Номер 775, страница 200 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Упражнения для повторения курса 7-9 классов. § 10. Геометрическая прогрессия. Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии - номер 775, страница 200.

775. При каком значении a система уравнений имеет единственное решение?

Для нахождения значения параметра $a$, при котором система уравнений имеет единственное решение, воспользуемся методом подстановки.

Исходная система уравнений:$$\begin{cases} x + 3y = 2 \\ xy = a\end{cases}$$

Сначала выразим переменную $x$ из первого (линейного) уравнения:$$ x = 2 - 3y $$

Теперь подставим полученное выражение для $x$ во второе уравнение системы:$$ (2 - 3y)y = a $$

Раскроем скобки и преобразуем уравнение к стандартному виду квадратного уравнения относительно переменной $y$:$$ 2y - 3y^2 = a $$$$ 3y^2 - 2y + a = 0 $$

Система уравнений имеет единственное решение тогда и только тогда, когда полученное квадратное уравнение имеет единственный корень. Условием наличия единственного корня у квадратного уравнения является равенство его дискриминанта ($D$) нулю.

Найдем дискриминант этого уравнения по формуле $D = b^2 - 4ac$, где коэффициенты $A=3$, $B=-2$ и $C=a$:$$ D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot a = 4 - 12a $$

Приравняем дискриминант к нулю и решим полученное уравнение относительно $a$:$$ 4 - 12a = 0 $$$$ 12a = 4 $$$$ a = \frac{4}{12} $$$$ a = \frac{1}{3} $$

Следовательно, система уравнений имеет единственное решение при $a = \frac{1}{3}$.

Ответ: $a = \frac{1}{3}$.