Номер 782, страница 201 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Упражнения для повторения курса 7-9 классов. § 10. Геометрическая прогрессия. Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии - номер 782, страница 201.

782. Один из членов арифметической прогрессии (aₙ) равен 3. Найдите его номер, если a₁ = 48,5 и d = –1,3. Является ли членом этой прогрессии число –3,5; число 15?

Для решения задачи воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_1$ — первый член прогрессии, $d$ — разность прогрессии, а $n$ — номер члена прогрессии.

По условию задачи имеем: $a_1 = 48,5$ и $d = -1,3$.

Найдите номер члена прогрессии, равного 3

Нам нужно найти номер $n$, для которого член прогрессии $a_n$ равен 3. Подставим известные значения в формулу:

$3 = 48,5 + (n-1) \cdot (-1,3)$

Теперь решим это уравнение относительно $n$:

$3 - 48,5 = (n-1) \cdot (-1,3)$

$-45,5 = (n-1) \cdot (-1,3)$

Чтобы найти $(n-1)$, разделим обе части уравнения на $-1,3$:

$n - 1 = \frac{-45,5}{-1,3} = \frac{455}{13}$

$n - 1 = 35$

$n = 35 + 1$

$n = 36$

Поскольку номер члена прогрессии $n = 36$ является натуральным числом, то число 3 действительно является 36-м членом данной прогрессии.

Ответ: номер члена прогрессии, равного 3, есть 36.

Является ли членом этой прогрессии число –3,5?

Чтобы определить, является ли число –3,5 членом прогрессии, нужно проверить, существует ли натуральное число $n$, для которого $a_n = -3,5$.

Подставим $a_n = -3,5$ в формулу:

$-3,5 = 48,5 + (n-1) \cdot (-1,3)$

$-3,5 - 48,5 = (n-1) \cdot (-1,3)$

$-52 = (n-1) \cdot (-1,3)$

$n - 1 = \frac{-52}{-1,3} = \frac{520}{13}$

$n - 1 = 40$

$n = 40 + 1$

$n = 41$

Так как мы получили натуральное число $n=41$, то число –3,5 является 41-м членом этой прогрессии.

Ответ: да, является.

Является ли членом этой прогрессии число 15?

Аналогично проверим, является ли число 15 членом данной прогрессии. Проверим, существует ли натуральное число $n$, для которого $a_n = 15$.

$15 = 48,5 + (n-1) \cdot (-1,3)$

$15 - 48,5 = (n-1) \cdot (-1,3)$

$-33,5 = (n-1) \cdot (-1,3)$

$n - 1 = \frac{-33,5}{-1,3} = \frac{335}{13}$

Выполним деление: $335 \div 13 \approx 25,77$. Так как 335 не делится на 13 нацело ($335 = 13 \cdot 25 + 10$), то $n-1$ является дробным числом.

$n-1 = 25\frac{10}{13}$

$n = 26\frac{10}{13}$

Поскольку номер члена прогрессии $n$ должен быть натуральным числом, а мы получили дробное значение, число 15 не является членом данной арифметической прогрессии.

Ответ: нет, не является.