Страница 214 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

892. Изобразите множество решений неравенства:

а) $y \le \frac{10}{|x|}$

Сначала рассмотрим границу множества решений — график функции $y = \frac{10}{|x|}$.

Область определения этой функции — все действительные числа, кроме $x=0$. Это означает, что прямая $x=0$ (ось OY) является вертикальной асимптотой и не входит в множество решений.

Так как в знаменателе стоит модуль $|x|$, функция является четной ($y(-x) = y(x)$), и ее график симметричен относительно оси OY.

Рассмотрим случай $x > 0$: $|x|=x$, и функция принимает вид $y = \frac{10}{x}$. Это ветвь гиперболы, расположенная в первой координатной четверти.

В силу симметрии, при $x < 0$ график будет таким же, как и при $x > 0$. Действительно, при $x < 0$, $|x|=-x$, и функция принимает вид $y = \frac{10}{-x}$, что является ветвью гиперболы во второй координатной четверти.

Исходное неравенство $y \le \frac{10}{|x|}$ означает, что решением являются все точки координатной плоскости, ординаты которых ($y$) меньше или равны значениям на графике $y = \frac{10}{|x|}$ при соответствующем значении $x$. Геометрически это соответствует области, расположенной ниже графика функции $y = \frac{10}{|x|}$.

Поскольку неравенство нестрогое ($\le$), точки, лежащие на самой кривой, также являются решениями. Поэтому граница изображается сплошной линией.

Ответ: Множество всех точек $(x, y)$ координатной плоскости, для которых $x \neq 0$ и $y \le \frac{10}{|x|}$. Геометрически это область, расположенная под ветвями гиперболы $y = \frac{10}{|x|}$, включая сами ветви.

б) $y + \left|\frac{8}{x}\right| \ge 0$

Преобразуем неравенство. Так как $\left|\frac{8}{x}\right| = \frac{8}{|x|}$, получаем $y + \frac{8}{|x|} \ge 0$. Выразим $y$:

$y \ge -\frac{8}{|x|}$

Границей множества решений является график функции $y = -\frac{8}{|x|}$. Область определения: $x \neq 0$.

Функция является четной, ее график симметричен относительно оси OY.

При $x > 0$ получаем $y = -\frac{8}{x}$. Это ветвь гиперболы, расположенная в четвертой координатной четверти.

При $x < 0$ получаем $y = -\frac{8}{-x} = \frac{8}{x}$. Это ветвь гиперболы, расположенная в третьей координатной четверти.

Неравенство $y \ge -\frac{8}{|x|}$ означает, что решением являются все точки, расположенные на графике функции $y = -\frac{8}{|x|}$ и выше него. Так как неравенство нестрогое ($\ge$), граница включается в решение и изображается сплошной линией.

Ответ: Множество всех точек $(x, y)$ координатной плоскости, для которых $x \neq 0$ и $y \ge -\frac{8}{|x|}$. Геометрически это область, расположенная над ветвями гиперболы $y = -\frac{8}{|x|}$, включая сами ветви.

в) $|y| - x^2 + 2x \le 1$

Перенесем слагаемые, чтобы выделить $|y|$:

$|y| \le x^2 - 2x + 1$

Заметим, что выражение в правой части является полным квадратом: $x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2$.

Неравенство принимает вид: $|y| \le (x-1)^2$.

Неравенство с модулем $|a| \le b$ (где $b \ge 0$) равносильно двойному неравенству $-b \le a \le b$. В нашем случае:

$-(x-1)^2 \le y \le (x-1)^2$

Это означает, что искомое множество точек на плоскости ограничено сверху параболой $y = (x-1)^2$ и снизу параболой $y = -(x-1)^2$.

• $y = (x-1)^2$ — это парабола с вершиной в точке $(1, 0)$, ветви которой направлены вверх.
• $y = -(x-1)^2$ — это парабола с вершиной в точке $(1, 0)$, ветви которой направлены вниз.

Поскольку неравенства нестрогие, границы (сами параболы) включаются в множество решений.

Ответ: Множество точек плоскости, заключенных между параболами $y = (x-1)^2$ и $y = -(x-1)^2$, включая точки на самих параболах.

г) $|y| + x^2 - 4x \ge 4$

Выразим $|y|$ из неравенства:

$|y| \ge -x^2 + 4x + 4$

Чтобы упростить выражение справа, выделим полный квадрат:

$-x^2 + 4x + 4 = -(x^2 - 4x) + 4 = -(x^2 - 4x + 4 - 4) + 4 = -(x-2)^2 + 4 + 4 = -(x-2)^2 + 8$.

Неравенство принимает вид: $|y| \ge -(x-2)^2 + 8$.

Неравенство вида $|a| \ge b$ равносильно совокупности двух неравенств: $a \ge b$ или $a \le -b$. Таким образом, получаем:

$y \ge -(x-2)^2 + 8$ или $y \le - (-(x-2)^2 + 8)$, что упрощается до $y \le (x-2)^2 - 8$.

Множество решений является объединением решений этих двух неравенств.

• Неравенство $y \ge -(x-2)^2 + 8$ описывает все точки, лежащие на параболе $y = -(x-2)^2 + 8$ и выше нее. Это парабола с вершиной в $(2, 8)$, ветвями вниз.
• Неравенство $y \le (x-2)^2 - 8$ описывает все точки, лежащие на параболе $y = (x-2)^2 - 8$ и ниже нее. Это парабола с вершиной в $(2, -8)$, ветвями вверх.

Так как неравенство нестрогое ($\ge$), границы (сами параболы) включаются в решение. Искомое множество — это все точки "вне" области, заключенной между этими двумя параболами.

Ответ: Объединение двух множеств точек: всех точек $(x,y)$, удовлетворяющих условию $y \ge -(x-2)^2 + 8$, и всех точек, удовлетворяющих условию $y \le (x-2)^2 - 8$. Геометрически это область над параболой $y = -(x-2)^2 + 8$ и область под параболой $y = (x-2)^2 - 8$, включая сами параболы.

893. Изобразите на координатной плоскости множество решений неравенства:

а) $x^2 + y^2 - 6|x| + 2y \le -1$

Для решения данного неравенства мы преобразуем его, выделив полные квадраты. Заметим, что $x^2$ можно представить как $|x|^2$, так как квадрат любого числа неотрицателен.

Перепишем неравенство в виде:
$|x|^2 - 6|x| + y^2 + 2y + 1 \le 0$

Теперь выделим полные квадраты для выражений с $|x|$ и с $y$:
$(|x|^2 - 6|x| + 9) - 9 + (y^2 + 2y + 1) \le 0$
$(|x| - 3)^2 + (y + 1)^2 - 9 \le 0$
$(|x| - 3)^2 + (y + 1)^2 \le 9$
$(|x| - 3)^2 + (y + 1)^2 \le 3^2$

Это неравенство описывает множество точек, зависящее от знака $x$. Рассмотрим два случая:

• Если $x \ge 0$, то $|x| = x$. Неравенство принимает вид:
  $(x - 3)^2 + (y + 1)^2 \le 3^2$.
  Это неравенство задает круг с центром в точке $(3, -1)$ и радиусом $R=3$. Мы рассматриваем только ту часть этого круга, которая находится в правой полуплоскости ($x \ge 0$).
• Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Неравенство принимает вид:
  $(-x - 3)^2 + (y + 1)^2 \le 3^2$
  $(-(x + 3))^2 + (y + 1)^2 \le 3^2$
  $(x + 3)^2 + (y + 1)^2 \le 3^2$.
  Это неравенство задает круг с центром в точке $(-3, -1)$ и радиусом $R=3$. Мы рассматриваем только ту часть этого круга, которая находится в левой полуплоскости ($x < 0$).

Таким образом, искомое множество решений представляет собой объединение двух кругов (включая их границы).

Ответ: Множество решений представляет собой объединение двух кругов с радиусом 3: один с центром в точке $(3, -1)$, а другой с центром в точке $(-3, -1)$.

б) $x^2 + y^2 - 6x + 2|y| \le -1$

Аналогично пункту а), преобразуем неравенство, используя свойство $y^2 = |y|^2$.

Перепишем неравенство и выделим полные квадраты для выражений с $x$ и с $|y|$:
$x^2 - 6x + y^2 + 2|y| + 1 \le 0$
$(x^2 - 6x + 9) - 9 + (|y|^2 + 2|y| + 1) \le 0$
$(x - 3)^2 + (|y| + 1)^2 - 9 \le 0$
$(x - 3)^2 + (|y| + 1)^2 \le 9$
$(x - 3)^2 + (|y| + 1)^2 \le 3^2$

Это неравенство описывает множество точек, зависящее от знака $y$. Рассмотрим два случая:

• Если $y \ge 0$, то $|y| = y$. Неравенство принимает вид:
  $(x - 3)^2 + (y + 1)^2 \le 3^2$.
  Это круг с центром в точке $(3, -1)$ и радиусом $R=3$. Решением в этом случае является часть этого круга, для которой $y \ge 0$ (часть круга, расположенная выше или на оси Ox).
• Если $y < 0$, то $|y| = -y$. Неравенство принимает вид:
  $(x - 3)^2 + (-y + 1)^2 \le 3^2$
  $(x - 3)^2 + (-(y - 1))^2 \le 3^2$
  $(x - 3)^2 + (y - 1)^2 \le 3^2$.
  Это круг с центром в точке $(3, 1)$ и радиусом $R=3$. Решением в этом случае является часть этого круга, для которой $y < 0$ (часть круга, расположенная ниже оси Ox).

Итоговое множество решений является объединением этих двух частей кругов. Фигура симметрична относительно прямой $x=3$.

Ответ: Множество решений является объединением двух фигур: 1) части круга с центром в $(3, -1)$ и радиусом 3, расположенной в верхней полуплоскости ($y \ge 0$); 2) части круга с центром в $(3, 1)$ и радиусом 3, расположенной в нижней полуплоскости ($y < 0$).

894. Закрасьте на координатной плоскости фигуру, которая задаётся системой неравенств

Охарактеризуйте её аналитически.

Закрасьте на координатной плоскости фигуру, которая задаётся системой неравенств

Для построения искомой фигуры рассмотрим каждое неравенство системы по отдельности.

1. Первое неравенство: $y - 4 \le x^2 - 4|x|$.

Перепишем его в виде $y \le x^2 - 4|x| + 4$. Так как $x^2 = |x|^2$, то неравенство можно представить как $y \le |x|^2 - 4|x| + 4$. Правая часть является полным квадратом: $y \le (|x| - 2)^2$.

Это неравенство задает область, расположенную на границе $y = (|x| - 2)^2$ и ниже неё. Рассмотрим функцию $f(x) = (|x| - 2)^2$. Эта функция является четной, так как $f(-x) = (|-x| - 2)^2 = (|x| - 2)^2 = f(x)$, следовательно, её график симметричен относительно оси $Oy$.

• При $x \ge 0$, имеем $y = (x-2)^2$. Это парабола с вершиной в точке $(2, 0)$, ветви которой направлены вверх.
• При $x < 0$, имеем $y = (-x-2)^2 = (x+2)^2$. Это парабола с вершиной в точке $(-2, 0)$, ветви которой также направлены вверх.

График $y = (|x| - 2)^2$ представляет собой "W"-образную кривую с вершинами в точках $(-2, 0)$ и $(2, 0)$ и локальным максимумом (точкой излома) в $(0, 4)$. Неравенство $y \le (|x| - 2)^2$ описывает все точки плоскости, лежащие на этой кривой и под ней.

2. Второе неравенство: $4x - 3y \le -12$.

Это линейное неравенство. Выразим $y$:
$-3y \le -4x - 12$
$3y \ge 4x + 12$
$y \ge \frac{4}{3}x + 4$.

Это неравенство задает полуплоскость, расположенную на прямой $y = \frac{4}{3}x + 4$ и выше неё. Эта прямая проходит через точки:

• при $x=0$, $y = 4$. Точка $(0, 4)$.
• при $y=0$, $4x = -12 \implies x = -3$. Точка $(-3, 0)$.

3. Фигура, задаваемая системой неравенств, является пересечением двух найденных областей. То есть, это множество точек $(x, y)$, для которых одновременно выполняются условия $y \le (|x| - 2)^2$ и $y \ge \frac{4}{3}x + 4$. Таким образом, искомая фигура заключена между прямой $y = \frac{4}{3}x + 4$ (снизу) и кривой $y = (|x| - 2)^2$ (сверху).

Найдем точки пересечения границ этих областей, решив уравнение $\frac{4}{3}x + 4 = (|x|-2)^2$.

• Случай 1: $x \ge 0$.
  $\frac{4}{3}x + 4 = (x-2)^2$
  $\frac{4}{3}x + 4 = x^2 - 4x + 4$
  $x^2 - 4x - \frac{4}{3}x = 0$
  $x^2 - \frac{16}{3}x = 0$
  $x(x - \frac{16}{3}) = 0$
  Отсюда $x_1 = 0$ и $x_2 = \frac{16}{3}$.
  При $x_1=0$, $y=4$. Точка пересечения $A(0, 4)$.
  При $x_2=\frac{16}{3}$, $y = \frac{4}{3}(\frac{16}{3}) + 4 = \frac{64}{9} + \frac{36}{9} = \frac{100}{9}$. Точка пересечения $B(\frac{16}{3}, \frac{100}{9})$.
• Случай 2: $x < 0$.
  $\frac{4}{3}x + 4 = (-x-2)^2 = (x+2)^2$
  $\frac{4}{3}x + 4 = x^2 + 4x + 4$
  $x^2 + 4x - \frac{4}{3}x = 0$
  $x^2 + \frac{8}{3}x = 0$
  $x(x + \frac{8}{3}) = 0$
  Отсюда $x_3 = 0$ (не удовлетворяет условию $x<0$) и $x_4 = -\frac{8}{3}$.
  При $x_4=-\frac{8}{3}$, $y = \frac{4}{3}(-\frac{8}{3}) + 4 = -\frac{32}{9} + \frac{36}{9} = \frac{4}{9}$. Точка пересечения $C(-\frac{8}{3}, \frac{4}{9})$.

Таким образом, фигура, которую нужно закрасить, — это замкнутая область, ограниченная снизу отрезком прямой $y = \frac{4}{3}x+4$ между точками $C$ и $B$, а сверху — двумя дугами парабол: дугой параболы $y=(x+2)^2$ от точки $C$ до точки $A$ и дугой параболы $y=(x-2)^2$ от точки $A$ до точки $B$.

Ответ: Искомая фигура — это замкнутая область на координатной плоскости, ограниченная снизу отрезком прямой $y=\frac{4}{3}x+4$ и сверху кривой $y=(|x|-2)^2$. Вершинами этой фигуры являются точки $C(-\frac{8}{3}, \frac{4}{9})$, $A(0, 4)$ и $B(\frac{16}{3}, \frac{100}{9})$.

Охарактеризуйте её аналитически

Аналитически данная фигура представляет собой множество точек $F$ на плоскости $\mathbb{R}^2$, координаты $(x, y)$ которых удовлетворяют системе неравенств. Это можно записать в виде одного двойного неравенства: $F = \left\{ (x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid \frac{4}{3}x + 4 \le y \le (|x|-2)^2 \right\}$.

Это множество является:

• Замкнутым, так как границы, определяемые нестрогими неравенствами ($\le, \ge$), принадлежат множеству.
• Ограниченным, так как оно полностью содержится, например, в прямоугольнике $[-\frac{8}{3}, \frac{16}{3}] \times [0, \frac{100}{9}]$. Следовательно, по теореме Гейне-Бореля, это множество является компактом.
• Связным, так как любые две его точки можно соединить непрерывной кривой, целиком лежащей в этом множестве.

Граница фигуры состоит из трех частей:

1. Отрезок прямой $y = \frac{4}{3}x + 4$ при $x \in [-\frac{8}{3}, \frac{16}{3}]$.
2. Дуга параболы $y = (x+2)^2$ при $x \in [-\frac{8}{3}, 0]$.
3. Дуга параболы $y = (x-2)^2$ при $x \in [0, \frac{16}{3}]$.

Вершинами фигуры, то есть точками пересечения граничных кривых, являются: $C(-\frac{8}{3}, \frac{4}{9})$, $A(0, 4)$ и $B(\frac{16}{3}, \frac{100}{9})$.

Ответ: Фигура является замкнутым, ограниченным и связным множеством (компактом), заданным аналитически как $F = \left\{ (x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid \frac{4}{3}x + 4 \le y \le (|x|-2)^2 \right\}$. Её граница состоит из отрезка прямой и двух дуг парабол, соединяющихся в точках $(-\frac{8}{3}, \frac{4}{9})$, $(0, 4)$ и $(\frac{16}{3}, \frac{100}{9})$.

895. Изобразите множество решений системы неравенств:

а)

Рассмотрим систему неравенств: $$ \begin{cases} x^2 + y^2 \le 9 \\ |x| + |y| \le 0 \end{cases} $$ Первое неравенство $x^2 + y^2 \le 9$ задает на координатной плоскости множество точек, находящихся внутри и на окружности с центром в начале координат (0, 0) и радиусом $R = \sqrt{9} = 3$. Это замкнутый круг.

Рассмотрим второе неравенство: $|x| + |y| \le 0$. По определению, абсолютная величина любого действительного числа является неотрицательной, то есть $|x| \ge 0$ и $|y| \ge 0$. Сумма двух неотрицательных чисел также является неотрицательной: $|x| + |y| \ge 0$. Таким образом, неравенство $|x| + |y| \le 0$ может выполняться только в одном случае: когда $|x| + |y| = 0$. Это равенство справедливо лишь тогда, когда оба слагаемых равны нулю одновременно: $|x| = 0$ и $|y| = 0$. Отсюда следует, что $x = 0$ и $y = 0$. Следовательно, решением второго неравенства является единственная точка (0, 0).

Решением системы является пересечение множеств решений обоих неравенств. Множество решений первого неравенства — это круг с центром в (0, 0), а второго — сама точка (0, 0). Пересечением этих множеств является точка (0, 0).

Изображением множества решений системы является точка в начале координат.

Ответ: Множество решений системы состоит из одной точки (0, 0).

б)

Рассмотрим систему неравенств: $$ \begin{cases} x^2 + y^2 \le 9 \\ |y| - |x| \le 0 \end{cases} $$ Первое неравенство $x^2 + y^2 \le 9$ задает замкнутый круг с центром в начале координат (0, 0) и радиусом $R = 3$.

Второе неравенство $|y| - |x| \le 0$ можно переписать в виде $|y| \le |x|$. Это неравенство задает на плоскости область, симметричную относительно обеих координатных осей. Чтобы построить эту область, рассмотрим ее в первой координатной четверти, где $x \ge 0$ и $y \ge 0$. В этом случае неравенство принимает вид $y \le x$. Это часть первой четверти, расположенная на и ниже прямой $y=x$. Используя симметрию относительно осей координат, получаем, что множество решений неравенства $|y| \le |x|$ — это область, заключенная между прямыми $y = x$ и $y = -x$ (включая сами прямые), которая содержит ось абсцисс (Ox).

Решением системы является пересечение этих двух множеств: круга $x^2 + y^2 \le 9$ и области $|y| \le |x|$. Графически это множество представляет собой два замкнутых сектора круга с центром в начале координат и радиусом 3. Эти секторы ограничены отрезками прямых $y=x$ и $y=-x$ и дугами окружности $x^2+y^2=9$. Они расположены в области, где $|y| \le |x|$, то есть «горизонтально» по обе стороны от оси ординат (Oy).

Ответ: Множество решений — это два замкнутых сектора круга $x^2 + y^2 \le 9$, ограниченных прямыми $y=x$ и $y=-x$ и содержащих ось Ox.

896. Окружность с центром в начале координат проходит через точку (30; 40). Она разбивает множество не принадлежащих ей точек координатной плоскости на внутреннюю и внешнюю области. Напишите неравенство, графиком которого является:

а) внутренняя область;

б) внешняя область.

Для начала определим уравнение окружности. Стандартное уравнение окружности с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R$ имеет вид:

$x^2 + y^2 = R^2$

Согласно условию, окружность проходит через точку с координатами $(30; 40)$. Это означает, что расстояние от центра окружности до этой точки равно радиусу $R$. Мы можем найти квадрат радиуса $R^2$, используя формулу квадрата расстояния между двумя точками:

$R^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 = (30 - 0)^2 + (40 - 0)^2$

$R^2 = 30^2 + 40^2 = 900 + 1600 = 2500$

Таким образом, уравнение данной окружности:

$x^2 + y^2 = 2500$

Эта окружность делит все точки координатной плоскости, которые ей не принадлежат, на две области.

а) внутренняя область

Внутренняя область (или открытый круг) состоит из всех точек, расстояние от которых до центра окружности меньше ее радиуса. В виде неравенства это условие записывается как $x^2 + y^2 < R^2$. Знак неравенства строгий, поскольку точки на самой окружности не принадлежат этой области.

Подставив найденное значение $R^2 = 2500$, мы получаем искомое неравенство.

Ответ: $x^2 + y^2 < 2500$

б) внешняя область

Внешняя область состоит из всех точек, расстояние от которых до центра окружности больше ее радиуса. Это условие выражается неравенством $x^2 + y^2 > R^2$.

Подставив значение $R^2 = 2500$, мы получаем неравенство для внешней области.

Ответ: $x^2 + y^2 > 2500$

897. Найдите корни уравнения х³ – 2х² + 3х – 18 = 0.

Для решения кубического уравнения $x^3 - 2x^2 + 3x - 18 = 0$ воспользуемся теоремой о рациональных корнях. Согласно этой теореме, если у многочлена с целыми коэффициентами есть рациональные корни, то они являются делителями свободного члена (в данном случае -18), деленными на делители старшего коэффициента (в данном случае 1). Таким образом, возможные целые корни уравнения находятся среди делителей числа -18: $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6, \pm9, \pm18$.

Проверим некоторые из этих значений путем подстановки в уравнение. Начнем с небольших по модулю значений.

Проверим $x=3$:

$3^3 - 2(3)^2 + 3(3) - 18 = 27 - 2 \cdot 9 + 9 - 18 = 27 - 18 + 9 - 18 = 9 + 9 - 18 = 0$.

Так как получилось верное равенство, $x=3$ является корнем уравнения.

Теперь, зная один корень, мы можем разложить многочлен $x^3 - 2x^2 + 3x - 18$ на множители. Поскольку $x=3$ — корень, то многочлен делится на $(x-3)$ без остатка. Разделим многочлен на $(x-3)$ методом группировки.

Исходное уравнение: $x^3 - 2x^2 + 3x - 18 = 0$.

Представим член $-2x^2$ как $-3x^2 + x^2$, а член $3x$ как $-3x+6x$, чтобы выделить множитель $(x-3)$:

$x^3 - 3x^2 + x^2 - 3x + 6x - 18 = 0$

Сгруппируем слагаемые:

$(x^3 - 3x^2) + (x^2 - 3x) + (6x - 18) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$x^2(x - 3) + x(x - 3) + 6(x - 3) = 0$

Теперь вынесем общий множитель $(x-3)$ за скобки:

$(x - 3)(x^2 + x + 6) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Это дает нам два случая:

1) $x - 3 = 0 \implies x_1 = 3$.

2) $x^2 + x + 6 = 0$.

Решим второе, квадратное, уравнение. Для этого найдем его дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 1 - 24 = -23$.

Поскольку дискриминант $D < 0$, квадратное уравнение $x^2 + x + 6 = 0$ не имеет действительных корней.

Следовательно, исходное кубическое уравнение имеет только один действительный корень.

Ответ: 3

898. Докажите, что не имеет решений уравнение:

а) Рассмотрим уравнение $4x^2 + 4xy + y^2 + 1 = 0$. Выделим в левой части уравнения полный квадрат. Первые три слагаемых $4x^2 + 4xy + y^2$ представляют собой квадрат суммы. Используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. В нашем случае $a^2 = 4x^2$, значит $a=2x$, и $b^2 = y^2$, значит $b=y$. Проверим средний член: $2ab = 2 \cdot (2x) \cdot y = 4xy$. Это совпадает с нашим уравнением. Таким образом, $4x^2 + 4xy + y^2 = (2x+y)^2$. Подставим это выражение обратно в уравнение: $(2x+y)^2 + 1 = 0$. Выражение $(2x+y)^2$ является квадратом действительного числа, поэтому его значение всегда неотрицательно, то есть $(2x+y)^2 \ge 0$ для любых значений $x$ и $y$. Следовательно, левая часть уравнения $(2x+y)^2 + 1$ всегда будет больше или равна 1: $(2x+y)^2 + 1 \ge 0 + 1 = 1$. Значение левой части уравнения никогда не может быть равно нулю.
Ответ: Уравнение не имеет решений, так как левая часть всегда строго больше нуля.

б) Рассмотрим уравнение $x^2 - 6xy + 9y^2 + 2 = 0$. Выделим в левой части уравнения полный квадрат. Первые три слагаемых $x^2 - 6xy + 9y^2$ представляют собой квадрат разности. Используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. В нашем случае $a^2 = x^2$, значит $a=x$, и $b^2 = 9y^2$, значит $b=3y$. Проверим средний член: $2ab = 2 \cdot x \cdot (3y) = 6xy$. Это совпадает с нашим уравнением. Таким образом, $x^2 - 6xy + 9y^2 = (x-3y)^2$. Подставим это выражение обратно в уравнение: $(x-3y)^2 + 2 = 0$. Выражение $(x-3y)^2$ является квадратом действительного числа, поэтому его значение всегда неотрицательно, то есть $(x-3y)^2 \ge 0$ для любых значений $x$ и $y$. Следовательно, левая часть уравнения $(x-3y)^2 + 2$ всегда будет больше или равна 2: $(x-3y)^2 + 2 \ge 0 + 2 = 2$. Значение левой части уравнения никогда не может быть равно нулю.
Ответ: Уравнение не имеет решений, так как левая часть всегда строго больше нуля.

в) Рассмотрим уравнение $x^2 + y^2 + 4x + 5 = 0$. Сгруппируем слагаемые с переменной $x$ и выделим полный квадрат: $(x^2 + 4x) + y^2 + 5 = 0$. Для выделения полного квадрата из выражения $x^2 + 4x$ добавим и вычтем $(\frac{4}{2})^2 = 4$: $(x^2 + 4x + 4) - 4 + y^2 + 5 = 0$. Выражение в скобках является полным квадратом: $x^2 + 4x + 4 = (x+2)^2$. Подставим его в уравнение: $(x+2)^2 - 4 + y^2 + 5 = 0$. Приведем подобные слагаемые (константы): $(x+2)^2 + y^2 + 1 = 0$. В левой части уравнения мы имеем сумму двух квадратов и положительного числа. Выражения $(x+2)^2$ и $y^2$ являются квадратами действительных чисел, поэтому их значения всегда неотрицательны: $(x+2)^2 \ge 0$ и $y^2 \ge 0$. Сумма двух неотрицательных чисел также неотрицательна: $(x+2)^2 + y^2 \ge 0$. Следовательно, вся левая часть уравнения $(x+2)^2 + y^2 + 1$ всегда будет больше или равна 1: $(x+2)^2 + y^2 + 1 \ge 0 + 1 = 1$. Значение левой части уравнения никогда не может быть равно нулю.
Ответ: Уравнение не имеет решений, так как левая часть всегда строго больше нуля.

г) Рассмотрим уравнение $x^2 + y^2 - 2x - 4y + 6 = 0$. Сгруппируем слагаемые с переменными $x$ и $y$ и выделим полные квадраты: $(x^2 - 2x) + (y^2 - 4y) + 6 = 0$. Для выражения $x^2 - 2x$ добавим и вычтем $(\frac{-2}{2})^2 = 1$: $(x^2 - 2x + 1) - 1$. Это равно $(x-1)^2 - 1$. Для выражения $y^2 - 4y$ добавим и вычтем $(\frac{-4}{2})^2 = 4$: $(y^2 - 4y + 4) - 4$. Это равно $(y-2)^2 - 4$. Подставим полученные выражения в исходное уравнение: $((x-1)^2 - 1) + ((y-2)^2 - 4) + 6 = 0$. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: $(x-1)^2 + (y-2)^2 - 1 - 4 + 6 = 0$. $(x-1)^2 + (y-2)^2 + 1 = 0$. В левой части уравнения мы получили сумму двух квадратов и положительного числа. Выражения $(x-1)^2$ и $(y-2)^2$ являются квадратами действительных чисел, поэтому их значения всегда неотрицательны: $(x-1)^2 \ge 0$ и $(y-2)^2 \ge 0$. Их сумма также неотрицательна: $(x-1)^2 + (y-2)^2 \ge 0$. Следовательно, вся левая часть уравнения $(x-1)^2 + (y-2)^2 + 1$ всегда будет больше или равна 1: $(x-1)^2 + (y-2)^2 + 1 \ge 0 + 1 = 1$. Значение левой части уравнения никогда не может быть равно нулю.
Ответ: Уравнение не имеет решений, так как левая часть всегда строго больше нуля.

899. Найдите значения параметра а, при которых система уравнений х² + у² = 9 и у – х = а имеет одно решение; имеет два решения; не имеет решений. При каком наименьшем по модулю значении параметра а система уравнений имеет одно решение?

Данная система уравнений описывает пересечение окружности и прямой на координатной плоскости. Первое уравнение $x^2 + y^2 = 9$ — это уравнение окружности с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R = 3$. Второе уравнение $y - x = a$ можно переписать в виде $y = x + a$. Это уравнение задает семейство параллельных прямых с угловым коэффициентом, равным 1. Параметр $a$ определяет положение прямой относительно начала координат.

Количество решений системы равно количеству точек пересечения окружности и прямой. Чтобы найти это количество, решим систему аналитически. Выразим $y$ из второго уравнения и подставим в первое:
$y = x + a$
$x^2 + (x + a)^2 = 9$
$x^2 + x^2 + 2ax + a^2 = 9$
$2x^2 + 2ax + a^2 - 9 = 0$

Получилось квадратное уравнение относительно $x$. Количество его действительных корней определяет количество решений исходной системы. Найдем дискриминант $D$ этого уравнения:
$D = (2a)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (a^2 - 9) = 4a^2 - 8(a^2 - 9) = 4a^2 - 8a^2 + 72 = 72 - 4a^2$.
Количество решений зависит от знака дискриминанта.

Система имеет одно решение, если квадратное уравнение имеет один корень, что соответствует случаю $D=0$. Геометрически это означает, что прямая касается окружности.
$72 - 4a^2 = 0$
$4a^2 = 72$
$a^2 = 18$
$a = \pm\sqrt{18} = \pm 3\sqrt{2}$
Ответ: при $a = 3\sqrt{2}$ и $a = -3\sqrt{2}$.

Система имеет два решения, если квадратное уравнение имеет два различных действительных корня, что соответствует случаю $D > 0$. Геометрически это означает, что прямая пересекает окружность в двух точках.
$72 - 4a^2 > 0$
$72 > 4a^2$
$18 > a^2$
$a^2 < 18$
$-\sqrt{18} < a < \sqrt{18}$
$-3\sqrt{2} < a < 3\sqrt{2}$
Ответ: при $a \in (-3\sqrt{2}, 3\sqrt{2})$.

Система не имеет решений, если квадратное уравнение не имеет действительных корней, что соответствует случаю $D < 0$. Геометрически это означает, что прямая не имеет общих точек с окружностью.
$72 - 4a^2 < 0$
$72 < 4a^2$
$18 < a^2$
$a^2 > 18$
$a > \sqrt{18}$ или $a < -\sqrt{18}$
$a > 3\sqrt{2}$ или $a < -3\sqrt{2}$
Ответ: при $a \in (-\infty, -3\sqrt{2}) \cup (3\sqrt{2}, \infty)$.

Как было найдено выше, система имеет одно решение при $a = 3\sqrt{2}$ и $a = -3\sqrt{2}$.
Найдем модули этих значений:
$|3\sqrt{2}| = 3\sqrt{2}$
$|-3\sqrt{2}| = 3\sqrt{2}$
Оба значения параметра имеют одинаковый модуль $3\sqrt{2}$. Так как для любого другого количества решений (двух или нуля) модуль параметра $a$ будет соответственно меньше или больше $3\sqrt{2}$, то $3\sqrt{2}$ и есть наименьший модуль, при котором система имеет одно решение. Этому условию соответствуют два значения параметра $a$.
Ответ: $a = -3\sqrt{2}$ и $a = 3\sqrt{2}$.

900. Найдите все целые решения уравнения:

а) $x^2 - y^2 = 3$

Разложим левую часть уравнения на множители, используя формулу разности квадратов:$(x - y)(x + y) = 3$.Поскольку по условию $x$ и $y$ являются целыми числами, то выражения $x - y$ и $x + y$ также являются целыми числами. Их произведение равно 3, следовательно, они являются целочисленными делителями числа 3.Целочисленные делители числа 3: $1, -1, 3, -3$.Рассмотрим все возможные системы уравнений:

1. $\begin{cases} x - y = 1 \\ x + y = 3 \end{cases}$Сложим эти два уравнения: $(x - y) + (x + y) = 1 + 3 \Rightarrow 2x = 4 \Rightarrow x = 2$.Подставим значение $x$ во второе уравнение: $2 + y = 3 \Rightarrow y = 1$.Получили решение: $(2, 1)$.

2. $\begin{cases} x - y = 3 \\ x + y = 1 \end{cases}$Сложим уравнения: $2x = 4 \Rightarrow x = 2$.Подставим $x$ во второе уравнение: $2 + y = 1 \Rightarrow y = -1$.Получили решение: $(2, -1)$.

3. $\begin{cases} x - y = -1 \\ x + y = -3 \end{cases}$Сложим уравнения: $2x = -4 \Rightarrow x = -2$.Подставим $x$ во второе уравнение: $-2 + y = -3 \Rightarrow y = -1$.Получили решение: $(-2, -1)$.

4. $\begin{cases} x - y = -3 \\ x + y = -1 \end{cases}$Сложим уравнения: $2x = -4 \Rightarrow x = -2$.Подставим $x$ во второе уравнение: $-2 + y = -1 \Rightarrow y = 1$.Получили решение: $(-2, 1)$.

Ответ: $(2, 1)$, $(2, -1)$, $(-2, -1)$, $(-2, 1)$.

б) $x^2 - y^2 = 4$

Разложим левую часть на множители: $(x - y)(x + y) = 4$.Множители $x - y$ и $x + y$ являются целыми делителями числа 4. Заметим, что сумма этих множителей $(x - y) + (x + y) = 2x$ является четным числом. Это означает, что оба множителя должны иметь одинаковую четность (либо оба четные, либо оба нечетные).Пары целых делителей числа 4: $(1, 4), (-1, -4), (4, 1), (-4, -1), (2, 2), (-2, -2)$.Пары $(1, 4), (-1, -4), (4, 1), (-4, -1)$ состоят из чисел разной четности, поэтому они не могут дать целых решений для $x$ и $y$.Рассмотрим оставшиеся пары, где множители имеют одинаковую четность:

1. $\begin{cases} x - y = 2 \\ x + y = 2 \end{cases}$Сложим уравнения: $2x = 4 \Rightarrow x = 2$.Подставим $x$ во второе уравнение: $2 + y = 2 \Rightarrow y = 0$.Получили решение: $(2, 0)$.

2. $\begin{cases} x - y = -2 \\ x + y = -2 \end{cases}$Сложим уравнения: $2x = -4 \Rightarrow x = -2$.Подставим $x$ во второе уравнение: $-2 + y = -2 \Rightarrow y = 0$.Получили решение: $(-2, 0)$.

Ответ: $(2, 0), (-2, 0)$.

в) $x^2 - \frac{3}{y^2} = 1$

Для существования дроби необходимо, чтобы $y \neq 0$. Так как $x$ и $y$ — целые числа, умножим обе части уравнения на $y^2$, чтобы избавиться от знаменателя:$x^2y^2 - 3 = y^2$Перегруппируем слагаемые:$x^2y^2 - y^2 = 3$Вынесем $y^2$ за скобки:$y^2(x^2 - 1) = 3$Поскольку $x$ и $y$ — целые числа, то $y^2$ является положительным целым числом, которое к тому же является полным квадратом. Также $x^2 - 1$ является целым числом.Из уравнения следует, что $y^2$ должен быть положительным делителем числа 3. Положительные делители 3 — это 1 и 3.

1. Пусть $y^2 = 1$. Тогда $y = 1$ или $y = -1$.Подставим $y^2 = 1$ в уравнение $y^2(x^2 - 1) = 3$:$1 \cdot (x^2 - 1) = 3 \Rightarrow x^2 - 1 = 3 \Rightarrow x^2 = 4$.Отсюда $x = 2$ или $x = -2$.Это дает нам четыре пары решений: $(2, 1), (-2, 1), (2, -1), (-2, -1)$.

2. Пусть $y^2 = 3$.Это уравнение не имеет решений в целых числах для $y$, так как 3 не является квадратом целого числа.

Ответ: $(2, 1), (-2, 1), (2, -1), (-2, -1)$.

г) $\frac{4}{x^2} + y^2 = 6$

По условию $x, y$ — целые числа. Из вида уравнения следует, что $x \neq 0$.Выразим один из членов:$\frac{4}{x^2} = 6 - y^2$Так как $x$ — ненулевое целое число, $x^2 \ge 1$, и левая часть $\frac{4}{x^2}$ всегда положительна.Следовательно, правая часть также должна быть положительной:$6 - y^2 > 0 \Rightarrow y^2 < 6$.Поскольку $y$ — целое число, $y^2$ должен быть полным квадратом. Возможные значения для $y^2$, удовлетворяющие условию $y^2 < 6$: $0, 1, 4$.Рассмотрим каждый из этих случаев:

1. Если $y^2 = 0$ (то есть $y=0$):$\frac{4}{x^2} = 6 - 0 \Rightarrow \frac{4}{x^2} = 6 \Rightarrow 6x^2 = 4 \Rightarrow x^2 = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.Это уравнение не имеет целых решений для $x$.

2. Если $y^2 = 1$ (то есть $y = \pm 1$):$\frac{4}{x^2} = 6 - 1 \Rightarrow \frac{4}{x^2} = 5 \Rightarrow 5x^2 = 4 \Rightarrow x^2 = \frac{4}{5}$.Это уравнение не имеет целых решений для $x$.

3. Если $y^2 = 4$ (то есть $y = \pm 2$):$\frac{4}{x^2} = 6 - 4 \Rightarrow \frac{4}{x^2} = 2 \Rightarrow 2x^2 = 4 \Rightarrow x^2 = 2$.Это уравнение не имеет целых решений для $x$.

Поскольку ни один из возможных случаев не привел к целым решениям, данное уравнение не имеет решений в целых числах.

Ответ: нет целых решений.