Номер 773, страница 200 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Упражнения для повторения курса 7-9 классов. § 10. Геометрическая прогрессия. Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии - номер 773, страница 200.

773. При каком значении c имеет решение система уравнений

Для того чтобы данная система, состоящая из трех линейных уравнений с двумя переменными, имела решение, необходимо, чтобы все три прямые, которые задают эти уравнения, пересекались в одной точке. Это означает, что решение, удовлетворяющее первым двум уравнениям, должно также удовлетворять и третьему.

Сначала найдем решение системы, состоящей из первых двух уравнений:$$\begin{cases}3x - y = 5, \\x - 3y = 7.\end{cases}$$

Существует несколько способов решения этой системы. Воспользуемся методом подстановки. Выразим переменную $y$ из первого уравнения:$y = 3x - 5$.

Теперь подставим полученное выражение во второе уравнение системы:$x - 3(3x - 5) = 7$.

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $x$:$x - 9x + 15 = 7$$-8x = 7 - 15$$-8x = -8$$x = 1$.

Теперь, зная значение $x$, найдем соответствующее значение $y$, подставив $x = 1$ в выражение для $y$:$y = 3(1) - 5$$y = 3 - 5$$y = -2$.

Таким образом, точка пересечения первых двух прямых имеет координаты $(1; -2)$.

Чтобы вся система имела решение, эта точка должна принадлежать и третьей прямой, то есть ее координаты должны удовлетворять третьему уравнению:$2x + 5y = c$.

Подставим найденные значения $x = 1$ и $y = -2$ в это уравнение, чтобы найти искомое значение $c$:$2(1) + 5(-2) = c$.

Выполним вычисления:$2 - 10 = c$$c = -8$.

Следовательно, система уравнений имеет решение только при значении $c = -8$.

Ответ: $c = -8$.