Страница 201 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

777. Если от числителя и знаменателя обыкновенной дроби отнять по единице, то дробь уменьшится на $\frac{1}{10}.$ Если же к числителю и знаменателю прибавить по единице, то дробь увеличится на $\frac{1}{15}.$ Найдите эту дробь.

Пусть искомая обыкновенная дробь равна $ \frac{x}{y} $, где $x$ — целое число (числитель), а $y$ — натуральное число (знаменатель), $y \neq 0$.

Согласно первому условию задачи, если от числителя и знаменателя отнять по единице, то дробь уменьшится на $ \frac{1}{10} $. Математически это можно записать в виде уравнения:

$ \frac{x-1}{y-1} = \frac{x}{y} - \frac{1}{10} $

Выразим разницу между старой и новой дробью:

$ \frac{x}{y} - \frac{x-1}{y-1} = \frac{1}{10} $

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $ y(y-1) $:

$ \frac{x(y-1) - y(x-1)}{y(y-1)} = \frac{1}{10} $

Раскроем скобки в числителе:

$ \frac{xy - x - xy + y}{y(y-1)} = \frac{1}{10} $

$ \frac{y-x}{y^2-y} = \frac{1}{10} $

Используя свойство пропорции, получим первое уравнение: $ 10(y-x) = y^2-y $.

Согласно второму условию, если к числителю и знаменателю прибавить по единице, то дробь увеличится на $ \frac{1}{15} $. Запишем второе уравнение:

$ \frac{x+1}{y+1} = \frac{x}{y} + \frac{1}{15} $

Выразим разницу между новой и старой дробью:

$ \frac{x+1}{y+1} - \frac{x}{y} = \frac{1}{15} $

Приведем дроби к общему знаменателю $ y(y+1) $:

$ \frac{y(x+1) - x(y+1)}{y(y+1)} = \frac{1}{15} $

$ \frac{xy + y - xy - x}{y(y+1)} = \frac{1}{15} $

$ \frac{y-x}{y^2+y} = \frac{1}{15} $

Отсюда получаем второе уравнение: $ 15(y-x) = y^2+y $.

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

$ \begin{cases} 10(y-x) = y^2-y \\ 15(y-x) = y^2+y \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $ y-x $: $ y-x = \frac{y^2-y}{10} $.

Из второго уравнения также выразим $ y-x $: $ y-x = \frac{y^2+y}{15} $.

Так как левые части равны, то можем приравнять и правые части:

$ \frac{y^2-y}{10} = \frac{y^2+y}{15} $

Умножим обе части уравнения на 30 (наименьшее общее кратное для 10 и 15), чтобы избавиться от знаменателей:

$ 3(y^2-y) = 2(y^2+y) $

$ 3y^2 - 3y = 2y^2 + 2y $

Перенесем все члены в одну сторону:

$ 3y^2 - 2y^2 - 3y - 2y = 0 $

$ y^2 - 5y = 0 $

Вынесем $y$ за скобку:

$ y(y-5) = 0 $

Получаем два возможных значения для $y$: $ y=0 $ или $ y=5 $.

По определению дроби, ее знаменатель не может быть равен нулю ($y \neq 0$). Также из условий задачи следует, что $y-1 \neq 0$ и $y+1 \neq 0$, то есть $y \neq 1$ и $y \neq -1$. Таким образом, единственное подходящее значение — это $y=5$.

Теперь найдем $x$, подставив $y=5$ в любое из полученных ранее выражений. Например, в $ 10(y-x) = y^2-y $:

$ 10(5-x) = 5^2 - 5 $

$ 10(5-x) = 25 - 5 $

$ 10(5-x) = 20 $

$ 5-x = \frac{20}{10} $

$ 5-x = 2 $

$ x = 5-2 = 3 $

Следовательно, искомая дробь — это $ \frac{3}{5} $.

Проведем проверку:

1. Исходная дробь $ \frac{3}{5} $. Отнимем 1 от числителя и знаменателя: $ \frac{3-1}{5-1} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $. Проверим, уменьшилась ли дробь на $ \frac{1}{10} $: $ \frac{3}{5} - \frac{1}{2} = \frac{6-5}{10} = \frac{1}{10} $. Условие выполнено.

2. Прибавим 1 к числителю и знаменателю: $ \frac{3+1}{5+1} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} $. Проверим, увеличилась ли дробь на $ \frac{1}{15} $: $ \frac{2}{3} - \frac{3}{5} = \frac{10-9}{15} = \frac{1}{15} $. Условие также выполнено.

Ответ: $ \frac{3}{5} $.

778. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 41 см, а его площадь равна 180 см². Найдите катеты этого треугольника.

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны ?? и ??, а гипотенуза равна ??.

Из условия задачи нам дано:
Гипотенуза $c = 41$ см.
Площадь $S = 180$ см?.

Для решения задачи воспользуемся двумя основными формулами для прямоугольного треугольника: формулой площади и теоремой Пифагора.

1. Формула площади прямоугольного треугольника через катеты: $S = \frac{1}{2} a \cdot b$

2. Теорема Пифагора: $a^2 + b^2 = c^2$

Подставим известные значения в эти формулы и составим систему уравнений: $ \begin{cases} \frac{1}{2}ab = 180 \\ a^2 + b^2 = 41^2 \end{cases} $

Упростим систему: $ \begin{cases} ab = 360 \\ a^2 + b^2 = 1681 \end{cases} $

Чтобы решить эту систему, воспользуемся формулой квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Мы можем переписать ее как $(a+b)^2 = (a^2+b^2) + 2ab$.

Подставим в это выражение значения из нашей системы: $(a+b)^2 = 1681 + 2 \cdot 360$
$(a+b)^2 = 1681 + 720$
$(a+b)^2 = 2401$

Так как длины катетов являются положительными числами, их сумма также будет положительной. Найдем значение $a+b$: $a+b = \sqrt{2401} = 49$

Теперь у нас есть новая, более простая система уравнений: $ \begin{cases} a+b = 49 \\ ab = 360 \end{cases} $

Согласно обратной теореме Виета, ?? и ?? являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (a+b)t + ab = 0$. Подставим значения из системы: $t^2 - 49t + 360 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант: $D = (-49)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 360 = 2401 - 1440 = 961$
$\sqrt{D} = \sqrt{961} = 31$

Теперь найдем корни уравнения, которые и будут являться длинами катетов: $t_1 = \frac{49 + 31}{2} = \frac{80}{2} = 40$
$t_2 = \frac{49 - 31}{2} = \frac{18}{2} = 9$

Следовательно, катеты треугольника равны 40 см и 9 см.

Ответ: 9 см и 40 см.

779. Площадь прямоугольного треугольника равна 44 см². Если один из его катетов уменьшить на 1 см, а другой увеличить на 2 см, то площадь будет равна 50 см². Найдите катеты данного треугольника.

Пусть длины катетов исходного прямоугольного треугольника равны $a$ и $b$.

Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2}ab$. Согласно условию, начальная площадь равна 44 см². Таким образом, мы можем составить первое уравнение:

$$\frac{1}{2}ab = 44$$

Отсюда следует:

$$ab = 88$$

Далее, по условию, один из катетов уменьшают на 1 см, а другой увеличивают на 2 см. Пусть новые длины катетов будут $(a-1)$ см и $(b+2)$ см. Новая площадь треугольника составляет 50 см². Это дает нам второе уравнение:

$$\frac{1}{2}(a-1)(b+2) = 50$$

Отсюда:

$$(a-1)(b+2) = 100$$

Мы получили систему двух уравнений с двумя неизвестными:

$$\begin{cases} ab = 88 \\ (a-1)(b+2) = 100 \end{cases}$$

Раскроем скобки во втором уравнении:

$$ab + 2a - b - 2 = 100$$

Теперь подставим $ab = 88$ из первого уравнения в преобразованное второе уравнение:

$$88 + 2a - b - 2 = 100$$

Упростим выражение:

$$86 + 2a - b = 100$$

$$2a - b = 14$$

Из этого уравнения выразим $b$:

$$b = 2a - 14$$

Подставим полученное выражение для $b$ в первое уравнение системы ($ab=88$):

$$a(2a - 14) = 88$$

$$2a^2 - 14a - 88 = 0$$

Для удобства разделим все члены уравнения на 2:

$$a^2 - 7a - 44 = 0$$

Мы получили квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$$D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-44) = 49 + 176 = 225$$

Корни уравнения находятся по формуле $a = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$$a_1 = \frac{7 + \sqrt{225}}{2} = \frac{7 + 15}{2} = \frac{22}{2} = 11$$

$$a_2 = \frac{7 - \sqrt{225}}{2} = \frac{7 - 15}{2} = \frac{-8}{2} = -4$$

Так как длина катета треугольника является положительной величиной, корень $a_2 = -4$ не удовлетворяет условию задачи. Значит, длина одного катета равна 11 см.

Теперь найдем длину второго катета $b$, используя соотношение $ab = 88$:

$$b = \frac{88}{a} = \frac{88}{11} = 8$$

Таким образом, длины катетов данного треугольника составляют 11 см и 8 см.

Проверка:
1. Исходная площадь: $S = \frac{1}{2} \cdot 11 \cdot 8 = 44$ см². (Верно)
2. Изменяем катеты: один катет (11 см) уменьшаем на 1 см, получаем $11-1=10$ см; другой катет (8 см) увеличиваем на 2 см, получаем $8+2=10$ см.
3. Новая площадь: $S' = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 10 = 50$ см². (Верно)
Все условия задачи выполнены.

Ответ: катеты данного треугольника равны 8 см и 11 см.

780. Двое рабочих вместе могут выполнить некоторую работу за 10 дней. После 7 дней совместной работы один из них был переведён на другой участок, а второй закончил работу, проработав ещё 9 дней. За сколько дней каждый рабочий мог выполнить всю работу?

Примем весь объем работы за 1.

Пусть первый рабочий может выполнить всю работу за $x$ дней, а второй — за $y$ дней. Тогда производительность первого рабочего (часть работы, выполняемая за один день) равна $\frac{1}{x}$, а второго — $\frac{1}{y}$.

Когда они работают вместе, их общая производительность составляет $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$. По условию, вместе они выполняют всю работу за 10 дней, следовательно, их совместная производительность равна $\frac{1}{10}$ работы в день. Получаем первое уравнение:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{10}$

За 7 дней совместной работы рабочие выполнили часть работы, равную:

$7 \times (\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) = 7 \times \frac{1}{10} = \frac{7}{10}$

После этого осталась невыполненной следующая часть работы:

$1 - \frac{7}{10} = \frac{3}{10}$

Эту оставшуюся часть работы второй рабочий выполнил один за 9 дней. Это означает, что его производительность $\frac{1}{y}$ умноженная на 9 дней, равна оставшейся части работы:

$9 \times \frac{1}{y} = \frac{3}{10}$

Отсюда найдем $y$:

$\frac{9}{y} = \frac{3}{10}$

$3y = 90$

$y = 30$

Таким образом, второй рабочий может выполнить всю работу за 30 дней.

Теперь подставим значение $y = 30$ в первое уравнение, чтобы найти $x$:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{30} = \frac{1}{10}$

$\frac{1}{x} = \frac{1}{10} - \frac{1}{30}$

Приведем дроби в правой части к общему знаменателю 30:

$\frac{1}{x} = \frac{3}{30} - \frac{1}{30}$

$\frac{1}{x} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15}$

$x = 15$

Следовательно, первый рабочий может выполнить всю работу за 15 дней.

Ответ: один рабочий мог выполнить всю работу за 15 дней, а второй — за 30 дней.

781. Двое рабочих, работая вместе, выполнили работу за 2 дня. Сколько времени нужно каждому из них на выполнение всей работы, если известно, что если бы первый проработал 2 дня, а второй — один, то всего было бы сделано $\frac{5}{6}$ всей работы?

Для решения задачи примем весь объем работы за 1.

Пусть $x$ — это количество дней, за которое первый рабочий может выполнить всю работу самостоятельно, а $y$ — количество дней, за которое второй рабочий может выполнить всю работу самостоятельно.

Тогда производительность труда (часть работы, выполняемая за один день) первого рабочего составляет $\frac{1}{x}$, а второго — $\frac{1}{y}$.

Из первого условия известно, что, работая вместе, они выполнили всю работу за 2 дня. Их совместная производительность равна $(\frac{1}{x} + \frac{1}{y})$. Составим первое уравнение на основе формулы "Работа = Производительность ? Время":
$(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) \cdot 2 = 1$
$\frac{2}{x} + \frac{2}{y} = 1$

Из второго условия известно, что если бы первый рабочий проработал 2 дня, а второй — 1 день, то было бы сделано $\frac{5}{6}$ всей работы. Составим второе уравнение:
$\frac{1}{x} \cdot 2 + \frac{1}{y} \cdot 1 = \frac{5}{6}$
$\frac{2}{x} + \frac{1}{y} = \frac{5}{6}$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя переменными:
$\begin{cases} \frac{2}{x} + \frac{2}{y} = 1 \\ \frac{2}{x} + \frac{1}{y} = \frac{5}{6} \end{cases}$

Для решения этой системы удобно вычесть второе уравнение из первого:
$(\frac{2}{x} + \frac{2}{y}) - (\frac{2}{x} + \frac{1}{y}) = 1 - \frac{5}{6}$
$\frac{2}{x} - \frac{2}{x} + \frac{2}{y} - \frac{1}{y} = \frac{6}{6} - \frac{5}{6}$
$\frac{1}{y} = \frac{1}{6}$
Из этого следует, что $y = 6$.

Теперь, зная значение $y$, подставим его в любое из исходных уравнений, чтобы найти $x$. Возьмем второе уравнение:
$\frac{2}{x} + \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$
Перенесем $\frac{1}{6}$ в правую часть:
$\frac{2}{x} = \frac{5}{6} - \frac{1}{6}$
$\frac{2}{x} = \frac{4}{6}$
Упростим дробь в правой части:
$\frac{2}{x} = \frac{2}{3}$
Из этого следует, что $x = 3$.

Таким образом, первому рабочему для выполнения всей работы в одиночку потребуется 3 дня, а второму рабочему — 6 дней.

Ответ: первому рабочему нужно 3 дня на выполнение всей работы, второму — 6 дней.

782. Один из членов арифметической прогрессии (aₙ) равен 3. Найдите его номер, если a₁ = 48,5 и d = –1,3. Является ли членом этой прогрессии число –3,5; число 15?

Для решения задачи воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_1$ — первый член прогрессии, $d$ — разность прогрессии, а $n$ — номер члена прогрессии.

По условию задачи имеем: $a_1 = 48,5$ и $d = -1,3$.

Найдите номер члена прогрессии, равного 3

Нам нужно найти номер $n$, для которого член прогрессии $a_n$ равен 3. Подставим известные значения в формулу:

$3 = 48,5 + (n-1) \cdot (-1,3)$

Теперь решим это уравнение относительно $n$:

$3 - 48,5 = (n-1) \cdot (-1,3)$

$-45,5 = (n-1) \cdot (-1,3)$

Чтобы найти $(n-1)$, разделим обе части уравнения на $-1,3$:

$n - 1 = \frac{-45,5}{-1,3} = \frac{455}{13}$

$n - 1 = 35$

$n = 35 + 1$

$n = 36$

Поскольку номер члена прогрессии $n = 36$ является натуральным числом, то число 3 действительно является 36-м членом данной прогрессии.

Ответ: номер члена прогрессии, равного 3, есть 36.

Является ли членом этой прогрессии число –3,5?

Чтобы определить, является ли число –3,5 членом прогрессии, нужно проверить, существует ли натуральное число $n$, для которого $a_n = -3,5$.

Подставим $a_n = -3,5$ в формулу:

$-3,5 = 48,5 + (n-1) \cdot (-1,3)$

$-3,5 - 48,5 = (n-1) \cdot (-1,3)$

$-52 = (n-1) \cdot (-1,3)$

$n - 1 = \frac{-52}{-1,3} = \frac{520}{13}$

$n - 1 = 40$

$n = 40 + 1$

$n = 41$

Так как мы получили натуральное число $n=41$, то число –3,5 является 41-м членом этой прогрессии.

Ответ: да, является.

Является ли членом этой прогрессии число 15?

Аналогично проверим, является ли число 15 членом данной прогрессии. Проверим, существует ли натуральное число $n$, для которого $a_n = 15$.

$15 = 48,5 + (n-1) \cdot (-1,3)$

$15 - 48,5 = (n-1) \cdot (-1,3)$

$-33,5 = (n-1) \cdot (-1,3)$

$n - 1 = \frac{-33,5}{-1,3} = \frac{335}{13}$

Выполним деление: $335 \div 13 \approx 25,77$. Так как 335 не делится на 13 нацело ($335 = 13 \cdot 25 + 10$), то $n-1$ является дробным числом.

$n-1 = 25\frac{10}{13}$

$n = 26\frac{10}{13}$

Поскольку номер члена прогрессии $n$ должен быть натуральным числом, а мы получили дробное значение, число 15 не является членом данной арифметической прогрессии.

Ответ: нет, не является.

783. В арифметической прогрессии четырнадцатый член равен 140, а сумма первых четырнадцати членов равна 1050. Найдите первый член и разность этой прогрессии.

Для решения задачи обозначим искомые величины: $a_1$ — первый член арифметической прогрессии, $d$ — её разность.

Согласно условию, нам даны:
- Четырнадцатый член прогрессии: $a_{14} = 140$
- Сумма первых четырнадцати членов: $S_{14} = 1050$

Первый член

Чтобы найти первый член прогрессии ($a_1$), мы можем использовать формулу суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии, которая связывает сумму, первый и последний члены:

$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$

Подставим в эту формулу известные нам значения, где $n=14$:

$1050 = \frac{a_1 + 140}{2} \cdot 14$

Для упрощения вычислений, сократим 14 и 2 в правой части уравнения:

$1050 = (a_1 + 140) \cdot 7$

Теперь разделим обе части уравнения на 7:

$\frac{1050}{7} = a_1 + 140$

$150 = a_1 + 140$

Из этого уравнения легко найти $a_1$:

$a_1 = 150 - 140 = 10$

Ответ: первый член прогрессии равен 10.

Разность прогрессии

Теперь, когда мы знаем первый член $a_1$, мы можем найти разность прогрессии $d$. Для этого воспользуемся формулой $n$-го члена арифметической прогрессии:

$a_n = a_1 + (n-1)d$

Подставим в неё известные нам значения $a_{14} = 140$, $a_1 = 10$ и $n = 14$:

$140 = 10 + (14-1)d$

$140 = 10 + 13d$

Перенесем 10 в левую часть уравнения (сменив знак):

$140 - 10 = 13d$

$130 = 13d$

Теперь найдем $d$, разделив 130 на 13:

$d = \frac{130}{13} = 10$

Ответ: разность прогрессии равна 10.

784. Последовательность (aₙ) — арифметическая прогрессия. Известно, что a₆ = –6 и a₁₆ = 17,5. Найдите сумму первых шестнадцати членов этой прогрессии.

Для нахождения суммы первых шестнадцати членов арифметической прогрессии, воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов:

$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$

В нашем случае, нам нужно найти $S_{16}$, поэтому формула примет вид:

$S_{16} = \frac{a_1 + a_{16}}{2} \cdot 16$

Из условия задачи мы знаем значение $a_{16} = 17,5$. Чтобы найти сумму, нам необходимо вычислить значение первого члена прогрессии $a_1$. Для этого сначала найдем разность прогрессии $d$.

Формула n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$. Также можно выразить один член прогрессии через другой: $a_n = a_m + (n-m)d$.

Используем известные нам значения $a_6 = -6$ и $a_{16} = 17,5$:

$a_{16} = a_6 + (16-6)d$

$17,5 = -6 + 10d$

$10d = 17,5 + 6$

$10d = 23,5$

$d = \frac{23,5}{10} = 2,35$

Теперь, зная разность $d$, мы можем найти первый член прогрессии $a_1$, используя, например, значение $a_6$:

$a_6 = a_1 + (6-1)d$

$-6 = a_1 + 5d$

$-6 = a_1 + 5 \cdot 2,35$

$-6 = a_1 + 11,75$

$a_1 = -6 - 11,75$

$a_1 = -17,75$

Теперь у нас есть все необходимые данные для вычисления суммы первых шестнадцати членов прогрессии:

$S_{16} = \frac{a_1 + a_{16}}{2} \cdot 16 = \frac{-17,75 + 17,5}{2} \cdot 16$

$S_{16} = \frac{-0,25}{2} \cdot 16 = -0,125 \cdot 16$

$S_{16} = -2$

Ответ: -2

785. В арифметической прогрессии первый член равен 28, а сумма первых двадцати пяти членов равна 925. Найдите разность и тридцатый член этой прогрессии.

По условию задачи, в арифметической прогрессии первый член $a_1 = 28$, а сумма первых двадцати пяти членов $S_{25} = 925$. Необходимо найти разность ($d$) и тридцатый член ($a_{30}$) этой прогрессии.

Решение можно разбить на два этапа.

Для нахождения разности $d$ воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:

$S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$

Подставим в формулу известные значения: $n=25$, $a_1=28$ и $S_{25}=925$.

$925 = \frac{2 \cdot 28 + d(25-1)}{2} \cdot 25$

Решим это уравнение относительно $d$:

$925 = \frac{56 + 24d}{2} \cdot 25$

Разделим обе части уравнения на 25:

$\frac{925}{25} = \frac{56 + 24d}{2}$

$37 = \frac{56 + 24d}{2}$

Упростим дробь в правой части:

$37 = 28 + 12d$

Теперь найдем $12d$:

$12d = 37 - 28$

$12d = 9$

Отсюда находим $d$:

$d = \frac{9}{12} = \frac{3}{4} = 0.75$

Ответ: разность прогрессии равна 0.75.

Теперь, зная разность прогрессии $d=0.75$, найдем ее тридцатый член $a_{30}$. Воспользуемся формулой $n$-го члена арифметической прогрессии:

$a_n = a_1 + d(n-1)$

Подставим известные нам значения $a_1=28$, $d=0.75$ и $n=30$:

$a_{30} = 28 + 0.75 \cdot (30-1)$

$a_{30} = 28 + 0.75 \cdot 29$

Вычислим произведение:

$0.75 \cdot 29 = 21.75$

Теперь найдем значение $a_{30}$:

$a_{30} = 28 + 21.75$

$a_{30} = 49.75$

Ответ: тридцатый член прогрессии равен 49.75.

786. В арифметической прогрессии (aₙ) сумма шестого и десятого членов равна 5,9, а разность двенадцатого и четвёртого членов равна 2. Найдите двадцать пятый член этой прогрессии.

Пусть $a_1$ — первый член арифметической прогрессии $(a_n)$, а $d$ — её разность.

Формула n-го члена арифметической прогрессии имеет вид: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Согласно условию, сумма шестого и десятого членов равна 5,9. Запишем это в виде уравнения:
$a_6 + a_{10} = 5.9$
Выразим $a_6$ и $a_{10}$ через $a_1$ и $d$:
$a_6 = a_1 + (6-1)d = a_1 + 5d$
$a_{10} = a_1 + (10-1)d = a_1 + 9d$
Подставим эти выражения в уравнение:
$(a_1 + 5d) + (a_1 + 9d) = 5.9$
$2a_1 + 14d = 5.9$

Также по условию разность двенадцатого и четвёртого членов равна 2. Запишем второе уравнение:
$a_{12} - a_4 = 2$
Выразим $a_{12}$ и $a_4$ через $a_1$ и $d$:
$a_{12} = a_1 + (12-1)d = a_1 + 11d$
$a_4 = a_1 + (4-1)d = a_1 + 3d$
Подставим эти выражения во второе уравнение:
$(a_1 + 11d) - (a_1 + 3d) = 2$
$a_1 + 11d - a_1 - 3d = 2$
$8d = 2$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:
$ \begin{cases} 2a_1 + 14d = 5.9 \\ 8d = 2 \end{cases} $
Из второго уравнения найдём разность прогрессии $d$:
$d = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} = 0.25$

Подставим найденное значение $d$ в первое уравнение, чтобы найти первый член прогрессии $a_1$:
$2a_1 + 14 \cdot (0.25) = 5.9$
$2a_1 + 3.5 = 5.9$
$2a_1 = 5.9 - 3.5$
$2a_1 = 2.4$
$a_1 = \frac{2.4}{2} = 1.2$

Теперь, зная $a_1$ и $d$, мы можем найти двадцать пятый член прогрессии ($a_{25}$):
$a_{25} = a_1 + (25-1)d = a_1 + 24d$
$a_{25} = 1.2 + 24 \cdot (0.25)$
$a_{25} = 1.2 + 6$
$a_{25} = 7.2$

Ответ: 7.2

787. В арифметической прогрессии (aₙ) сумма пятого и десятого членов равна –9, а сумма четвёртого и шестого членов равна –4. Найдите сумму первых десяти членов этой прогрессии.

Пусть $(a_n)$ — заданная арифметическая прогрессия, где $a_1$ — её первый член, а $d$ — её разность.

Формула n-го члена арифметической прогрессии имеет вид: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Согласно условию задачи, у нас есть два утверждения:

1. Сумма пятого и десятого членов равна -9: $a_5 + a_{10} = -9$.

2. Сумма четвёртого и шестого членов равна -4: $a_4 + a_6 = -4$.

Выразим указанные члены прогрессии через $a_1$ и $d$, используя формулу n-го члена:

$a_4 = a_1 + (4-1)d = a_1 + 3d$

$a_5 = a_1 + (5-1)d = a_1 + 4d$

$a_6 = a_1 + (6-1)d = a_1 + 5d$

$a_{10} = a_1 + (10-1)d = a_1 + 9d$

Теперь подставим эти выражения в исходные уравнения, чтобы составить систему из двух уравнений с двумя неизвестными ($a_1$ и $d$):

$ \begin{cases} (a_1 + 4d) + (a_1 + 9d) = -9 \\ (a_1 + 3d) + (a_1 + 5d) = -4 \end{cases} $

Упростим полученную систему:

$ \begin{cases} 2a_1 + 13d = -9 \\ 2a_1 + 8d = -4 \end{cases} $

Решим эту систему. Удобно вычесть второе уравнение из первого, чтобы исключить переменную $a_1$:

$(2a_1 + 13d) - (2a_1 + 8d) = -9 - (-4)$

$5d = -5$

$d = -1$

Мы нашли разность прогрессии. Теперь подставим значение $d = -1$ в любое из уравнений системы, например, во второе:

$2a_1 + 8(-1) = -4$

$2a_1 - 8 = -4$

$2a_1 = -4 + 8$

$2a_1 = 4$

$a_1 = 2$

Итак, первый член прогрессии $a_1 = 2$, а разность $d = -1$.

Нам нужно найти сумму первых десяти членов этой прогрессии, $S_{10}$. Воспользуемся формулой суммы первых n членов арифметической прогрессии:

$S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$

Подставим в формулу значения $n=10$, $a_1=2$ и $d=-1$:

$S_{10} = \frac{2 \cdot 2 + (10-1)(-1)}{2} \cdot 10$

$S_{10} = \frac{4 + 9 \cdot (-1)}{2} \cdot 10$

$S_{10} = \frac{4 - 9}{2} \cdot 10$

$S_{10} = \frac{-5}{2} \cdot 10$

$S_{10} = -5 \cdot 5$

$S_{10} = -25$

Ответ: -25