Номер 767, страница 199 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Упражнения для повторения курса 7-9 классов - номер 767, страница 199.

Условие.

767. Имеются два сплава серебра с медью. Первый содержит 67% меди, а второй — 87% меди. В каком соотношении нужно взять эти два сплава, чтобы получить сплав, содержащий 79% меди?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для решения задачи необходимо составить уравнение, которое будет отражать баланс меди при смешивании двух сплавов.

Пусть $m_1$ — это масса первого сплава, которую необходимо взять, а $m_2$ — масса второго сплава.

В первом сплаве содержится 67% меди. Это означает, что масса меди в куске первого сплава массой $m_1$ составляет $0.67 \cdot m_1$.

Во втором сплаве содержится 87% меди. Аналогично, масса меди в куске второго сплава массой $m_2$ составляет $0.87 \cdot m_2$.

Когда мы смешиваем эти два сплава, общая масса нового, третьего, сплава становится равной сумме масс исходных сплавов: $m_{общ} = m_1 + m_2$.

Общая масса меди в новом сплаве также является суммой масс меди из первого и второго сплавов: $m_{меди} = 0.67 \cdot m_1 + 0.87 \cdot m_2$.

По условию задачи, в получившемся сплаве должно быть 79% меди. Это значит, что масса меди в новом сплаве может быть выражена как 79% от его общей массы: $m_{меди} = 0.79 \cdot (m_1 + m_2)$.

Теперь мы можем приравнять два выражения для массы меди в новом сплаве:

$0.67 \cdot m_1 + 0.87 \cdot m_2 = 0.79 \cdot (m_1 + m_2)$

Наша цель — найти соотношение, в котором нужно взять сплавы, то есть отношение $\frac{m_1}{m_2}$. Для этого решим полученное уравнение. Сначала раскроем скобки в правой части:

$0.67 m_1 + 0.87 m_2 = 0.79 m_1 + 0.79 m_2$

Перенесем все слагаемые с $m_1$ в одну сторону, а с $m_2$ — в другую:

$0.87 m_2 - 0.79 m_2 = 0.79 m_1 - 0.67 m_1$

Выполним вычитание:

$0.08 m_2 = 0.12 m_1$

Теперь выразим искомое отношение $\frac{m_1}{m_2}$:

$\frac{m_1}{m_2} = \frac{0.08}{0.12}$

Чтобы упростить дробь, можно умножить числитель и знаменатель на 100, чтобы избавиться от десятичных знаков:

$\frac{m_1}{m_2} = \frac{8}{12}$

Сократим полученную дробь на их наибольший общий делитель, который равен 4:

$\frac{m_1}{m_2} = \frac{2}{3}$

Таким образом, массы первого и второго сплавов должны относиться как 2 к 3.

Ответ: сплавы нужно взять в соотношении 2:3.