Номер 874, страница 212 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии - номер 874, страница 212.

Условие.

874. Три целых числа составляют арифметическую прогрессию, первый член которой 1. Если ко второму члену прибавить 3, а третий возвести в квадрат, то получится геометрическая прогрессия. Найдите эти числа.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Пусть три искомых целых числа образуют арифметическую прогрессию $a_1, a_2, a_3$. По условию, первый член этой прогрессии $a_1 = 1$. Обозначим разность арифметической прогрессии через $d$. Поскольку все три числа по условию являются целыми, а первый член $a_1=1$ — целое число, то разность $d$ также должна быть целым числом. Тогда члены прогрессии можно записать в следующем виде: $a_1 = 1$ $a_2 = a_1 + d = 1 + d$ $a_3 = a_1 + 2d = 1 + 2d$

Далее, согласно условию, мы производим следующие преобразования:

• Первый член оставляем без изменений.
• Ко второму члену прибавляем 3: $a_2 + 3 = (1 + d) + 3 = 4 + d$.
• Третий член возводим в квадрат: $(a_3)^2 = (1 + 2d)^2$.

В результате этих действий получается новая последовательность чисел $b_1, b_2, b_3$, которая является геометрической прогрессией: $b_1 = 1$ $b_2 = 4 + d$ $b_3 = (1 + 2d)^2$

Основное свойство геометрической прогрессии гласит, что квадрат любого её члена (кроме первого) равен произведению его соседних членов. Для нашей последовательности это означает, что $b_2^2 = b_1 \cdot b_3$. Подставим в это равенство выражения для $b_1, b_2, b_3$: $(4 + d)^2 = 1 \cdot (1 + 2d)^2$

Теперь решим полученное уравнение относительно $d$: $(4 + d)^2 = (1 + 2d)^2$ Раскроем скобки в обеих частях уравнения: $16 + 8d + d^2 = 1 + 4d + 4d^2$ Перенесём все члены в правую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $4d^2 - d^2 + 4d - 8d + 1 - 16 = 0$ $3d^2 - 4d - 15 = 0$ Для решения этого уравнения воспользуемся формулой корней квадратного уравнения через дискриминант $D = b^2 - 4ac$: $D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-15) = 16 + 180 = 196$ Так как $D = 196 = 14^2$, корни будут рациональными: $d_1 = \frac{-(-4) + \sqrt{196}}{2 \cdot 3} = \frac{4 + 14}{6} = \frac{18}{6} = 3$ $d_2 = \frac{-(-4) - \sqrt{196}}{2 \cdot 3} = \frac{4 - 14}{6} = \frac{-10}{6} = -\frac{5}{3}$

Как мы установили ранее, разность прогрессии $d$ должна быть целым числом, чтобы все три исходных числа были целыми. Следовательно, корень $d_2 = -\frac{5}{3}$ не удовлетворяет условию задачи. Единственным возможным значением для разности является $d = 3$.

Зная разность, найдем искомые три числа: $a_1 = 1$ $a_2 = 1 + d = 1 + 3 = 4$ $a_3 = 1 + 2d = 1 + 2 \cdot 3 = 7$ Итак, исходные числа — это 1, 4, 7.

Проведем проверку. Исходные числа 1, 4, 7 действительно образуют арифметическую прогрессию с первым членом 1 и разностью 3. Выполним преобразования, указанные в условии: $b_1 = 1$ $b_2 = 4 + 3 = 7$ $b_3 = 7^2 = 49$ Полученная последовательность 1, 7, 49 является геометрической прогрессией со знаменателем $q = 7$, так как $7/1 = 7$ и $49/7 = 7$. Условия задачи выполнены.

Ответ: 1, 4, 7.