Номер 876, страница 212 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Задачи повышенной трудности - номер 876, страница 212.

Условие.

876. Упростите выражение:

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а)

Обозначим данное выражение через $x$: $x = \sqrt[3]{5\sqrt{2} + 7} - \sqrt[3]{5\sqrt{2} - 7}$.

Возведем обе части этого равенства в куб, используя формулу куба разности $(a-b)^3 = a^3 - b^3 - 3ab(a-b)$: $x^3 = (\sqrt[3]{5\sqrt{2} + 7} - \sqrt[3]{5\sqrt{2} - 7})^3$

$x^3 = (\sqrt[3]{5\sqrt{2} + 7})^3 - (\sqrt[3]{5\sqrt{2} - 7})^3 - 3 \cdot \sqrt[3]{5\sqrt{2} + 7} \cdot \sqrt[3]{5\sqrt{2} - 7} \cdot (\sqrt[3]{5\sqrt{2} + 7} - \sqrt[3]{5\sqrt{2} - 7})$

Упростим правую часть. Заметим, что выражение в последней скобке равно исходному выражению, то есть $x$. $x^3 = (5\sqrt{2} + 7) - (5\sqrt{2} - 7) - 3 \cdot \sqrt[3]{(5\sqrt{2} + 7)(5\sqrt{2} - 7)} \cdot x$

Вычислим значения в правой части:

$ (5\sqrt{2} + 7) - (5\sqrt{2} - 7) = 5\sqrt{2} + 7 - 5\sqrt{2} + 7 = 14 $.

Произведение под кубическим корнем является разностью квадратов: $ (5\sqrt{2} + 7)(5\sqrt{2} - 7) = (5\sqrt{2})^2 - 7^2 = 25 \cdot 2 - 49 = 50 - 49 = 1 $.

Подставим полученные значения обратно в уравнение для $x^3$: $x^3 = 14 - 3 \cdot \sqrt[3]{1} \cdot x$ $x^3 = 14 - 3x$

Мы получили кубическое уравнение: $x^3 + 3x - 14 = 0$.

Попробуем найти целый корень этого уравнения. Делителями свободного члена (-14) являются числа $\pm 1, \pm 2, \pm 7, \pm 14$. Подставим $x=2$: $2^3 + 3 \cdot 2 - 14 = 8 + 6 - 14 = 0$. Следовательно, $x=2$ является корнем уравнения.

Рассмотрим функцию $f(x) = x^3 + 3x - 14$. Ее производная $f'(x) = 3x^2 + 3$. Так как $x^2 \ge 0$, то $f'(x) > 0$ для любого $x$. Это означает, что функция $f(x)$ является строго возрастающей, и, следовательно, уравнение $f(x) = 0$ имеет только один действительный корень. Таким образом, $x=2$ - единственное решение.

Ответ: 2

б)

Обозначим данное выражение через $y$: $y = \sqrt[3]{2 + \sqrt{5}} + \sqrt[3]{2 - \sqrt{5}}$.

Возведем обе части этого равенства в куб, используя формулу куба суммы $(a+b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a+b)$: $y^3 = (\sqrt[3]{2 + \sqrt{5}} + \sqrt[3]{2 - \sqrt{5}})^3$

$y^3 = (\sqrt[3]{2 + \sqrt{5}})^3 + (\sqrt[3]{2 - \sqrt{5}})^3 + 3 \cdot \sqrt[3]{2 + \sqrt{5}} \cdot \sqrt[3]{2 - \sqrt{5}} \cdot (\sqrt[3]{2 + \sqrt{5}} + \sqrt[3]{2 - \sqrt{5}})$

Упростим правую часть. Выражение в последней скобке равно исходному выражению, то есть $y$. $y^3 = (2 + \sqrt{5}) + (2 - \sqrt{5}) + 3 \cdot \sqrt[3]{(2 + \sqrt{5})(2 - \sqrt{5})} \cdot y$

Вычислим значения в правой части:

$ (2 + \sqrt{5}) + (2 - \sqrt{5}) = 2 + \sqrt{5} + 2 - \sqrt{5} = 4 $.

Произведение под кубическим корнем является разностью квадратов: $ (2 + \sqrt{5})(2 - \sqrt{5}) = 2^2 - (\sqrt{5})^2 = 4 - 5 = -1 $.

Подставим полученные значения обратно в уравнение для $y^3$: $y^3 = 4 + 3 \cdot \sqrt[3]{-1} \cdot y$ $y^3 = 4 + 3(-1)y$ $y^3 = 4 - 3y$

Мы получили кубическое уравнение: $y^3 + 3y - 4 = 0$.

Попробуем найти целый корень этого уравнения. Делителями свободного члена (-4) являются числа $\pm 1, \pm 2, \pm 4$. Подставим $y=1$: $1^3 + 3 \cdot 1 - 4 = 1 + 3 - 4 = 0$. Следовательно, $y=1$ является корнем уравнения.

Рассмотрим функцию $g(y) = y^3 + 3y - 4$. Ее производная $g'(y) = 3y^2 + 3$. Так как $y^2 \ge 0$, то $g'(y) > 0$ для любого $y$. Это означает, что функция $g(y)$ является строго возрастающей, и, следовательно, уравнение $g(y) = 0$ имеет только один действительный корень. Таким образом, $y=1$ - единственное решение.

Ответ: 1