Номер 772, страница 200 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Упражнения для повторения курса 7-9 классов. § 10. Геометрическая прогрессия. Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии - номер 772, страница 200.

772. Не выполняя построения, выясните, пересекаются ли:

а) парабола y = x² – 6x + 8 и прямая x + y = 4;

б) прямая x + y = 4 и гипербола y =$\frac{3}{x}$;

в) окружности x² + y² = 4 и (x – 3)² + y² = 1;

г) окружность (x – 1)² + (y – 2)² = 4 и прямая x + 2y = 3.

Если пересекаются, то укажите координаты точек пересечения. Проиллюстрируйте решение с помощью графиков.

а) Чтобы выяснить, пересекаются ли парабола $y = x^2 - 6x + 8$ и прямая $x + y = 4$, нужно решить систему уравнений:

$$ \begin{cases} y = x^2 - 6x + 8 \\ x + y = 4 \end{cases} $$

Из второго уравнения выразим $y$: $y = 4 - x$. Подставим это выражение в первое уравнение:

$4 - x = x^2 - 6x + 8$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 - 6x + x + 8 - 4 = 0$

$x^2 - 5x + 4 = 0$

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9$. Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня, а значит, графики пересекаются в двух точках.

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-(-5) - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 3}{2} = 1$

$x_2 = \frac{-(-5) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 3}{2} = 4$

Теперь найдем соответствующие значения $y$, используя уравнение прямой $y = 4 - x$:

При $x_1 = 1$, $y_1 = 4 - 1 = 3$. Координаты первой точки пересечения: $(1, 3)$.

При $x_2 = 4$, $y_2 = 4 - 4 = 0$. Координаты второй точки пересечения: $(4, 0)$.

Графическая иллюстрация решения:

Ответ: Да, пересекаются. Координаты точек пересечения: $(1, 3)$ и $(4, 0)$.

---

б) Чтобы выяснить, пересекаются ли прямая $x + y = 4$ и гипербола $y = \frac{3}{x}$, решим систему уравнений:

$$ \begin{cases} x + y = 4 \\ y = \frac{3}{x} \end{cases} $$

Из первого уравнения выразим $y$: $y = 4 - x$. Подставим это выражение во второе уравнение (при условии, что $x \neq 0$):

$4 - x = \frac{3}{x}$

Умножим обе части на $x$:

$x(4 - x) = 3$

$4x - x^2 = 3$

$x^2 - 4x + 3 = 0$

Найдем дискриминант: $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4$. Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня, значит, графики пересекаются в двух точках.

Найдем корни:

$x_1 = \frac{4 - \sqrt{4}}{2} = \frac{4 - 2}{2} = 1$

$x_2 = \frac{4 + \sqrt{4}}{2} = \frac{4 + 2}{2} = 3$

Найдем соответствующие значения $y$, используя уравнение гиперболы $y = \frac{3}{x}$:

При $x_1 = 1$, $y_1 = \frac{3}{1} = 3$. Точка пересечения: $(1, 3)$.

При $x_2 = 3$, $y_2 = \frac{3}{3} = 1$. Точка пересечения: $(3, 1)$.

Графическая иллюстрация решения:

Ответ: Да, пересекаются. Координаты точек пересечения: $(1, 3)$ и $(3, 1)$.

---

в) Чтобы выяснить, пересекаются ли окружности $x^2 + y^2 = 4$ и $(x - 3)^2 + y^2 = 1$, можно использовать как алгебраический, так и геометрический метод.

Геометрический метод:

Первая окружность $x^2 + y^2 = 4$ имеет центр в точке $C_1(0, 0)$ и радиус $R_1 = \sqrt{4} = 2$.

Вторая окружность $(x - 3)^2 + y^2 = 1$ имеет центр в точке $C_2(3, 0)$ и радиус $R_2 = \sqrt{1} = 1$.

Найдем расстояние между центрами окружностей: $d = \sqrt{(3-0)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{9} = 3$.

Найдем сумму радиусов: $R_1 + R_2 = 2 + 1 = 3$.

Поскольку расстояние между центрами равно сумме радиусов ($d = R_1 + R_2$), окружности касаются внешним образом в одной точке.

Алгебраический метод для нахождения точки касания:

Решим систему уравнений: $$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 4 \\ (x - 3)^2 + y^2 = 1 \end{cases} $$

Раскроем скобки во втором уравнении: $x^2 - 6x + 9 + y^2 = 1$. Из первого уравнения известно, что $x^2 + y^2 = 4$. Подставим это в преобразованное второе уравнение:

$4 - 6x + 9 = 1$

$13 - 6x = 1$

$6x = 12 \implies x = 2$

Подставим найденное значение $x$ в первое уравнение, чтобы найти $y$:

$2^2 + y^2 = 4 \implies 4 + y^2 = 4 \implies y^2 = 0 \implies y = 0$.

Таким образом, окружности пересекаются (касаются) в одной точке.

Графическая иллюстрация решения:

Ответ: Да, пересекаются в одной точке (касаются). Координаты точки касания: $(2, 0)$.

---

г) Чтобы выяснить, пересекаются ли окружность $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 4$ и прямая $x + 2y = 3$, решим систему уравнений:

$$ \begin{cases} (x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 4 \\ x + 2y = 3 \end{cases} $$

Из второго уравнения выразим $x$: $x = 3 - 2y$. Подставим это выражение в уравнение окружности:

$((3 - 2y) - 1)^2 + (y - 2)^2 = 4$

$(2 - 2y)^2 + (y - 2)^2 = 4$

Раскроем скобки. Заметим, что $(2 - 2y)^2 = (2(1-y))^2 = 4(1-y)^2$ и $(y - 2)^2 = (-(2-y))^2 = (2-y)^2$.

$4(1 - 2y + y^2) + (y^2 - 4y + 4) = 4$

$4 - 8y + 4y^2 + y^2 - 4y + 4 = 4$

Приведем подобные члены:

$5y^2 - 12y + 8 = 4$

$5y^2 - 12y + 4 = 0$

Найдем дискриминант: $D = (-12)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 4 = 144 - 80 = 64$. Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня, значит, прямая и окружность пересекаются в двух точках.

Найдем значения $y$:

$y_1 = \frac{12 - \sqrt{64}}{2 \cdot 5} = \frac{12 - 8}{10} = \frac{4}{10} = 0.4$

$y_2 = \frac{12 + \sqrt{64}}{2 \cdot 5} = \frac{12 + 8}{10} = \frac{20}{10} = 2$

Найдем соответствующие значения $x$, используя $x = 3 - 2y$:

При $y_1 = 0.4$, $x_1 = 3 - 2(0.4) = 3 - 0.8 = 2.2$. Точка пересечения: $(2.2, 0.4)$.

При $y_2 = 2$, $x_2 = 3 - 2(2) = 3 - 4 = -1$. Точка пересечения: $(-1, 2)$.

Графическая иллюстрация решения:

Ответ: Да, пересекаются. Координаты точек пересечения: $(-1, 2)$ и $(2.2, 0.4)$.