Номер 876, страница 212 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Авторы: Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И., Суворова С. Б.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2023 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: белый, зелёный, фиолетовый
ISBN: 978-5-09-112135-3
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 9 классе
Задачи повышенной трудности. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии - номер 876, страница 212.
№876 (с. 212)
Условие. №876 (с. 212)
скриншот условия

876. Упростите выражение:

Решение 1. №876 (с. 212)


Решение 2. №876 (с. 212)


Решение 3. №876 (с. 212)

Решение 4. №876 (с. 212)

Решение 5. №876 (с. 212)

Решение 7. №876 (с. 212)

Решение 8. №876 (с. 212)
а)
Обозначим данное выражение через $x$: $x = \sqrt[3]{5\sqrt{2} + 7} - \sqrt[3]{5\sqrt{2} - 7}$.
Возведем обе части этого равенства в куб, используя формулу куба разности $(a-b)^3 = a^3 - b^3 - 3ab(a-b)$: $x^3 = (\sqrt[3]{5\sqrt{2} + 7} - \sqrt[3]{5\sqrt{2} - 7})^3$
$x^3 = (\sqrt[3]{5\sqrt{2} + 7})^3 - (\sqrt[3]{5\sqrt{2} - 7})^3 - 3 \cdot \sqrt[3]{5\sqrt{2} + 7} \cdot \sqrt[3]{5\sqrt{2} - 7} \cdot (\sqrt[3]{5\sqrt{2} + 7} - \sqrt[3]{5\sqrt{2} - 7})$
Упростим правую часть. Заметим, что выражение в последней скобке равно исходному выражению, то есть $x$. $x^3 = (5\sqrt{2} + 7) - (5\sqrt{2} - 7) - 3 \cdot \sqrt[3]{(5\sqrt{2} + 7)(5\sqrt{2} - 7)} \cdot x$
Вычислим значения в правой части:
$ (5\sqrt{2} + 7) - (5\sqrt{2} - 7) = 5\sqrt{2} + 7 - 5\sqrt{2} + 7 = 14 $.
Произведение под кубическим корнем является разностью квадратов: $ (5\sqrt{2} + 7)(5\sqrt{2} - 7) = (5\sqrt{2})^2 - 7^2 = 25 \cdot 2 - 49 = 50 - 49 = 1 $.
Подставим полученные значения обратно в уравнение для $x^3$: $x^3 = 14 - 3 \cdot \sqrt[3]{1} \cdot x$ $x^3 = 14 - 3x$
Мы получили кубическое уравнение: $x^3 + 3x - 14 = 0$.
Попробуем найти целый корень этого уравнения. Делителями свободного члена (-14) являются числа $\pm 1, \pm 2, \pm 7, \pm 14$. Подставим $x=2$: $2^3 + 3 \cdot 2 - 14 = 8 + 6 - 14 = 0$. Следовательно, $x=2$ является корнем уравнения.
Рассмотрим функцию $f(x) = x^3 + 3x - 14$. Ее производная $f'(x) = 3x^2 + 3$. Так как $x^2 \ge 0$, то $f'(x) > 0$ для любого $x$. Это означает, что функция $f(x)$ является строго возрастающей, и, следовательно, уравнение $f(x) = 0$ имеет только один действительный корень. Таким образом, $x=2$ - единственное решение.
Ответ: 2
б)
Обозначим данное выражение через $y$: $y = \sqrt[3]{2 + \sqrt{5}} + \sqrt[3]{2 - \sqrt{5}}$.
Возведем обе части этого равенства в куб, используя формулу куба суммы $(a+b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a+b)$: $y^3 = (\sqrt[3]{2 + \sqrt{5}} + \sqrt[3]{2 - \sqrt{5}})^3$
$y^3 = (\sqrt[3]{2 + \sqrt{5}})^3 + (\sqrt[3]{2 - \sqrt{5}})^3 + 3 \cdot \sqrt[3]{2 + \sqrt{5}} \cdot \sqrt[3]{2 - \sqrt{5}} \cdot (\sqrt[3]{2 + \sqrt{5}} + \sqrt[3]{2 - \sqrt{5}})$
Упростим правую часть. Выражение в последней скобке равно исходному выражению, то есть $y$. $y^3 = (2 + \sqrt{5}) + (2 - \sqrt{5}) + 3 \cdot \sqrt[3]{(2 + \sqrt{5})(2 - \sqrt{5})} \cdot y$
Вычислим значения в правой части:
$ (2 + \sqrt{5}) + (2 - \sqrt{5}) = 2 + \sqrt{5} + 2 - \sqrt{5} = 4 $.
Произведение под кубическим корнем является разностью квадратов: $ (2 + \sqrt{5})(2 - \sqrt{5}) = 2^2 - (\sqrt{5})^2 = 4 - 5 = -1 $.
Подставим полученные значения обратно в уравнение для $y^3$: $y^3 = 4 + 3 \cdot \sqrt[3]{-1} \cdot y$ $y^3 = 4 + 3(-1)y$ $y^3 = 4 - 3y$
Мы получили кубическое уравнение: $y^3 + 3y - 4 = 0$.
Попробуем найти целый корень этого уравнения. Делителями свободного члена (-4) являются числа $\pm 1, \pm 2, \pm 4$. Подставим $y=1$: $1^3 + 3 \cdot 1 - 4 = 1 + 3 - 4 = 0$. Следовательно, $y=1$ является корнем уравнения.
Рассмотрим функцию $g(y) = y^3 + 3y - 4$. Ее производная $g'(y) = 3y^2 + 3$. Так как $y^2 \ge 0$, то $g'(y) > 0$ для любого $y$. Это означает, что функция $g(y)$ является строго возрастающей, и, следовательно, уравнение $g(y) = 0$ имеет только один действительный корень. Таким образом, $y=1$ - единственное решение.
Ответ: 1
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 9 класс, для упражнения номер 876 расположенного на странице 212 к учебнику 2023 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №876 (с. 212), авторов: Макарычев (Юрий Николаевич), Миндюк (Нора Григорьевна), Нешков (Константин Иванович), Суворова (Светлана Борисовна), ФГОС (новый, красный) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.