Номер 768, страница 199 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Упражнения для повторения курса 7-9 классов - номер 768, страница 199.

Условие.

768. Смешали два раствора соли. Концентрация первого составляла 40%, а концентрация второго — 48%. В результате получился раствор соли концентрацией 42%. В каком отношении были взяты первый и второй растворы?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Пусть $m_1$ — масса первого раствора, а $m_2$ — масса второго раствора. Концентрация соли в первом растворе составляет 40%, или $0.4$ в долях от единицы. Концентрация соли во втором растворе — 48%, или $0.48$.

Масса соли в первом растворе вычисляется как произведение его массы на концентрацию: $m_{соли1} = m_1 \cdot 0.4$.

Аналогично, масса соли во втором растворе: $m_{соли2} = m_2 \cdot 0.48$.

При смешивании двух растворов их массы и массы содержащейся в них соли складываются. Общая масса полученного раствора равна $m_{общ} = m_1 + m_2$. Общая масса соли в нем равна $m_{соли.общ} = m_{соли1} + m_{соли2} = 0.4 \cdot m_1 + 0.48 \cdot m_2$.

Концентрация итогового раствора составляет 42%, или $0.42$. Она равна отношению общей массы соли к общей массе раствора. На основе этого можно составить уравнение:

$ \frac{0.4 \cdot m_1 + 0.48 \cdot m_2}{m_1 + m_2} = 0.42 $

Чтобы решить это уравнение относительно отношения масс $\frac{m_1}{m_2}$, умножим обе части уравнения на знаменатель $(m_1 + m_2)$:

$ 0.4 \cdot m_1 + 0.48 \cdot m_2 = 0.42 \cdot (m_1 + m_2) $

Раскроем скобки в правой части:

$ 0.4 \cdot m_1 + 0.48 \cdot m_2 = 0.42 \cdot m_1 + 0.42 \cdot m_2 $

Перенесем все члены с $m_1$ в одну сторону, а с $m_2$ — в другую:

$ 0.48 \cdot m_2 - 0.42 \cdot m_2 = 0.42 \cdot m_1 - 0.4 \cdot m_1 $

Упростим обе части уравнения:

$ 0.06 \cdot m_2 = 0.02 \cdot m_1 $

Теперь найдем искомое отношение $\frac{m_1}{m_2}$. Для этого разделим обе части равенства на $m_2$ и на $0.02$:

$ \frac{m_1}{m_2} = \frac{0.06}{0.02} = \frac{6}{2} = 3 $

Отношение масс $\frac{m_1}{m_2} = \frac{3}{1}$. Это означает, что первый и второй растворы были взяты в отношении 3 к 1.

Ответ: 3:1.