Номер 776, страница 200 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Упражнения для повторения курса 7-9 классов. § 10. Геометрическая прогрессия. Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии - номер 776, страница 200.

776. Если от числителя и знаменателя обыкновенной дроби отнять по единице, то дробь увеличится на $\frac{1}{6}$. Если же к числителю и знаменателю прибавить по единице, то дробь уменьшится на$\frac{1}{10}$. Найдите эту дробь.

Пусть искомая обыкновенная дробь равна $\frac{x}{y}$, где $x$ — числитель, а $y$ — знаменатель.

По условию задачи, если от числителя и знаменателя отнять по единице, то дробь увеличится на $\frac{1}{6}$. Это можно записать в виде уравнения:

$\frac{x-1}{y-1} = \frac{x}{y} + \frac{1}{6}$

Преобразуем это уравнение, чтобы выразить разницу между новой и старой дробью:

$\frac{x-1}{y-1} - \frac{x}{y} = \frac{1}{6}$

Приведем левую часть к общему знаменателю $y(y-1)$:

$\frac{y(x-1) - x(y-1)}{y(y-1)} = \frac{1}{6}$

$\frac{xy - y - xy + x}{y^2 - y} = \frac{1}{6}$

$\frac{x - y}{y^2 - y} = \frac{1}{6}$

Отсюда получаем первое уравнение: $6(x - y) = y^2 - y$. (1)

Также по условию, если к числителю и знаменателю прибавить по единице, то дробь уменьшится на $\frac{1}{10}$. Запишем второе уравнение:

$\frac{x+1}{y+1} = \frac{x}{y} - \frac{1}{10}$

Преобразуем это уравнение:

$\frac{x}{y} - \frac{x+1}{y+1} = \frac{1}{10}$

Приведем левую часть к общему знаменателю $y(y+1)$:

$\frac{x(y+1) - y(x+1)}{y(y+1)} = \frac{1}{10}$

$\frac{xy + x - xy - y}{y^2 + y} = \frac{1}{10}$

$\frac{x - y}{y^2 + y} = \frac{1}{10}$

Отсюда получаем второе уравнение: $10(x - y) = y^2 + y$. (2)

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

$\begin{cases} 6(x - y) = y^2 - y \\ 10(x - y) = y^2 + y \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $x - y = \frac{y^2 - y}{6}$.

Из второго уравнения выразим $x - y = \frac{y^2 + y}{10}$.

Приравняем правые части этих выражений:

$\frac{y^2 - y}{6} = \frac{y^2 + y}{10}$

Поскольку $y$ — знаменатель дроби, $y \neq 0$. Мы можем вынести $y$ за скобки и сократить:

$\frac{y(y - 1)}{6} = \frac{y(y + 1)}{10}$

$\frac{y - 1}{6} = \frac{y + 1}{10}$

Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение):

$10(y - 1) = 6(y + 1)$

$10y - 10 = 6y + 6$

$10y - 6y = 6 + 10$

$4y = 16$

$y = 4$

Теперь найдем $x$, подставив значение $y=4$ в любое из уравнений системы, например, во второе:

$10(x - 4) = 4^2 + 4$

$10(x - 4) = 16 + 4$

$10(x - 4) = 20$

$x - 4 = 2$

$x = 6$

Следовательно, искомая дробь — это $\frac{6}{4}$.

Проверим полученный результат:

1. Исходная дробь $\frac{6}{4}$. Отнимаем 1 от числителя и знаменателя: $\frac{6-1}{4-1} = \frac{5}{3}$. Найдем разницу: $\frac{5}{3} - \frac{6}{4} = \frac{20}{12} - \frac{18}{12} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$. Первое условие выполняется.

2. Исходная дробь $\frac{6}{4}$. Прибавляем 1 к числителю и знаменателю: $\frac{6+1}{4+1} = \frac{7}{5}$. Найдем разницу: $\frac{6}{4} - \frac{7}{5} = \frac{30}{20} - \frac{28}{20} = \frac{2}{20} = \frac{1}{10}$. Второе условие выполняется.

Ответ: $\frac{6}{4}$