольший член $2$ равен сумме квадратов остальных: $(-1)^2 + 0^2 + 1^2 = 1 + 0 + 1 = 2$. Условие выполняется.

Случай 2: $d < 0$

Если разность прогрессии отрицательна, то прогрессия является убывающей: $a_1 > a_2 > a_3 > a_4$. Наибольшим членом будет $a_1$. Уравнение по условию: $a_1 = a_2^2 + a_3^2 + a_4^2$ Подставим выражения для членов прогрессии: $a_1 = (a_1 + d)^2 + (a_1 + 2d)^2 + (a_1 + 3d)^2$ $a_1 = (a_1^2 + 2a_1d + d^2) + (a_1^2 + 4a_1d + 4d^2) + (a_1^2 + 6a_1d + 9d^2)$ $a_1 = 3a_1^2 + 12a_1d + 14d^2$ Приведем к квадратному уравнению относительно $a_1$: $3a_1^2 + (12d - 1)a_1 + 14d^2 = 0$ Найдем дискриминант $D$: $D = (12d - 1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (14d^2) = (144d^2 - 24d + 1) - 168d^2 = -24d^2 - 24d + 1$ Ищем целые отрицательные значения $d$, при которых $D$ является полным квадратом. Проверим $d = -1$: $D = -24(-1)^2 - 24(-1) + 1 = -24 + 24 + 1 = 1 = 1^2$. Это полный квадрат. При $d \le -2$, выражение $-24d^2 - 24d + 1$ будет отрицательным, так как это парабола с ветвями вниз, достигающая максимума при $d=-0.5$. Следовательно, единственное подходящее значение — это $d=-1$. Подставим $d=-1$ и $D=1$ в формулу для корней: $a_1 = \frac{-(12d - 1) \pm \sqrt{D}}{2 \cdot 3} = \frac{-(12(-1) - 1) \pm \sqrt{1}}{6} = \frac{-(-13) \pm 1}{6} = \frac{13 \pm 1}{6}$ Получаем два возможных значения для $a_1$: $a_{1,1} = \frac{13 + 1}{6} = \frac{14}{6} = \frac{7}{3}$. Не целое число. $a_{1,2} = \frac{13 - 1}{6} = \frac{12}{6} = 2$. Целое число. Найдем члены прогрессии для $a_1 = 2$ и $d = -1$: $a_1 = 2$, $a_2 = 1$, $a_3 = 0$, $a_4 = -1$. Прогрессия: 2, 1, 0, -1. Проверим условие: наибольший член $2$ равен сумме квадратов остальных: $1^2 + 0^2 + (-1)^2 = 1 + 0 + 1 = 2$. Условие выполняется.

Случай 3: $d = 0$

Если разность прогрессии равна нулю, то все члены прогрессии равны: $a_1 = a_2 = a_3 = a_4 = a$. В этом случае любой член можно считать наибольшим. Уравнение принимает вид: $a = a^2 + a^2 + a^2$ $a = 3a^2$ $3a^2 - a = 0$ $a(3a - 1) = 0$ Отсюда $a = 0$ или $3a - 1 = 0 \Rightarrow a = 1/3$. Поскольку члены прогрессии должны быть целыми, решение $a = 1/3$ не подходит. Остается $a = 0$. Прогрессия: 0, 0, 0, 0. Проверим условие: наибольший член $0$ равен сумме квадратов остальных: $0^2 + 0^2 + 0^2 = 0$. Условие выполняется.

Таким образом, мы нашли три возможные прогрессии, удовлетворяющие условию задачи.

Ответ: 0, 0, 0, 0; или -1, 0, 1, 2; или 2, 1, 0, -1.

871. Пусть a₁, a₂, ... — арифметическая прогрессия с положительными членами. Докажите, что сумма первых n членов последовательности (xₙ), где

Пусть $(a_n)$ — арифметическая прогрессия с разностью $d$. По условию, все члены прогрессии $a_n$ положительны. Требуется доказать, что сумма $S_n = \sum_{k=1}^{n} x_k$, где $x_k = \frac{1}{\sqrt{a_k} + \sqrt{a_{k+1}}}$, равна $\frac{n}{\sqrt{a_1} + \sqrt{a_{n+1}}}$.

Рассмотрим два случая.

1. Случай, когда разность прогрессии $d \neq 0$.

Преобразуем общий член последовательности $x_k$. Для этого умножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное знаменателю, то есть на $\sqrt{a_{k+1}} - \sqrt{a_k}$:

$x_k = \frac{1}{\sqrt{a_k} + \sqrt{a_{k+1}}} = \frac{1}{\sqrt{a_k} + \sqrt{a_{k+1}}} \cdot \frac{\sqrt{a_{k+1}} - \sqrt{a_k}}{\sqrt{a_{k+1}} - \sqrt{a_k}} = \frac{\sqrt{a_{k+1}} - \sqrt{a_k}}{(\sqrt{a_{k+1}})^2 - (\sqrt{a_k})^2} = \frac{\sqrt{a_{k+1}} - \sqrt{a_k}}{a_{k+1} - a_k}$.

По определению арифметической прогрессии, $a_{k+1} - a_k = d$. Следовательно,

$x_k = \frac{\sqrt{a_{k+1}} - \sqrt{a_k}}{d}$.

Теперь найдем сумму первых $n$ членов последовательности $(x_k)$:

$S_n = \sum_{k=1}^{n} x_k = \sum_{k=1}^{n} \frac{\sqrt{a_{k+1}} - \sqrt{a_k}}{d} = \frac{1}{d} \sum_{k=1}^{n} (\sqrt{a_{k+1}} - \sqrt{a_k})$.

Сумма в правой части является телескопической:

$\sum_{k=1}^{n} (\sqrt{a_{k+1}} - \sqrt{a_k}) = (\sqrt{a_2} - \sqrt{a_1}) + (\sqrt{a_3} - \sqrt{a_2}) + \dots + (\sqrt{a_{n+1}} - \sqrt{a_n}) = \sqrt{a_{n+1}} - \sqrt{a_1}$.

Таким образом, сумма $S_n$ равна:

$S_n = \frac{\sqrt{a_{n+1}} - \sqrt{a_1}}{d}$.

По формуле для $(n+1)$-го члена арифметической прогрессии, $a_{n+1} = a_1 + nd$. Отсюда $nd = a_{n+1} - a_1$.

Преобразуем полученное выражение для $S_n$, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{a_{n+1}} + \sqrt{a_1}$:

$S_n = \frac{\sqrt{a_{n+1}} - \sqrt{a_1}}{d} \cdot \frac{\sqrt{a_{n+1}} + \sqrt{a_1}}{\sqrt{a_{n+1}} + \sqrt{a_1}} = \frac{a_{n+1} - a_1}{d(\sqrt{a_{n+1}} + \sqrt{a_1})}$.

Подставим $a_{n+1} - a_1 = nd$ в числитель:

$S_n = \frac{nd}{d(\sqrt{a_{n+1}} + \sqrt{a_1})} = \frac{n}{\sqrt{a_1} + \sqrt{a_{n+1}}}$.

Таким образом, для случая $d \neq 0$ утверждение доказано.

2. Случай, когда разность прогрессии $d = 0$.

Если $d=0$, то все члены арифметической прогрессии равны первому члену: $a_k = a_1$ для любого $k$.

Тогда общий член последовательности $(x_k)$ имеет вид:

$x_k = \frac{1}{\sqrt{a_k} + \sqrt{a_{k+1}}} = \frac{1}{\sqrt{a_1} + \sqrt{a_1}} = \frac{1}{2\sqrt{a_1}}$.

Сумма первых $n$ членов будет равна:

$S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2\sqrt{a_1}} = n \cdot \frac{1}{2\sqrt{a_1}} = \frac{n}{2\sqrt{a_1}}$.

Правая часть доказываемого равенства в этом случае ($a_{n+1}=a_1$) также равна:

$\frac{n}{\sqrt{a_1} + \sqrt{a_{n+1}}} = \frac{n}{\sqrt{a_1} + \sqrt{a_1}} = \frac{n}{2\sqrt{a_1}}$.

Поскольку левая и правая части совпадают, утверждение верно и для $d=0$.

Итак, равенство доказано для любой арифметической прогрессии с положительными членами. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{a_k} + \sqrt{a_{k+1}}} = \frac{n}{\sqrt{a_1} + \sqrt{a_{n+1}}}$.

872. Докажите, что если стороны треугольника образуют геометрическую прогрессию, то его высоты также образуют геометрическую прогрессию.

Пусть стороны треугольника обозначены как $a$, $b$ и $c$. По условию, они образуют геометрическую прогрессию. Это означает, что существует такое число $q$ (знаменатель прогрессии), что $b = a \cdot q$ и $c = b \cdot q = a \cdot q^2$. Основное свойство для трех последовательных членов геометрической прогрессии заключается в том, что квадрат среднего члена равен произведению крайних, то есть $b^2 = ac$.

Обозначим высоты треугольника, проведенные к сторонам $a$, $b$ и $c$, как $h_a$, $h_b$ и $h_c$ соответственно.

Площадь треугольника $S$ можно выразить тремя способами через его стороны и соответствующие высоты:

$S = \frac{1}{2} a h_a$

$S = \frac{1}{2} b h_b$

$S = \frac{1}{2} c h_c$

Из этих равенств мы можем выразить высоты:

$h_a = \frac{2S}{a}$

$h_b = \frac{2S}{b}$

$h_c = \frac{2S}{c}$

Для того чтобы доказать, что высоты $h_a$, $h_b$, $h_c$ также образуют геометрическую прогрессию, нам нужно показать, что для них выполняется аналогичное свойство: $h_b^2 = h_a h_c$.

Рассмотрим левую часть этого предполагаемого равенства:

$h_b^2 = \left(\frac{2S}{b}\right)^2 = \frac{4S^2}{b^2}$

Теперь рассмотрим правую часть:

$h_a h_c = \left(\frac{2S}{a}\right) \cdot \left(\frac{2S}{c}\right) = \frac{4S^2}{ac}$

Поскольку мы знаем, что стороны $a, b, c$ образуют геометрическую прогрессию, мы можем использовать свойство $b^2 = ac$. Подставим $ac$ в выражение для произведения высот:

$h_a h_c = \frac{4S^2}{ac} = \frac{4S^2}{b^2}$

Сравнив полученные выражения для $h_b^2$ и $h_a h_c$, мы видим, что они равны:

$h_b^2 = h_a h_c$

Это равенство подтверждает, что последовательность высот $h_a, h_b, h_c$ является геометрической прогрессией. Что и требовалось доказать.

Кроме того, можно найти знаменатель $q'$ этой новой прогрессии. Он будет равен:

$q' = \frac{h_b}{h_a} = \frac{2S/b}{2S/a} = \frac{a}{b} = \frac{a}{aq} = \frac{1}{q}$

Аналогично, $\frac{h_c}{h_b} = \frac{b}{c} = \frac{aq}{aq^2} = \frac{1}{q}$. Знаменатель прогрессии высот является величиной, обратной знаменателю прогрессии сторон.

Ответ: Утверждение доказано. Если стороны треугольника образуют геометрическую прогрессию со знаменателем $q$, то его высоты, проведенные к этим сторонам, также образуют геометрическую прогрессию со знаменателем, равным $1/q$.

873. Три различных целых числа составляют геометрическую прогрессию. Их сумма равна –3. Найдите эти числа.

Пусть три различных целых числа, составляющие геометрическую прогрессию, это $b_1$, $b_2$ и $b_3$.Обозначим первый член прогрессии как $b$, а знаменатель прогрессии как $q$. Тогда члены прогрессии можно записать в виде:$b_1 = b$, $b_2 = bq$, $b_3 = bq^2$.

По условию задачи, эти числа являются различными целыми числами, и их сумма равна -3. Запишем это в виде уравнения:$b + bq + bq^2 = -3$

Вынесем $b$ за скобки:$b(1 + q + q^2) = -3$

Так как $b$, $bq$ и $bq^2$ — целые числа, то $b$ должно быть целым числом. Из уравнения следует, что $b$ является делителем числа -3. Возможные целые значения для $b$: $1, -1, 3, -3$.Знаменатель $q$ должен быть рациональным числом, так как $q = b_2/b_1$.Рассмотрим каждый возможный случай для $b$.

Случай 1: $b = 1$.
Подставим это значение в уравнение: $1 \cdot (1 + q + q^2) = -3$, что приводит к квадратному уравнению $q^2 + q + 4 = 0$.Дискриминант этого уравнения $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 1 - 16 = -15$.Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней для $q$. Следовательно, этот случай невозможен.

Случай 2: $b = -1$.
Подставим это значение в уравнение: $-1 \cdot (1 + q + q^2) = -3$, что равносильно $1 + q + q^2 = 3$, или $q^2 + q - 2 = 0$.Это уравнение можно разложить на множители: $(q + 2)(q - 1) = 0$.Отсюда получаем два возможных значения для $q$: $q_1 = 1$ и $q_2 = -2$.Если $q = 1$, то члены прогрессии: $b_1 = -1, b_2 = -1, b_3 = -1$. Эти числа не являются различными, что противоречит условию.Если $q = -2$, то члены прогрессии: $b_1 = -1$, $b_2 = -1 \cdot (-2) = 2$, $b_3 = -1 \cdot (-2)^2 = -4$.Мы получили числа: $-1, 2, -4$. Они являются различными целыми числами. Их сумма: $-1 + 2 + (-4) = -3$. Это решение удовлетворяет всем условиям.

Случай 3: $b = 3$.
Подставим это значение: $3 \cdot (1 + q + q^2) = -3$, что приводит к $q^2 + q + 2 = 0$.Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 - 8 = -7$.Так как $D < 0$, действительных корней нет, и этот случай невозможен.

Случай 4: $b = -3$.
Подставим это значение: $-3 \cdot (1 + q + q^2) = -3$, что приводит к $1 + q + q^2 = 1$, или $q^2 + q = 0$.Разложим на множители: $q(q + 1) = 0$.Возможные значения для $q$: $q_1 = 0$ и $q_2 = -1$.Если $q = 0$, то числа: $-3, 0, 0$. Они не различны.Если $q = -1$, то числа: $-3, 3, -3$. Они также не являются различными.Следовательно, и этот случай не дает решения.

Единственный набор чисел, который удовлетворяет всем условиям задачи, это $\{-1, 2, -4\}$. Порядок чисел может быть разным (например, $-4, 2, -1$ при $b=-4$ и $q=-1/2$), но сам набор чисел остается тем же.

Ответ: -1, 2, -4.

874. Три целых числа составляют арифметическую прогрессию, первый член которой 1. Если ко второму члену прибавить 3, а третий возвести в квадрат, то получится геометрическая прогрессия. Найдите эти числа.

Пусть три искомых целых числа образуют арифметическую прогрессию $a_1, a_2, a_3$. По условию, первый член этой прогрессии $a_1 = 1$. Обозначим разность арифметической прогрессии через $d$. Поскольку все три числа по условию являются целыми, а первый член $a_1=1$ — целое число, то разность $d$ также должна быть целым числом. Тогда члены прогрессии можно записать в следующем виде: $a_1 = 1$ $a_2 = a_1 + d = 1 + d$ $a_3 = a_1 + 2d = 1 + 2d$

Далее, согласно условию, мы производим следующие преобразования:

• Первый член оставляем без изменений.
• Ко второму члену прибавляем 3: $a_2 + 3 = (1 + d) + 3 = 4 + d$.
• Третий член возводим в квадрат: $(a_3)^2 = (1 + 2d)^2$.

В результате этих действий получается новая последовательность чисел $b_1, b_2, b_3$, которая является геометрической прогрессией: $b_1 = 1$ $b_2 = 4 + d$ $b_3 = (1 + 2d)^2$

Основное свойство геометрической прогрессии гласит, что квадрат любого её члена (кроме первого) равен произведению его соседних членов. Для нашей последовательности это означает, что $b_2^2 = b_1 \cdot b_3$. Подставим в это равенство выражения для $b_1, b_2, b_3$: $(4 + d)^2 = 1 \cdot (1 + 2d)^2$

Теперь решим полученное уравнение относительно $d$: $(4 + d)^2 = (1 + 2d)^2$ Раскроем скобки в обеих частях уравнения: $16 + 8d + d^2 = 1 + 4d + 4d^2$ Перенесём все члены в правую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $4d^2 - d^2 + 4d - 8d + 1 - 16 = 0$ $3d^2 - 4d - 15 = 0$ Для решения этого уравнения воспользуемся формулой корней квадратного уравнения через дискриминант $D = b^2 - 4ac$: $D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-15) = 16 + 180 = 196$ Так как $D = 196 = 14^2$, корни будут рациональными: $d_1 = \frac{-(-4) + \sqrt{196}}{2 \cdot 3} = \frac{4 + 14}{6} = \frac{18}{6} = 3$ $d_2 = \frac{-(-4) - \sqrt{196}}{2 \cdot 3} = \frac{4 - 14}{6} = \frac{-10}{6} = -\frac{5}{3}$

Как мы установили ранее, разность прогрессии $d$ должна быть целым числом, чтобы все три исходных числа были целыми. Следовательно, корень $d_2 = -\frac{5}{3}$ не удовлетворяет условию задачи. Единственным возможным значением для разности является $d = 3$.

Зная разность, найдем искомые три числа: $a_1 = 1$ $a_2 = 1 + d = 1 + 3 = 4$ $a_3 = 1 + 2d = 1 + 2 \cdot 3 = 7$ Итак, исходные числа — это 1, 4, 7.

Проведем проверку. Исходные числа 1, 4, 7 действительно образуют арифметическую прогрессию с первым членом 1 и разностью 3. Выполним преобразования, указанные в условии: $b_1 = 1$ $b_2 = 4 + 3 = 7$ $b_3 = 7^2 = 49$ Полученная последовательность 1, 7, 49 является геометрической прогрессией со знаменателем $q = 7$, так как $7/1 = 7$ и $49/7 = 7$. Условия задачи выполнены.

Ответ: 1, 4, 7.

875. Докажите, что при любом натуральном значении n › 1 верно неравенство

Требуется доказать двойное неравенство для любого натурального значения $n > 1$:

Доказательство можно разбить на две части: доказательство левого и правого неравенств по отдельности.

1. Доказательство правого неравенства: $\sqrt[n]{\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \dots \cdot (2n-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \dots \cdot 2n}} < 1$

Рассмотрим выражение под корнем. Его можно представить в виде произведения $n$ дробей:

Каждая дробь в этом произведении имеет вид $\frac{2k-1}{2k}$ для $k=1, 2, \dots, n$.

Для любого натурального $k \ge 1$ очевидно, что $2k-1 < 2k$. Следовательно, каждая дробь положительна и строго меньше единицы:

Произведение $n$ положительных чисел, каждое из которых меньше 1, также будет положительным числом, меньшим 1. Обозначим это произведение $A_n$. Тогда $0 < A_n < 1$.

Так как $A_n < 1$, то и корень $n$-й степени из $A_n$ будет меньше 1 (поскольку функция $y=\sqrt[n]{x}$ является возрастающей для $x>0$):

что равносильно

Таким образом, правая часть исходного неравенства доказана.

Ответ: Правое неравенство $\sqrt[n]{\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \dots \cdot (2n-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \dots \cdot 2n}} < 1$ доказано.

2. Доказательство левого неравенства: $\frac{1}{2} < \sqrt[n]{\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \dots \cdot (2n-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \dots \cdot 2n}}$

Поскольку обе части неравенства положительны, мы можем возвести их в степень $n$, при этом знак неравенства сохранится. Получим равносильное неравенство:

Преобразуем знаменатель дроби в правой части:

Подставим это выражение обратно в неравенство:

Умножим обе части неравенства на положительное число $2^n$:

Теперь умножим обе части на $n!$ (которое также положительно):

Осталось доказать это последнее неравенство для всех натуральных $n > 1$. Сравним произведения в левой и правой частях. Каждое произведение состоит из $n$ множителей.

Левая часть: $n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot n$.

Правая часть: $1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \dots \cdot (2n-1)$.

Сравним множители, стоящие на одинаковых местах (с номером $k$, где $k$ от 1 до $n$).

При $k=1$ множители равны: $1 = 1$.

При $k \ge 2$ $k$-й множитель слева равен $k$, а справа — $2k-1$. Сравним их: $2k-1 - k = k-1$. Так как по условию $n > 1$, мы рассматриваем $k \ge 2$, то $k-1 \ge 1 > 0$, откуда следует, что $k < 2k-1$.

Итак, для $n > 1$ первый множитель в произведениях одинаков, а все остальные $n-1$ множителей в левой части ($2, 3, \dots, n$) строго меньше соответствующих множителей в правой части ($3, 5, \dots, 2n-1$). Следовательно, и само произведение слева строго меньше произведения справа.

Таким образом, неравенство $n! < 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \dots \cdot (2n-1)$ верно для всех $n>1$. А поскольку все наши преобразования были равносильными, то и исходное левое неравенство также верно.

Ответ: Левое неравенство $\frac{1}{2} < \sqrt[n]{\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \dots \cdot (2n-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \dots \cdot 2n}}$ доказано.

Поскольку обе части двойного неравенства доказаны, исходное утверждение верно для любого натурального $n>1$.

876. Упростите выражение:

а)

Обозначим данное выражение через $x$: $x = \sqrt[3]{5\sqrt{2} + 7} - \sqrt[3]{5\sqrt{2} - 7}$.

Возведем обе части этого равенства в куб, используя формулу куба разности $(a-b)^3 = a^3 - b^3 - 3ab(a-b)$: $x^3 = (\sqrt[3]{5\sqrt{2} + 7} - \sqrt[3]{5\sqrt{2} - 7})^3$

$x^3 = (\sqrt[3]{5\sqrt{2} + 7})^3 - (\sqrt[3]{5\sqrt{2} - 7})^3 - 3 \cdot \sqrt[3]{5\sqrt{2} + 7} \cdot \sqrt[3]{5\sqrt{2} - 7} \cdot (\sqrt[3]{5\sqrt{2} + 7} - \sqrt[3]{5\sqrt{2} - 7})$

Упростим правую часть. Заметим, что выражение в последней скобке равно исходному выражению, то есть $x$. $x^3 = (5\sqrt{2} + 7) - (5\sqrt{2} - 7) - 3 \cdot \sqrt[3]{(5\sqrt{2} + 7)(5\sqrt{2} - 7)} \cdot x$

Вычислим значения в правой части:

$ (5\sqrt{2} + 7) - (5\sqrt{2} - 7) = 5\sqrt{2} + 7 - 5\sqrt{2} + 7 = 14 $.

Произведение под кубическим корнем является разностью квадратов: $ (5\sqrt{2} + 7)(5\sqrt{2} - 7) = (5\sqrt{2})^2 - 7^2 = 25 \cdot 2 - 49 = 50 - 49 = 1 $.

Подставим полученные значения обратно в уравнение для $x^3$: $x^3 = 14 - 3 \cdot \sqrt[3]{1} \cdot x$ $x^3 = 14 - 3x$

Мы получили кубическое уравнение: $x^3 + 3x - 14 = 0$.

Попробуем найти целый корень этого уравнения. Делителями свободного члена (-14) являются числа $\pm 1, \pm 2, \pm 7, \pm 14$. Подставим $x=2$: $2^3 + 3 \cdot 2 - 14 = 8 + 6 - 14 = 0$. Следовательно, $x=2$ является корнем уравнения.

Рассмотрим функцию $f(x) = x^3 + 3x - 14$. Ее производная $f'(x) = 3x^2 + 3$. Так как $x^2 \ge 0$, то $f'(x) > 0$ для любого $x$. Это означает, что функция $f(x)$ является строго возрастающей, и, следовательно, уравнение $f(x) = 0$ имеет только один действительный корень. Таким образом, $x=2$ - единственное решение.

Ответ: 2

б)

Обозначим данное выражение через $y$: $y = \sqrt[3]{2 + \sqrt{5}} + \sqrt[3]{2 - \sqrt{5}}$.

Возведем обе части этого равенства в куб, используя формулу куба суммы $(a+b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a+b)$: $y^3 = (\sqrt[3]{2 + \sqrt{5}} + \sqrt[3]{2 - \sqrt{5}})^3$

$y^3 = (\sqrt[3]{2 + \sqrt{5}})^3 + (\sqrt[3]{2 - \sqrt{5}})^3 + 3 \cdot \sqrt[3]{2 + \sqrt{5}} \cdot \sqrt[3]{2 - \sqrt{5}} \cdot (\sqrt[3]{2 + \sqrt{5}} + \sqrt[3]{2 - \sqrt{5}})$

Упростим правую часть. Выражение в последней скобке равно исходному выражению, то есть $y$. $y^3 = (2 + \sqrt{5}) + (2 - \sqrt{5}) + 3 \cdot \sqrt[3]{(2 + \sqrt{5})(2 - \sqrt{5})} \cdot y$

Вычислим значения в правой части:

$ (2 + \sqrt{5}) + (2 - \sqrt{5}) = 2 + \sqrt{5} + 2 - \sqrt{5} = 4 $.

Произведение под кубическим корнем является разностью квадратов: $ (2 + \sqrt{5})(2 - \sqrt{5}) = 2^2 - (\sqrt{5})^2 = 4 - 5 = -1 $.

Подставим полученные значения обратно в уравнение для $y^3$: $y^3 = 4 + 3 \cdot \sqrt[3]{-1} \cdot y$ $y^3 = 4 + 3(-1)y$ $y^3 = 4 - 3y$

Мы получили кубическое уравнение: $y^3 + 3y - 4 = 0$.

Попробуем найти целый корень этого уравнения. Делителями свободного члена (-4) являются числа $\pm 1, \pm 2, \pm 4$. Подставим $y=1$: $1^3 + 3 \cdot 1 - 4 = 1 + 3 - 4 = 0$. Следовательно, $y=1$ является корнем уравнения.

Рассмотрим функцию $g(y) = y^3 + 3y - 4$. Ее производная $g'(y) = 3y^2 + 3$. Так как $y^2 \ge 0$, то $g'(y) > 0$ для любого $y$. Это означает, что функция $g(y)$ является строго возрастающей, и, следовательно, уравнение $g(y) = 0$ имеет только один действительный корень. Таким образом, $y=1$ - единственное решение.

Ответ: 1

877. Докажите, что если x² + y² + z² = xy + yz + zx, то x = y = z.

Для доказательства утверждения преобразуем данное равенство $x^2 + y^2 + z^2 = xy + yz + zx$.

Сначала перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить равенство с нулем в правой части:
$x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx = 0$

Далее, умножим обе части уравнения на 2. Это преобразование является равносильным, так как правая часть равна нулю:
$2(x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx) = 2 \cdot 0$
$2x^2 + 2y^2 + 2z^2 - 2xy - 2yz - 2zx = 0$

Теперь сгруппируем слагаемые так, чтобы можно было применить формулу квадрата разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$. Для этого представим $2x^2$ как $x^2+x^2$, $2y^2$ как $y^2+y^2$ и $2z^2$ как $z^2+z^2$:
$(x^2 - 2xy + y^2) + (y^2 - 2yz + z^2) + (z^2 - 2zx + x^2) = 0$

Свернем каждую скобку в полный квадрат:
$(x - y)^2 + (y - z)^2 + (z - x)^2 = 0$

Мы получили сумму трех квадратов. Поскольку квадрат любого действительного числа является неотрицательным (т.е. $\ge 0$), сумма трех квадратов может равняться нулю только в том единственном случае, когда каждый из них равен нулю.
Следовательно, мы получаем систему уравнений:
$\begin{cases} (x - y)^2 = 0 \\ (y - z)^2 = 0 \\ (z - x)^2 = 0\end{cases}$

Из данной системы следует, что основания степеней также равны нулю:
$x - y = 0 \implies x = y$
$y - z = 0 \implies y = z$
$z - x = 0 \implies z = x$
Из этих равенств напрямую следует, что $x=y=z$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

878. Решите уравнение с двумя переменными

Дано уравнение с двумя переменными:

$x^2 + 2\sqrt{3}x + y - 4\sqrt{y} + 7 = 0$

Область допустимых значений для переменной $y$ определяется условием $y \ge 0$, так как подкоренное выражение не может быть отрицательным.

Для решения уравнения сгруппируем слагаемые, содержащие $x$ и $y$ отдельно, и применим метод выделения полного квадрата. Для этого представим константу 7 в виде суммы $3 + 4$.

$x^2 + 2\sqrt{3}x + y - 4\sqrt{y} + 3 + 4 = 0$

Перегруппируем слагаемые:

$(x^2 + 2\sqrt{3}x + 3) + (y - 4\sqrt{y} + 4) = 0$

Теперь заметим, что выражения в скобках являются полными квадратами. Для первого выражения используется формула квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$, а для второго — формула квадрата разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$.

Первое выражение: $x^2 + 2\sqrt{3}x + 3 = x^2 + 2 \cdot x \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = (x + \sqrt{3})^2$.

Второе выражение: $y - 4\sqrt{y} + 4 = (\sqrt{y})^2 - 2 \cdot \sqrt{y} \cdot 2 + 2^2 = (\sqrt{y} - 2)^2$.

Подставим эти выражения обратно в уравнение:

$(x + \sqrt{3})^2 + (\sqrt{y} - 2)^2 = 0$

Мы получили сумму двух неотрицательных слагаемых, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Сумма двух неотрицательных чисел равна нулю только в том случае, если каждое из них равно нулю.

Это приводит нас к системе двух уравнений:

$\begin{cases} (x + \sqrt{3})^2 = 0 \\ (\sqrt{y} - 2)^2 = 0 \end{cases}$

Решая эту систему, получаем:

$x + \sqrt{3} = 0 \implies x = -\sqrt{3}$

$\sqrt{y} - 2 = 0 \implies \sqrt{y} = 2 \implies y = 4$

Полученное значение $y=4$ удовлетворяет области допустимых значений ($4 \ge 0$).

Следовательно, уравнение имеет единственное решение.

Ответ: $(-\sqrt{3}; 4)$.

879. Решите систему уравнений

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} x^2 + y^2 - 2z^2 = 0 \\ x + y + z = 8 \\ xy = -z^2 \end{cases} $$

Воспользуемся методом подстановки. Из третьего уравнения системы $xy = -z^2$ следует, что $z^2 = -xy$.

Подставим это выражение для $z^2$ в первое уравнение системы:

$x^2 + y^2 - 2(-xy) = 0$

Раскроем скобки и приведем подобные члены:

$x^2 + y^2 + 2xy = 0$

Левая часть этого уравнения представляет собой полный квадрат суммы. Свернем его по формуле $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$(x+y)^2 = 0$

Из этого уравнения следует, что $x+y = 0$.

Теперь подставим полученное равенство $x+y = 0$ во второе уравнение исходной системы $x + y + z = 8$:

$(x+y) + z = 8$

$0 + z = 8$

Отсюда находим значение переменной $z$:

$z = 8$

Теперь, зная значение $z$, мы можем найти значения $x$ и $y$. Подставим $z=8$ в третье уравнение системы:

$xy = -z^2$

$xy = -(8)^2$

$xy = -64$

Таким образом, для нахождения $x$ и $y$ у нас есть система из двух уравнений:

$$ \begin{cases} x+y=0 \\ xy=-64 \end{cases} $$

Из первого уравнения выразим $y$ через $x$: $y = -x$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$x(-x) = -64$

$-x^2 = -64$

$x^2 = 64$

Это уравнение имеет два корня:

$x_1 = 8$ и $x_2 = -8$.

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого из найденных $x$:

1. Если $x_1 = 8$, то $y_1 = -x_1 = -8$.

2. Если $x_2 = -8$, то $y_2 = -x_2 = -(-8) = 8$.

Итак, мы получили две тройки решений $(x, y, z)$:

Первое решение: $(8, -8, 8)$.

Второе решение: $(-8, 8, 8)$.

Выполним проверку, подставив найденные решения в исходную систему.

Для тройки $(8, -8, 8)$:

$$ \begin{cases} 8^2 + (-8)^2 - 2 \cdot 8^2 = 64 + 64 - 2 \cdot 64 = 128 - 128 = 0 \\ 8 + (-8) + 8 = 0 + 8 = 8 \\ 8 \cdot (-8) = -64, \text{ и } -z^2 = -8^2 = -64 \end{cases} $$

Все уравнения выполняются, значит, это решение верное.

Для тройки $(-8, 8, 8)$:

$$ \begin{cases} (-8)^2 + 8^2 - 2 \cdot 8^2 = 64 + 64 - 2 \cdot 64 = 128 - 128 = 0 \\ -8 + 8 + 8 = 0 + 8 = 8 \\ (-8) \cdot 8 = -64, \text{ и } -z^2 = -8^2 = -64 \end{cases} $$

Все уравнения также выполняются, это решение тоже верное.

Ответ: $(8, -8, 8)$, $(-8, 8, 8)$.

880. Решите в натуральных числах систему уравнений

Дана система уравнений, которую необходимо решить в натуральных числах ($x, y, z \in \mathbb{N}$):

$ \begin{cases} x + y + z = 14, \\ x + yz = 19. \end{cases} $

Для решения системы вычтем первое уравнение из второго. Это позволит нам исключить переменную $x$ и получить уравнение с двумя переменными $y$ и $z$.

$(x + yz) - (x + y + z) = 19 - 14$

$yz - y - z = 5$

Полученное уравнение является диофантовым. Для его решения воспользуемся методом разложения на множители. Прибавим 1 к обеим частям уравнения:

$yz - y - z + 1 = 5 + 1$

Вынесем общие множители за скобки:

$y(z - 1) - 1(z - 1) = 6$

$(y - 1)(z - 1) = 6$

По условию задачи, $y$ и $z$ — натуральные числа, то есть $y \ge 1$ и $z \ge 1$. Это означает, что выражения $(y-1)$ и $(z-1)$ являются целыми неотрицательными числами. Поскольку их произведение равно 6 (положительное число), ни один из множителей не может быть равен нулю. Таким образом, $y-1 > 0$ и $z-1 > 0$.

Теперь нам нужно найти все пары целых положительных чисел, произведение которых равно 6. Рассмотрим все возможные комбинации для множителей $(y-1)$ и $(z-1)$:

• 1 и 6
• 2 и 3
• 3 и 2
• 6 и 1

Рассмотрим последовательно каждый из этих случаев.

Случай 1: $y - 1 = 1$ и $z - 1 = 6$.

Из этих уравнений находим $y = 2$ и $z = 7$.

Теперь найдем $x$, подставив значения $y$ и $z$ в первое уравнение исходной системы $x + y + z = 14$:

$x + 2 + 7 = 14 \implies x + 9 = 14 \implies x = 5$.

Получили решение $(5, 2, 7)$. Все переменные являются натуральными числами. Проверим это решение по второму уравнению $x + yz = 19$:

$5 + 2 \cdot 7 = 5 + 14 = 19$. Уравнение выполняется. Значит, $(5, 2, 7)$ — это верное решение.

Случай 2: $y - 1 = 2$ и $z - 1 = 3$.

Находим $y = 3$ и $z = 4$.

Подставляем в первое уравнение: $x + 3 + 4 = 14 \implies x + 7 = 14 \implies x = 7$.

Получили решение $(7, 3, 4)$. Проверяем по второму уравнению:

$7 + 3 \cdot 4 = 7 + 12 = 19$. Уравнение выполняется. Значит, $(7, 3, 4)$ — это верное решение.

Случай 3: $y - 1 = 3$ и $z - 1 = 2$.

Находим $y = 4$ и $z = 3$.

Подставляем в первое уравнение: $x + 4 + 3 = 14 \implies x + 7 = 14 \implies x = 7$.

Получили решение $(7, 4, 3)$. Проверяем по второму уравнению:

$7 + 4 \cdot 3 = 7 + 12 = 19$. Уравнение выполняется. Значит, $(7, 4, 3)$ — это верное решение.

Случай 4: $y - 1 = 6$ и $z - 1 = 1$.

Находим $y = 7$ и $z = 2$.

Подставляем в первое уравнение: $x + 7 + 2 = 14 \implies x + 9 = 14 \implies x = 5$.

Получили решение $(5, 7, 2)$. Проверяем по второму уравнению:

$5 + 7 \cdot 2 = 5 + 14 = 19$. Уравнение выполняется. Значит, $(5, 7, 2)$ — это верное решение.

Мы рассмотрели все возможные варианты для натуральных $y$ и $z$. Других решений в натуральных числах нет.

Ответ: $(5, 2, 7)$, $(7, 3, 4)$, $(7, 4, 3)$, $(5, 7, 2)$.