Страница 200 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

771. Решите систему уравнений:

а) $ \begin{cases} x + xy + y = 11, \\ x - xy + y = 1; \end{cases} $

Сложим первое и второе уравнения системы:

$(x + xy + y) + (x - xy + y) = 11 + 1$

$2x + 2y = 12$

$x + y = 6$

Вычтем второе уравнение из первого:

$(x + xy + y) - (x - xy + y) = 11 - 1$

$2xy = 10$

$xy = 5$

Получили новую систему:

$ \begin{cases} x + y = 6, \\ xy = 5; \end{cases} $

Согласно теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 6t + 5 = 0$.

Решим это уравнение. Дискриминант $D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 - 20 = 16$.

$t_1 = \frac{6 - \sqrt{16}}{2} = \frac{6 - 4}{2} = 1$

$t_2 = \frac{6 + \sqrt{16}}{2} = \frac{6 + 4}{2} = 5$

Следовательно, решениями системы являются пары чисел $(1; 5)$ и $(5; 1)$.

Ответ: $(1; 5), (5; 1)$.

б) $ \begin{cases} 2x - y - xy = 14, \\ x + 2y + xy = -7; \end{cases} $

Сложим уравнения системы:

$(2x - y - xy) + (x + 2y + xy) = 14 + (-7)$

$3x + y = 7$

Выразим $y$ через $x$: $y = 7 - 3x$.

Подставим это выражение во второе уравнение исходной системы:

$x + 2(7 - 3x) + x(7 - 3x) = -7$

$x + 14 - 6x + 7x - 3x^2 = -7$

Приведем подобные члены и запишем квадратное уравнение:

$-3x^2 + 2x + 14 = -7$

$-3x^2 + 2x + 21 = 0$

$3x^2 - 2x - 21 = 0$

Решим это уравнение. Дискриминант $D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-21) = 4 + 252 = 256$.

$x_1 = \frac{2 - \sqrt{256}}{2 \cdot 3} = \frac{2 - 16}{6} = \frac{-14}{6} = -\frac{7}{3}$

$x_2 = \frac{2 + \sqrt{256}}{2 \cdot 3} = \frac{2 + 16}{6} = \frac{18}{6} = 3$

Теперь найдем соответствующие значения $y$:

Если $x_1 = -\frac{7}{3}$, то $y_1 = 7 - 3(-\frac{7}{3}) = 7 + 7 = 14$.

Если $x_2 = 3$, то $y_2 = 7 - 3(3) = 7 - 9 = -2$.

Таким образом, решениями системы являются пары чисел $(-\frac{7}{3}; 14)$ и $(3; -2)$.

Ответ: $(3; -2), (-\frac{7}{3}; 14)$.

в) $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 34, \\ xy = 15; \end{cases} $

Умножим второе уравнение на 2: $2xy = 30$.

Сложим полученное уравнение с первым уравнением системы:

$x^2 + 2xy + y^2 = 34 + 30$

$(x+y)^2 = 64$

Отсюда $x+y = 8$ или $x+y = -8$.

Рассмотрим два случая:

1) $ \begin{cases} x + y = 8, \\ xy = 15; \end{cases} $

По теореме Виета, $x$ и $y$ - корни уравнения $t^2 - 8t + 15 = 0$.

$(t-3)(t-5) = 0$, откуда $t_1 = 3, t_2 = 5$.

Получаем решения $(3; 5)$ и $(5; 3)$.

2) $ \begin{cases} x + y = -8, \\ xy = 15; \end{cases} $

По теореме Виета, $x$ и $y$ - корни уравнения $t^2 + 8t + 15 = 0$.

$(t+3)(t+5) = 0$, откуда $t_1 = -3, t_2 = -5$.

Получаем решения $(-3; -5)$ и $(-5; -3)$.

Ответ: $(3; 5), (5; 3), (-3; -5), (-5; -3)$.

г) $ \begin{cases} x^2 - y^2 = 12, \\ xy = 8; \end{cases} $

Из второго уравнения выразим $y$ через $x$: $y = \frac{8}{x}$ (так как $xy=8$, то $x \ne 0$).

Подставим это выражение в первое уравнение:

$x^2 - (\frac{8}{x})^2 = 12$

$x^2 - \frac{64}{x^2} = 12$

Умножим обе части уравнения на $x^2$:

$x^4 - 64 = 12x^2$

$x^4 - 12x^2 - 64 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену $t = x^2$ (где $t \ge 0$):

$t^2 - 12t - 64 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-64) = 144 + 256 = 400$.

$t_1 = \frac{12 - \sqrt{400}}{2} = \frac{12 - 20}{2} = -4$

$t_2 = \frac{12 + \sqrt{400}}{2} = \frac{12 + 20}{2} = 16$

Так как $t = x^2 \ge 0$, корень $t_1 = -4$ является посторонним.

Возвращаемся к замене: $x^2 = 16$, откуда $x_1 = 4$ и $x_2 = -4$.

Найдем соответствующие значения $y$:

Если $x_1 = 4$, то $y_1 = \frac{8}{4} = 2$.

Если $x_2 = -4$, то $y_2 = \frac{8}{-4} = -2$.

Таким образом, решениями системы являются пары чисел $(4; 2)$ и $(-4; -2)$.

Ответ: $(4; 2), (-4; -2)$.

772. Не выполняя построения, выясните, пересекаются ли:

а) парабола y = x² – 6x + 8 и прямая x + y = 4;

б) прямая x + y = 4 и гипербола y =$\frac{3}{x}$;

в) окружности x² + y² = 4 и (x – 3)² + y² = 1;

г) окружность (x – 1)² + (y – 2)² = 4 и прямая x + 2y = 3.

Если пересекаются, то укажите координаты точек пересечения. Проиллюстрируйте решение с помощью графиков.

а) Чтобы выяснить, пересекаются ли парабола $y = x^2 - 6x + 8$ и прямая $x + y = 4$, нужно решить систему уравнений:

$$ \begin{cases} y = x^2 - 6x + 8 \\ x + y = 4 \end{cases} $$

Из второго уравнения выразим $y$: $y = 4 - x$. Подставим это выражение в первое уравнение:

$4 - x = x^2 - 6x + 8$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 - 6x + x + 8 - 4 = 0$

$x^2 - 5x + 4 = 0$

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9$. Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня, а значит, графики пересекаются в двух точках.

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-(-5) - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 3}{2} = 1$

$x_2 = \frac{-(-5) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 3}{2} = 4$

Теперь найдем соответствующие значения $y$, используя уравнение прямой $y = 4 - x$:

При $x_1 = 1$, $y_1 = 4 - 1 = 3$. Координаты первой точки пересечения: $(1, 3)$.

При $x_2 = 4$, $y_2 = 4 - 4 = 0$. Координаты второй точки пересечения: $(4, 0)$.

Графическая иллюстрация решения:

Ответ: Да, пересекаются. Координаты точек пересечения: $(1, 3)$ и $(4, 0)$.

б) Чтобы выяснить, пересекаются ли прямая $x + y = 4$ и гипербола $y = \frac{3}{x}$, решим систему уравнений:

$$ \begin{cases} x + y = 4 \\ y = \frac{3}{x} \end{cases} $$

Из первого уравнения выразим $y$: $y = 4 - x$. Подставим это выражение во второе уравнение (при условии, что $x \neq 0$):

$4 - x = \frac{3}{x}$

Умножим обе части на $x$:

$x(4 - x) = 3$

$4x - x^2 = 3$

$x^2 - 4x + 3 = 0$

Найдем дискриминант: $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4$. Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня, значит, графики пересекаются в двух точках.

Найдем корни:

$x_1 = \frac{4 - \sqrt{4}}{2} = \frac{4 - 2}{2} = 1$

$x_2 = \frac{4 + \sqrt{4}}{2} = \frac{4 + 2}{2} = 3$

Найдем соответствующие значения $y$, используя уравнение гиперболы $y = \frac{3}{x}$:

При $x_1 = 1$, $y_1 = \frac{3}{1} = 3$. Точка пересечения: $(1, 3)$.

При $x_2 = 3$, $y_2 = \frac{3}{3} = 1$. Точка пересечения: $(3, 1)$.

Графическая иллюстрация решения:

Ответ: Да, пересекаются. Координаты точек пересечения: $(1, 3)$ и $(3, 1)$.

в) Чтобы выяснить, пересекаются ли окружности $x^2 + y^2 = 4$ и $(x - 3)^2 + y^2 = 1$, можно использовать как алгебраический, так и геометрический метод.

Геометрический метод:

Первая окружность $x^2 + y^2 = 4$ имеет центр в точке $C_1(0, 0)$ и радиус $R_1 = \sqrt{4} = 2$.

Вторая окружность $(x - 3)^2 + y^2 = 1$ имеет центр в точке $C_2(3, 0)$ и радиус $R_2 = \sqrt{1} = 1$.

Найдем расстояние между центрами окружностей: $d = \sqrt{(3-0)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{9} = 3$.

Найдем сумму радиусов: $R_1 + R_2 = 2 + 1 = 3$.

Поскольку расстояние между центрами равно сумме радиусов ($d = R_1 + R_2$), окружности касаются внешним образом в одной точке.

Алгебраический метод для нахождения точки касания:

Решим систему уравнений: $$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 4 \\ (x - 3)^2 + y^2 = 1 \end{cases} $$

Раскроем скобки во втором уравнении: $x^2 - 6x + 9 + y^2 = 1$. Из первого уравнения известно, что $x^2 + y^2 = 4$. Подставим это в преобразованное второе уравнение:

$4 - 6x + 9 = 1$

$13 - 6x = 1$

$6x = 12 \implies x = 2$

Подставим найденное значение $x$ в первое уравнение, чтобы найти $y$:

$2^2 + y^2 = 4 \implies 4 + y^2 = 4 \implies y^2 = 0 \implies y = 0$.

Таким образом, окружности пересекаются (касаются) в одной точке.

Графическая иллюстрация решения:

Ответ: Да, пересекаются в одной точке (касаются). Координаты точки касания: $(2, 0)$.

г) Чтобы выяснить, пересекаются ли окружность $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 4$ и прямая $x + 2y = 3$, решим систему уравнений:

$$ \begin{cases} (x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 4 \\ x + 2y = 3 \end{cases} $$

Из второго уравнения выразим $x$: $x = 3 - 2y$. Подставим это выражение в уравнение окружности:

$((3 - 2y) - 1)^2 + (y - 2)^2 = 4$

$(2 - 2y)^2 + (y - 2)^2 = 4$

Раскроем скобки. Заметим, что $(2 - 2y)^2 = (2(1-y))^2 = 4(1-y)^2$ и $(y - 2)^2 = (-(2-y))^2 = (2-y)^2$.

$4(1 - 2y + y^2) + (y^2 - 4y + 4) = 4$

$4 - 8y + 4y^2 + y^2 - 4y + 4 = 4$

Приведем подобные члены:

$5y^2 - 12y + 8 = 4$

$5y^2 - 12y + 4 = 0$

Найдем дискриминант: $D = (-12)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 4 = 144 - 80 = 64$. Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня, значит, прямая и окружность пересекаются в двух точках.

Найдем значения $y$:

$y_1 = \frac{12 - \sqrt{64}}{2 \cdot 5} = \frac{12 - 8}{10} = \frac{4}{10} = 0.4$

$y_2 = \frac{12 + \sqrt{64}}{2 \cdot 5} = \frac{12 + 8}{10} = \frac{20}{10} = 2$

Найдем соответствующие значения $x$, используя $x = 3 - 2y$:

При $y_1 = 0.4$, $x_1 = 3 - 2(0.4) = 3 - 0.8 = 2.2$. Точка пересечения: $(2.2, 0.4)$.

При $y_2 = 2$, $x_2 = 3 - 2(2) = 3 - 4 = -1$. Точка пересечения: $(-1, 2)$.

Графическая иллюстрация решения:

Ответ: Да, пересекаются. Координаты точек пересечения: $(-1, 2)$ и $(2.2, 0.4)$.

773. При каком значении c имеет решение система уравнений

Для того чтобы данная система, состоящая из трех линейных уравнений с двумя переменными, имела решение, необходимо, чтобы все три прямые, которые задают эти уравнения, пересекались в одной точке. Это означает, что решение, удовлетворяющее первым двум уравнениям, должно также удовлетворять и третьему.

Сначала найдем решение системы, состоящей из первых двух уравнений:$$\begin{cases}3x - y = 5, \\x - 3y = 7.\end{cases}$$

Существует несколько способов решения этой системы. Воспользуемся методом подстановки. Выразим переменную $y$ из первого уравнения:$y = 3x - 5$.

Теперь подставим полученное выражение во второе уравнение системы:$x - 3(3x - 5) = 7$.

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $x$:$x - 9x + 15 = 7$$-8x = 7 - 15$$-8x = -8$$x = 1$.

Теперь, зная значение $x$, найдем соответствующее значение $y$, подставив $x = 1$ в выражение для $y$:$y = 3(1) - 5$$y = 3 - 5$$y = -2$.

Таким образом, точка пересечения первых двух прямых имеет координаты $(1; -2)$.

Чтобы вся система имела решение, эта точка должна принадлежать и третьей прямой, то есть ее координаты должны удовлетворять третьему уравнению:$2x + 5y = c$.

Подставим найденные значения $x = 1$ и $y = -2$ в это уравнение, чтобы найти искомое значение $c$:$2(1) + 5(-2) = c$.

Выполним вычисления:$2 - 10 = c$$c = -8$.

Следовательно, система уравнений имеет решение только при значении $c = -8$.

Ответ: $c = -8$.

774. Не выполняя построения, выясните, пересекаются ли парабола y = x² – x + 4 и гипербола y = $\frac{4}{x}$. Если пересекаются, то укажите координаты точек пересечения. Проиллюстрируйте решение с помощью графиков.

Для того чтобы выяснить, пересекаются ли парабола $y = x^2 - x + 4$ и гипербола $y = \frac{4}{x}$, нужно найти их общие точки. Координаты точек пересечения должны удовлетворять обоим уравнениям. Поэтому приравняем выражения для $y$:

$x^2 - x + 4 = \frac{4}{x}$

Область допустимых значений для этого уравнения — все $x$, кроме $x=0$. Умножим обе части уравнения на $x$, чтобы избавиться от дроби:

$x(x^2 - x + 4) = 4$

$x^3 - x^2 + 4x = 4$

Перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы получить кубическое уравнение:

$x^3 - x^2 + 4x - 4 = 0$

Для решения этого уравнения применим метод группировки слагаемых:

$x^2(x - 1) + 4(x - 1) = 0$

Теперь можно вынести общий множитель $(x - 1)$ за скобки:

$(x - 1)(x^2 + 4) = 0$

Это уравнение распадается на два:

1. $x - 1 = 0 \implies x = 1$
2. $x^2 + 4 = 0 \implies x^2 = -4$. Это уравнение не имеет решений в действительных числах, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным.

Таким образом, существует только один действительный корень $x = 1$. Это означает, что графики данных функций пересекаются ровно в одной точке.

Чтобы найти полную координату точки пересечения, подставим найденное значение $x = 1$ в любое из исходных уравнений. Например, в уравнение гиперболы:

$y = \frac{4}{1} = 4$

Следовательно, парабола и гипербола пересекаются в точке с координатами $(1, 4)$.

Для иллюстрации решения построим эскизы графиков обеих функций.Парабола $y = x^2 - x + 4$ имеет ветви, направленные вверх, а ее вершина находится в точке $(0.5, 3.75)$.Гипербола $y = \frac{4}{x}$ расположена в I и III координатных четвертях.На графике видно, что парабола пересекает ветвь гиперболы, расположенную в первой четверти.

Ответ: Да, парабола и гипербола пересекаются в одной точке с координатами $(1, 4)$.

775. При каком значении a система уравнений имеет единственное решение?

Для нахождения значения параметра $a$, при котором система уравнений имеет единственное решение, воспользуемся методом подстановки.

Исходная система уравнений:$$\begin{cases} x + 3y = 2 \\ xy = a\end{cases}$$

Сначала выразим переменную $x$ из первого (линейного) уравнения:$$ x = 2 - 3y $$

Теперь подставим полученное выражение для $x$ во второе уравнение системы:$$ (2 - 3y)y = a $$

Раскроем скобки и преобразуем уравнение к стандартному виду квадратного уравнения относительно переменной $y$:$$ 2y - 3y^2 = a $$$$ 3y^2 - 2y + a = 0 $$

Система уравнений имеет единственное решение тогда и только тогда, когда полученное квадратное уравнение имеет единственный корень. Условием наличия единственного корня у квадратного уравнения является равенство его дискриминанта ($D$) нулю.

Найдем дискриминант этого уравнения по формуле $D = b^2 - 4ac$, где коэффициенты $A=3$, $B=-2$ и $C=a$:$$ D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot a = 4 - 12a $$

Приравняем дискриминант к нулю и решим полученное уравнение относительно $a$:$$ 4 - 12a = 0 $$$$ 12a = 4 $$$$ a = \frac{4}{12} $$$$ a = \frac{1}{3} $$

Следовательно, система уравнений имеет единственное решение при $a = \frac{1}{3}$.

Ответ: $a = \frac{1}{3}$.

776. Если от числителя и знаменателя обыкновенной дроби отнять по единице, то дробь увеличится на $\frac{1}{6}$. Если же к числителю и знаменателю прибавить по единице, то дробь уменьшится на$\frac{1}{10}$. Найдите эту дробь.

Пусть искомая обыкновенная дробь равна $\frac{x}{y}$, где $x$ — числитель, а $y$ — знаменатель.

По условию задачи, если от числителя и знаменателя отнять по единице, то дробь увеличится на $\frac{1}{6}$. Это можно записать в виде уравнения:

$\frac{x-1}{y-1} = \frac{x}{y} + \frac{1}{6}$

Преобразуем это уравнение, чтобы выразить разницу между новой и старой дробью:

$\frac{x-1}{y-1} - \frac{x}{y} = \frac{1}{6}$

Приведем левую часть к общему знаменателю $y(y-1)$:

$\frac{y(x-1) - x(y-1)}{y(y-1)} = \frac{1}{6}$

$\frac{xy - y - xy + x}{y^2 - y} = \frac{1}{6}$

$\frac{x - y}{y^2 - y} = \frac{1}{6}$

Отсюда получаем первое уравнение: $6(x - y) = y^2 - y$. (1)

Также по условию, если к числителю и знаменателю прибавить по единице, то дробь уменьшится на $\frac{1}{10}$. Запишем второе уравнение:

$\frac{x+1}{y+1} = \frac{x}{y} - \frac{1}{10}$

Преобразуем это уравнение:

$\frac{x}{y} - \frac{x+1}{y+1} = \frac{1}{10}$

Приведем левую часть к общему знаменателю $y(y+1)$:

$\frac{x(y+1) - y(x+1)}{y(y+1)} = \frac{1}{10}$

$\frac{xy + x - xy - y}{y^2 + y} = \frac{1}{10}$

$\frac{x - y}{y^2 + y} = \frac{1}{10}$

Отсюда получаем второе уравнение: $10(x - y) = y^2 + y$. (2)

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

$\begin{cases} 6(x - y) = y^2 - y \\ 10(x - y) = y^2 + y \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $x - y = \frac{y^2 - y}{6}$.

Из второго уравнения выразим $x - y = \frac{y^2 + y}{10}$.

Приравняем правые части этих выражений:

$\frac{y^2 - y}{6} = \frac{y^2 + y}{10}$

Поскольку $y$ — знаменатель дроби, $y \neq 0$. Мы можем вынести $y$ за скобки и сократить:

$\frac{y(y - 1)}{6} = \frac{y(y + 1)}{10}$

$\frac{y - 1}{6} = \frac{y + 1}{10}$

Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение):

$10(y - 1) = 6(y + 1)$

$10y - 10 = 6y + 6$

$10y - 6y = 6 + 10$

$4y = 16$

$y = 4$

Теперь найдем $x$, подставив значение $y=4$ в любое из уравнений системы, например, во второе:

$10(x - 4) = 4^2 + 4$

$10(x - 4) = 16 + 4$

$10(x - 4) = 20$

$x - 4 = 2$

$x = 6$

Следовательно, искомая дробь — это $\frac{6}{4}$.

Проверим полученный результат:

1. Исходная дробь $\frac{6}{4}$. Отнимаем 1 от числителя и знаменателя: $\frac{6-1}{4-1} = \frac{5}{3}$. Найдем разницу: $\frac{5}{3} - \frac{6}{4} = \frac{20}{12} - \frac{18}{12} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$. Первое условие выполняется.

2. Исходная дробь $\frac{6}{4}$. Прибавляем 1 к числителю и знаменателю: $\frac{6+1}{4+1} = \frac{7}{5}$. Найдем разницу: $\frac{6}{4} - \frac{7}{5} = \frac{30}{20} - \frac{28}{20} = \frac{2}{20} = \frac{1}{10}$. Второе условие выполняется.

Ответ: $\frac{6}{4}$