Номер 900, страница 214 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Задачи повышенной трудности - номер 900, страница 214.

Условие.

900. Найдите все целые решения уравнения:

Решение 1.

Решение 8.

а) $x^2 - y^2 = 3$

Разложим левую часть уравнения на множители, используя формулу разности квадратов:$(x - y)(x + y) = 3$.Поскольку по условию $x$ и $y$ являются целыми числами, то выражения $x - y$ и $x + y$ также являются целыми числами. Их произведение равно 3, следовательно, они являются целочисленными делителями числа 3.Целочисленные делители числа 3: $1, -1, 3, -3$.Рассмотрим все возможные системы уравнений:

1. $\begin{cases} x - y = 1 \\ x + y = 3 \end{cases}$Сложим эти два уравнения: $(x - y) + (x + y) = 1 + 3 \Rightarrow 2x = 4 \Rightarrow x = 2$.Подставим значение $x$ во второе уравнение: $2 + y = 3 \Rightarrow y = 1$.Получили решение: $(2, 1)$.

2. $\begin{cases} x - y = 3 \\ x + y = 1 \end{cases}$Сложим уравнения: $2x = 4 \Rightarrow x = 2$.Подставим $x$ во второе уравнение: $2 + y = 1 \Rightarrow y = -1$.Получили решение: $(2, -1)$.

3. $\begin{cases} x - y = -1 \\ x + y = -3 \end{cases}$Сложим уравнения: $2x = -4 \Rightarrow x = -2$.Подставим $x$ во второе уравнение: $-2 + y = -3 \Rightarrow y = -1$.Получили решение: $(-2, -1)$.

4. $\begin{cases} x - y = -3 \\ x + y = -1 \end{cases}$Сложим уравнения: $2x = -4 \Rightarrow x = -2$.Подставим $x$ во второе уравнение: $-2 + y = -1 \Rightarrow y = 1$.Получили решение: $(-2, 1)$.

Ответ: $(2, 1)$, $(2, -1)$, $(-2, -1)$, $(-2, 1)$.

б) $x^2 - y^2 = 4$

Разложим левую часть на множители: $(x - y)(x + y) = 4$.Множители $x - y$ и $x + y$ являются целыми делителями числа 4. Заметим, что сумма этих множителей $(x - y) + (x + y) = 2x$ является четным числом. Это означает, что оба множителя должны иметь одинаковую четность (либо оба четные, либо оба нечетные).Пары целых делителей числа 4: $(1, 4), (-1, -4), (4, 1), (-4, -1), (2, 2), (-2, -2)$.Пары $(1, 4), (-1, -4), (4, 1), (-4, -1)$ состоят из чисел разной четности, поэтому они не могут дать целых решений для $x$ и $y$.Рассмотрим оставшиеся пары, где множители имеют одинаковую четность:

1. $\begin{cases} x - y = 2 \\ x + y = 2 \end{cases}$Сложим уравнения: $2x = 4 \Rightarrow x = 2$.Подставим $x$ во второе уравнение: $2 + y = 2 \Rightarrow y = 0$.Получили решение: $(2, 0)$.

2. $\begin{cases} x - y = -2 \\ x + y = -2 \end{cases}$Сложим уравнения: $2x = -4 \Rightarrow x = -2$.Подставим $x$ во второе уравнение: $-2 + y = -2 \Rightarrow y = 0$.Получили решение: $(-2, 0)$.

Ответ: $(2, 0), (-2, 0)$.

в) $x^2 - \frac{3}{y^2} = 1$

Для существования дроби необходимо, чтобы $y \neq 0$. Так как $x$ и $y$ — целые числа, умножим обе части уравнения на $y^2$, чтобы избавиться от знаменателя:$x^2y^2 - 3 = y^2$Перегруппируем слагаемые:$x^2y^2 - y^2 = 3$Вынесем $y^2$ за скобки:$y^2(x^2 - 1) = 3$Поскольку $x$ и $y$ — целые числа, то $y^2$ является положительным целым числом, которое к тому же является полным квадратом. Также $x^2 - 1$ является целым числом.Из уравнения следует, что $y^2$ должен быть положительным делителем числа 3. Положительные делители 3 — это 1 и 3.

1. Пусть $y^2 = 1$. Тогда $y = 1$ или $y = -1$.Подставим $y^2 = 1$ в уравнение $y^2(x^2 - 1) = 3$:$1 \cdot (x^2 - 1) = 3 \Rightarrow x^2 - 1 = 3 \Rightarrow x^2 = 4$.Отсюда $x = 2$ или $x = -2$.Это дает нам четыре пары решений: $(2, 1), (-2, 1), (2, -1), (-2, -1)$.

2. Пусть $y^2 = 3$.Это уравнение не имеет решений в целых числах для $y$, так как 3 не является квадратом целого числа.

Ответ: $(2, 1), (-2, 1), (2, -1), (-2, -1)$.

г) $\frac{4}{x^2} + y^2 = 6$

По условию $x, y$ — целые числа. Из вида уравнения следует, что $x \neq 0$.Выразим один из членов:$\frac{4}{x^2} = 6 - y^2$Так как $x$ — ненулевое целое число, $x^2 \ge 1$, и левая часть $\frac{4}{x^2}$ всегда положительна.Следовательно, правая часть также должна быть положительной:$6 - y^2 > 0 \Rightarrow y^2 < 6$.Поскольку $y$ — целое число, $y^2$ должен быть полным квадратом. Возможные значения для $y^2$, удовлетворяющие условию $y^2 < 6$: $0, 1, 4$.Рассмотрим каждый из этих случаев:

1. Если $y^2 = 0$ (то есть $y=0$):$\frac{4}{x^2} = 6 - 0 \Rightarrow \frac{4}{x^2} = 6 \Rightarrow 6x^2 = 4 \Rightarrow x^2 = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.Это уравнение не имеет целых решений для $x$.

2. Если $y^2 = 1$ (то есть $y = \pm 1$):$\frac{4}{x^2} = 6 - 1 \Rightarrow \frac{4}{x^2} = 5 \Rightarrow 5x^2 = 4 \Rightarrow x^2 = \frac{4}{5}$.Это уравнение не имеет целых решений для $x$.

3. Если $y^2 = 4$ (то есть $y = \pm 2$):$\frac{4}{x^2} = 6 - 4 \Rightarrow \frac{4}{x^2} = 2 \Rightarrow 2x^2 = 4 \Rightarrow x^2 = 2$.Это уравнение не имеет целых решений для $x$.

Поскольку ни один из возможных случаев не привел к целым решениям, данное уравнение не имеет решений в целых числах.

Ответ: нет целых решений.