Страница 199 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

762. При каких значениях b и c парабола y = x² + bx + c пересекает оси координат в точках (0; –3) и $\left(\frac{1}{2}; 0\right)?$ В какой ещё точке эта парабола пересекает ось x?

При каких значениях b и c парабола y = x^2 + bx + c пересекает оси координат в точках (0; -3) и (1/2; 0)?

Уравнение параболы дано в виде $y = x^2 + bx + c$. Чтобы найти коэффициенты $b$ и $c$, мы воспользуемся тем, что парабола проходит через две заданные точки. Это означает, что координаты этих точек удовлетворяют уравнению параболы.

1. Подставим координаты точки пересечения с осью ординат $(0; -3)$ в уравнение параболы:

$-3 = (0)^2 + b \cdot 0 + c$

$-3 = 0 + 0 + c$

$c = -3$

Коэффициент $c$ в уравнении параболы $y = ax^2 + bx + c$ всегда равен ординате точки пересечения с осью $y$. Таким образом, мы нашли $c = -3$. Уравнение параболы принимает вид: $y = x^2 + bx - 3$.

2. Теперь подставим координаты точки пересечения с осью абсцисс $(\frac{1}{2}; 0)$ в обновленное уравнение:

$0 = (\frac{1}{2})^2 + b \cdot \frac{1}{2} - 3$

$0 = \frac{1}{4} + \frac{b}{2} - 3$

Решим полученное уравнение относительно $b$:

$\frac{b}{2} = 3 - \frac{1}{4}$

$\frac{b}{2} = \frac{12}{4} - \frac{1}{4}$

$\frac{b}{2} = \frac{11}{4}$

$b = \frac{11}{4} \cdot 2$

$b = \frac{11}{2}$

Таким образом, мы нашли искомые значения коэффициентов.

Ответ: $b = \frac{11}{2}$, $c = -3$.

В какой ещё точке эта парабола пересекает ось x?

Теперь, когда мы знаем коэффициенты, полное уравнение параболы выглядит так:

$y = x^2 + \frac{11}{2}x - 3$

Точки пересечения параболы с осью $x$ (осью абсцисс) — это точки, у которых координата $y=0$. Чтобы найти абсциссы этих точек, необходимо решить квадратное уравнение:

$x^2 + \frac{11}{2}x - 3 = 0$

Из условия задачи нам уже известен один корень (одна точка пересечения) этого уравнения: $x_1 = \frac{1}{2}$. Второй корень $x_2$ можно найти, используя теорему Виета.

Согласно теореме Виета, для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$ произведение корней $x_1 \cdot x_2$ равно свободному члену $q$. В нашем случае $q = -3$.

$x_1 \cdot x_2 = -3$

Подставим известный корень $x_1 = \frac{1}{2}$:

$\frac{1}{2} \cdot x_2 = -3$

Умножим обе части на 2, чтобы найти $x_2$:

$x_2 = -3 \cdot 2$

$x_2 = -6$

Это абсцисса второй точки пересечения с осью $x$. Координата $y$ в этой точке равна нулю. Таким образом, вторая точка пересечения — это $(-6; 0)$.

Ответ: Парабола пересекает ось $x$ в еще одной точке с координатами $(-6; 0)$.

763. Мастер и ученик изготовили в первый день 100 деталей. Во второй день мастер изготовил деталей на 20% больше, а ученик — на 10% больше, чем в первый день. Всего во второй день мастер и ученик изготовили 116 деталей. Сколько деталей изготовил мастер и сколько изготовил ученик в первый день?

Для решения задачи составим систему уравнений. Пусть $x$ — количество деталей, которое изготовил мастер в первый день, а $y$ — количество деталей, которое изготовил ученик в первый день.

Согласно условию, в первый день они вместе изготовили 100 деталей. Это дает нам первое уравнение:

$x + y = 100$

Во второй день мастер увеличил свою производительность на 20%, то есть изготовил $x + 0.2x = 1.2x$ деталей. Ученик увеличил свою производительность на 10%, то есть изготовил $y + 0.1y = 1.1y$ деталей. Вместе во второй день они изготовили 116 деталей. Это дает нам второе уравнение:

$1.2x + 1.1y = 116$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

$\begin{cases} x + y = 100 \\ 1.2x + 1.1y = 116 \end{cases}$

Выразим $y$ из первого уравнения:

$y = 100 - x$

Подставим это выражение во второе уравнение и решим его:

$1.2x + 1.1(100 - x) = 116$

$1.2x + 110 - 1.1x = 116$

$0.1x = 116 - 110$

$0.1x = 6$

$x = 6 / 0.1$

$x = 60$

Итак, мастер в первый день изготовил 60 деталей.

Теперь найдем, сколько деталей изготовил ученик в первый день, подставив значение $x$ в первое уравнение:

$y = 100 - 60$

$y = 40$

Таким образом, ученик в первый день изготовил 40 деталей.

Проверим результат:
В первый день: $60 + 40 = 100$ деталей.
Во второй день: мастер изготовил $60 \cdot 1.2 = 72$ детали, ученик изготовил $40 \cdot 1.1 = 44$ детали. Вместе: $72 + 44 = 116$ деталей. Все условия задачи выполнены.

Ответ: в первый день мастер изготовил 60 деталей, а ученик — 40 деталей.

764. Легковой автомобиль проехал за 2 ч на 10 км больше, чем грузовой за 3 ч. Если уменьшить скорость легкового автомобиля на 25%, а грузового на 20%, то грузовой автомобиль проедет за 5 ч на 20 км больше, чем легковой за 3 ч. Найдите скорость каждого автомобиля.

Для решения задачи введем переменные и составим систему уравнений. Пусть $v_л$ (км/ч) — первоначальная скорость легкового автомобиля, а $v_г$ (км/ч) — первоначальная скорость грузового автомобиля.

Расстояние, которое легковой автомобиль проехал за 2 часа, равно $S_л = 2 \cdot v_л$. Расстояние, которое проехал грузовой автомобиль за 3 часа, равно $S_г = 3 \cdot v_г$.

По первому условию задачи, легковой автомобиль проехал на 10 км больше, чем грузовой. Это можно записать в виде уравнения:

$2v_л = 3v_г + 10$

Далее, рассмотрим второе условие. Скорость легкового автомобиля уменьшили на 25%. Новая скорость легкового автомобиля $v_л'$ составляет $100\% - 25\% = 75\%$ от первоначальной:

$v_л' = v_л \cdot (1 - 0.25) = 0.75v_л$

Скорость грузового автомобиля уменьшили на 20%. Новая скорость грузового автомобиля $v_г'$ составляет $100\% - 20\% = 80\%$ от первоначальной:

$v_г' = v_г \cdot (1 - 0.20) = 0.8v_г$

При этих новых скоростях грузовой автомобиль за 5 часов проедет расстояние $S_г' = 5 \cdot v_г' = 5 \cdot (0.8v_г) = 4v_г$ км. А легковой автомобиль за 3 часа проедет расстояние $S_л' = 3 \cdot v_л' = 3 \cdot (0.75v_л) = 2.25v_л$ км.

Согласно второму условию, грузовой автомобиль проехал на 20 км больше, чем легковой. Составим второе уравнение:

$4v_г = 2.25v_л + 20$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя переменными:

$\begin{cases} 2v_л - 3v_г = 10 \\ 4v_г - 2.25v_л = 20 \end{cases}$

Для решения системы выразим $v_л$ из первого уравнения:

$2v_л = 3v_г + 10$

$v_л = \frac{3v_г + 10}{2} = 1.5v_г + 5$

Подставим полученное выражение для $v_л$ во второе уравнение системы:

$4v_г - 2.25(1.5v_г + 5) = 20$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $v_г$:

$4v_г - 3.375v_г - 11.25 = 20$

$0.625v_г = 20 + 11.25$

$0.625v_г = 31.25$

$v_г = \frac{31.25}{0.625} = 50$

Таким образом, первоначальная скорость грузового автомобиля составляет 50 км/ч.

Теперь найдем первоначальную скорость легкового автомобиля, подставив значение $v_г$ в выражение для $v_л$:

$v_л = 1.5 \cdot 50 + 5 = 75 + 5 = 80$

Первоначальная скорость легкового автомобиля составляет 80 км/ч.

Выполним проверку:

1. Расстояние легкового за 2 ч: $2 \cdot 80 = 160$ км. Расстояние грузового за 3 ч: $3 \cdot 50 = 150$ км. Разница: $160 - 150 = 10$ км. Первое условие выполняется.

2. Новая скорость легкового: $80 \cdot 0.75 = 60$ км/ч. Новая скорость грузового: $50 \cdot 0.8 = 40$ км/ч. Расстояние грузового за 5 ч: $5 \cdot 40 = 200$ км. Расстояние легкового за 3 ч: $3 \cdot 60 = 180$ км. Разница: $200 - 180 = 20$ км. Второе условие выполняется.

Ответ: скорость легкового автомобиля — 80 км/ч, скорость грузового автомобиля — 50 км/ч.

765. На опытном поле под рожь отвели участок 20 га, а под пшеницу — 30 га. В прошлом году с обоих участков собрали 2300 ц зерна. В этом году урожайность ржи повысилась на 20%, а пшеницы — на 30% и поэтому собрали зерна на 610 ц больше, чем в прошлом году. Какой была урожайность каждой культуры в этом году?

Для решения задачи введем переменные и составим систему уравнений. Пусть $x$ — урожайность ржи в прошлом году (в ц/га), а $y$ — урожайность пшеницы в прошлом году (в ц/га).

Исходя из данных о площади участков (20 га для ржи и 30 га для пшеницы) и общем сборе зерна в прошлом году (2300 ц), составим первое уравнение:

$20x + 30y = 2300$

В этом году урожайность ржи повысилась на 20% и стала равна $1.2x$, а урожайность пшеницы повысилась на 30% и стала равна $1.3y$. Общий сбор зерна в этом году увеличился на 610 ц и составил $2300 + 610 = 2910$ ц. Составим второе уравнение:

$20 \cdot (1.2x) + 30 \cdot (1.3y) = 2910$

$24x + 39y = 2910$

Получаем систему уравнений:

$\begin{cases} 20x + 30y = 2300 \\ 24x + 39y = 2910 \end{cases}$

Для упрощения вычислений разделим первое уравнение на 10, а второе — на 3:

$\begin{cases} 2x + 3y = 230 \\ 8x + 13y = 970 \end{cases}$

Решим систему методом подстановки. Выразим $x$ из первого уравнения:

$2x = 230 - 3y \implies x = 115 - 1.5y$

Подставим полученное выражение для $x$ во второе уравнение:

$8(115 - 1.5y) + 13y = 970$

$920 - 12y + 13y = 970$

$y = 970 - 920$

$y = 50$

Таким образом, урожайность пшеницы в прошлом году составляла 50 ц/га. Теперь найдем урожайность ржи в прошлом году, подставив значение $y$:

$x = 115 - 1.5 \cdot 50 = 115 - 75 = 40$

Урожайность ржи в прошлом году составляла 40 ц/га.

Наконец, найдем урожайность каждой культуры в этом году, как того требует условие задачи:

Урожайность ржи в этом году: $1.2 \cdot x = 1.2 \cdot 40 = 48$ ц/га.

Урожайность пшеницы в этом году: $1.3 \cdot y = 1.3 \cdot 50 = 65$ ц/га.

Ответ: урожайность ржи в этом году — 48 ц/га, урожайность пшеницы — 65 ц/га.

766. Расстояние между пунктами A и B равно 160 км. Из A в B выехал велосипедист, и в то же время из B в A выехал мотоциклист. Их встреча произошла через 2 ч, а через 30 мин после встречи велосипедисту осталось проехать в 11 раз больше, чем мотоциклисту. Каковы скорости мотоциклиста и велосипедиста?

Для решения задачи введем переменные:

• Пусть $v_в$ — скорость велосипедиста в км/ч.
• Пусть $v_м$ — скорость мотоциклиста в км/ч.

Расстояние между пунктами A и B составляет $S = 160$ км.

1. Составление первого уравнения.

Велосипедист и мотоциклист выехали одновременно навстречу друг другу. Их скорость сближения равна сумме их скоростей: $v_с = v_в + v_м$.

По условию, их встреча произошла через $t_1 = 2$ часа. За это время они вместе преодолели все расстояние $S$. Используя формулу $S = v \cdot t$, получаем первое уравнение:

$(v_в + v_м) \cdot 2 = 160$

Разделим обе части уравнения на 2:

$v_в + v_м = 80$ (1)

2. Составление второго уравнения.

Через 30 минут ($t_2 = 0,5$ часа) после встречи общее время движения каждого из них от старта составило $T = t_1 + t_2 = 2 + 0,5 = 2,5$ часа.

За время $T$ велосипедист проехал расстояние $S_в = v_в \cdot T = 2,5 v_в$. Расстояние, которое ему осталось проехать до пункта B, равно: $S_{в_{ост}} = 160 - 2,5 v_в$.

За время $T$ мотоциклист проехал расстояние $S_м = v_м \cdot T = 2,5 v_м$. Расстояние, которое ему осталось проехать до пункта A, равно: $S_{м_{ост}} = 160 - 2,5 v_м$.

Согласно условию, оставшийся путь велосипедиста в 11 раз больше оставшегося пути мотоциклиста:

$S_{в_{ост}} = 11 \cdot S_{м_{ост}}$

Подставим выражения для оставшихся расстояний и получим второе уравнение:

$160 - 2,5 v_в = 11 \cdot (160 - 2,5 v_м)$ (2)

3. Решение системы уравнений.

Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя переменными:

$\begin{cases} v_в + v_м = 80 \\ 160 - 2,5v_в = 11(160 - 2,5v_м) \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $v_в$:

$v_в = 80 - v_м$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$160 - 2,5(80 - v_м) = 11(160 - 2,5v_м)$

Раскроем скобки:

$160 - 200 + 2,5v_м = 1760 - 27,5v_м$

Упростим левую часть:

$-40 + 2,5v_м = 1760 - 27,5v_м$

Перенесем все слагаемые с $v_м$ в левую часть, а числовые значения — в правую:

$2,5v_м + 27,5v_м = 1760 + 40$

$30v_м = 1800$

Найдем скорость мотоциклиста:

$v_м = \frac{1800}{30} = 60$ км/ч.

Теперь найдем скорость велосипедиста, подставив найденное значение $v_м$ в первое уравнение:

$v_в = 80 - v_м = 80 - 60 = 20$ км/ч.

Ответ: скорость мотоциклиста равна 60 км/ч, а скорость велосипедиста — 20 км/ч.

767. Имеются два сплава серебра с медью. Первый содержит 67% меди, а второй — 87% меди. В каком соотношении нужно взять эти два сплава, чтобы получить сплав, содержащий 79% меди?

Для решения задачи необходимо составить уравнение, которое будет отражать баланс меди при смешивании двух сплавов.

Пусть $m_1$ — это масса первого сплава, которую необходимо взять, а $m_2$ — масса второго сплава.

В первом сплаве содержится 67% меди. Это означает, что масса меди в куске первого сплава массой $m_1$ составляет $0.67 \cdot m_1$.

Во втором сплаве содержится 87% меди. Аналогично, масса меди в куске второго сплава массой $m_2$ составляет $0.87 \cdot m_2$.

Когда мы смешиваем эти два сплава, общая масса нового, третьего, сплава становится равной сумме масс исходных сплавов: $m_{общ} = m_1 + m_2$.

Общая масса меди в новом сплаве также является суммой масс меди из первого и второго сплавов: $m_{меди} = 0.67 \cdot m_1 + 0.87 \cdot m_2$.

По условию задачи, в получившемся сплаве должно быть 79% меди. Это значит, что масса меди в новом сплаве может быть выражена как 79% от его общей массы: $m_{меди} = 0.79 \cdot (m_1 + m_2)$.

Теперь мы можем приравнять два выражения для массы меди в новом сплаве:

$0.67 \cdot m_1 + 0.87 \cdot m_2 = 0.79 \cdot (m_1 + m_2)$

Наша цель — найти соотношение, в котором нужно взять сплавы, то есть отношение $\frac{m_1}{m_2}$. Для этого решим полученное уравнение. Сначала раскроем скобки в правой части:

$0.67 m_1 + 0.87 m_2 = 0.79 m_1 + 0.79 m_2$

Перенесем все слагаемые с $m_1$ в одну сторону, а с $m_2$ — в другую:

$0.87 m_2 - 0.79 m_2 = 0.79 m_1 - 0.67 m_1$

Выполним вычитание:

$0.08 m_2 = 0.12 m_1$

Теперь выразим искомое отношение $\frac{m_1}{m_2}$:

$\frac{m_1}{m_2} = \frac{0.08}{0.12}$

Чтобы упростить дробь, можно умножить числитель и знаменатель на 100, чтобы избавиться от десятичных знаков:

$\frac{m_1}{m_2} = \frac{8}{12}$

Сократим полученную дробь на их наибольший общий делитель, который равен 4:

$\frac{m_1}{m_2} = \frac{2}{3}$

Таким образом, массы первого и второго сплавов должны относиться как 2 к 3.

Ответ: сплавы нужно взять в соотношении 2:3.

768. Смешали два раствора соли. Концентрация первого составляла 40%, а концентрация второго — 48%. В результате получился раствор соли концентрацией 42%. В каком отношении были взяты первый и второй растворы?

Пусть $m_1$ — масса первого раствора, а $m_2$ — масса второго раствора. Концентрация соли в первом растворе составляет 40%, или $0.4$ в долях от единицы. Концентрация соли во втором растворе — 48%, или $0.48$.

Масса соли в первом растворе вычисляется как произведение его массы на концентрацию: $m_{соли1} = m_1 \cdot 0.4$.

Аналогично, масса соли во втором растворе: $m_{соли2} = m_2 \cdot 0.48$.

При смешивании двух растворов их массы и массы содержащейся в них соли складываются. Общая масса полученного раствора равна $m_{общ} = m_1 + m_2$. Общая масса соли в нем равна $m_{соли.общ} = m_{соли1} + m_{соли2} = 0.4 \cdot m_1 + 0.48 \cdot m_2$.

Концентрация итогового раствора составляет 42%, или $0.42$. Она равна отношению общей массы соли к общей массе раствора. На основе этого можно составить уравнение:

$ \frac{0.4 \cdot m_1 + 0.48 \cdot m_2}{m_1 + m_2} = 0.42 $

Чтобы решить это уравнение относительно отношения масс $\frac{m_1}{m_2}$, умножим обе части уравнения на знаменатель $(m_1 + m_2)$:

$ 0.4 \cdot m_1 + 0.48 \cdot m_2 = 0.42 \cdot (m_1 + m_2) $

Раскроем скобки в правой части:

$ 0.4 \cdot m_1 + 0.48 \cdot m_2 = 0.42 \cdot m_1 + 0.42 \cdot m_2 $

Перенесем все члены с $m_1$ в одну сторону, а с $m_2$ — в другую:

$ 0.48 \cdot m_2 - 0.42 \cdot m_2 = 0.42 \cdot m_1 - 0.4 \cdot m_1 $

Упростим обе части уравнения:

$ 0.06 \cdot m_2 = 0.02 \cdot m_1 $

Теперь найдем искомое отношение $\frac{m_1}{m_2}$. Для этого разделим обе части равенства на $m_2$ и на $0.02$:

$ \frac{m_1}{m_2} = \frac{0.06}{0.02} = \frac{6}{2} = 3 $

Отношение масс $\frac{m_1}{m_2} = \frac{3}{1}$. Это означает, что первый и второй растворы были взяты в отношении 3 к 1.

Ответ: 3:1.

769. Решите графически систему уравнений:

а)
Для решения системы графически, построим графики каждого уравнения.
Первое уравнение: $y + x^2 = 5x$. Преобразуем его к виду $y = -x^2 + 5x$. Это уравнение параболы, ветви которой направлены вниз. Найдем вершину параболы: $x_v = -5/(2 \cdot (-1)) = 2.5$, $y_v = -(2.5)^2 + 5 \cdot 2.5 = -6.25 + 12.5 = 6.25$. Вершина находится в точке $(2.5, 6.25)$. Точки пересечения с осью Ox: $-x^2+5x=0 \Rightarrow x(5-x)=0 \Rightarrow x=0, x=5$.
Второе уравнение: $2y + 5 = x$. Преобразуем его к виду $y = \frac{1}{2}x - 2.5$. Это уравнение прямой линии с угловым коэффициентом $k = 0.5$ и пересечением с осью Oy в точке $(0, -2.5)$.
Построим графики параболы и прямой на одной координатной плоскости. Точки пересечения графиков являются решениями системы.
Из графика видно, что парабола и прямая пересекаются в двух точках. Определим их координаты. Одна из точек пересечения — $(5, 0)$. Вторая точка имеет координаты $(-0.5, -2.75)$.

Ответ: $(5, 0)$, $(-0.5, -2.75)$.

б)
Рассмотрим уравнения системы.
Первое уравнение: $x^2 + y^2 = 25$. Это уравнение окружности с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $r = \sqrt{25} = 5$.
Второе уравнение: $2x^2 + y = 6$. Преобразуем его к виду $y = -2x^2 + 6$. Это уравнение параболы, ветви которой направлены вниз. Вершина параболы находится в точке $(0, 6)$.
Построим графики окружности и параболы. Вершина параболы $(0, 6)$ находится вне окружности (так как $6 > 5$). Поскольку ветви параболы направлены вниз, она пересечет окружность в четырех точках, симметричных относительно оси Oy.
Найдем приблизительные координаты точек пересечения по графику. Две точки находятся в верхней полуплоскости, а две — в нижней.
Приблизительные координаты: $(\approx 0.7, \approx 4.9)$, $(\approx -0.7, \approx 4.9)$, $(\approx 2.3, \approx -4.4)$ и $(\approx -2.3, \approx -4.4)$.

Ответ: $(\approx 0.7, \approx 4.9)$, $(\approx -0.7, \approx 4.9)$, $(\approx 2.3, \approx -4.4)$, $(\approx -2.3, \approx -4.4)$.

в)
Рассмотрим уравнения системы.
Первое уравнение: $xy = 1$ или $y = 1/x$. Это уравнение гиперболы, ветви которой расположены в первом и третьем координатных квадрантах. Асимптоты — оси Ox и Oy.
Второе уравнение: $x^2 + y^2 = 9$. Это уравнение окружности с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $r = \sqrt{9} = 3$.
Построим графики гиперболы и окружности. Графики пересекаются в четырех точках. Две точки находятся в первом квадранте и две — в третьем, симметрично первым относительно начала координат.
Найдем приблизительные координаты точек пересечения по графику. В первом квадранте одна точка имеет большую координату x и малую y, а другая — наоборот.
Приблизительные координаты точек: $(\approx 2.9, \approx 0.3)$, $(\approx 0.3, \approx 2.9)$, $(\approx -2.9, \approx -0.3)$ и $(\approx -0.3, \approx -2.9)$.

Ответ: $(\approx 2.9, \approx 0.3)$, $(\approx 0.3, \approx 2.9)$, $(\approx -2.9, \approx -0.3)$, $(\approx -0.3, \approx -2.9)$.

г)
Рассмотрим уравнения системы.
Первое уравнение: $xy = -2$ или $y = -2/x$. Это уравнение гиперболы, ветви которой расположены во втором и четвертом координатных квадрантах. Асимптоты — оси Ox и Oy.
Второе уравнение: $y + 8 = \frac{1}{2}x^2$ или $y = \frac{1}{2}x^2 - 8$. Это уравнение параболы, ветви которой направлены вверх. Вершина параболы находится в точке $(0, -8)$.
Построим графики гиперболы и параболы. Ветвь гиперболы в четвертом квадранте приближается к оси Oy снизу ($y \to -\infty$ при $x \to 0^+$), а парабола имеет вершину в $(0, -8)$. Это означает, что парабола и гипербола пересекутся вблизи вершины параболы. Также, по мере роста x, парабола растет быстрее гиперболы, что приведет ко второму пересечению в IV квадранте. Во втором квадранте графики также пересекутся один раз. Таким образом, система имеет три решения.
Приблизительные координаты точек пересечения: $(\approx 0.25, \approx -8.0)$, $(\approx 3.9, \approx -0.5)$ и $(\approx -4.1, \approx 0.5)$.

Ответ: $(\approx 0.25, \approx -8.0)$, $(\approx 3.9, \approx -0.5)$, $(\approx -4.1, \approx 0.5)$.

770. Решите систему уравнений способом подстановки:

а)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} x^2 + y + 8 = xy, \\ y - 2x = 0; \end{cases} $$

1. Из второго уравнения выразим y через x:

$y = 2x$

2. Подставим полученное выражение для y в первое уравнение системы:

$x^2 + (2x) + 8 = x(2x)$

3. Упростим и решим полученное квадратное уравнение:

$x^2 + 2x + 8 = 2x^2$

$2x^2 - x^2 - 2x - 8 = 0$

$x^2 - 2x - 8 = 0$

Найдем корни по теореме Виета или через дискриминант.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$.
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + 6}{2} = 4$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - 6}{2} = -2$

4. Найдем соответствующие значения y, используя $y = 2x$:

Если $x_1 = 4$, то $y_1 = 2 \cdot 4 = 8$.

Если $x_2 = -2$, то $y_2 = 2 \cdot (-2) = -4$.

Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: $(4; 8), (-2; -4)$.

б)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} x^2 - y^2 = 16, \\ x + y = 8; \end{cases} $$

1. Из второго уравнения выразим y через x:

$y = 8 - x$

2. Подставим полученное выражение для y в первое уравнение:

$x^2 - (8 - x)^2 = 16$

3. Раскроем скобки и решим полученное уравнение:

$x^2 - (64 - 16x + x^2) = 16$

$x^2 - 64 + 16x - x^2 = 16$

$16x - 64 = 16$

$16x = 16 + 64$

$16x = 80$

$x = \frac{80}{16} = 5$

4. Найдем соответствующее значение y, используя $y = 8 - x$:

$y = 8 - 5 = 3$

Система имеет одно решение.

Ответ: $(5; 3)$.

в)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} x + y = 5, \\ x^2 - xy + y^2 = 13; \end{cases} $$

1. Из первого уравнения выразим y через x:

$y = 5 - x$

2. Подставим это выражение во второе уравнение:

$x^2 - x(5 - x) + (5 - x)^2 = 13$

3. Раскроем скобки и упростим:

$x^2 - 5x + x^2 + (25 - 10x + x^2) = 13$

$3x^2 - 15x + 25 = 13$

$3x^2 - 15x + 12 = 0$

Разделим уравнение на 3:

$x^2 - 5x + 4 = 0$

4. Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $x_1 = 1, x_2 = 4$.

5. Найдем соответствующие значения y, используя $y = 5 - x$:

Если $x_1 = 1$, то $y_1 = 5 - 1 = 4$.

Если $x_2 = 4$, то $y_2 = 5 - 4 = 1$.

Система имеет два решения.

Ответ: $(1; 4), (4; 1)$.

г)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} x^2 + y^2 + 3xy = 1, \\ 3y + x = 0; \end{cases} $$

1. Из второго уравнения выразим x через y:

$x = -3y$

2. Подставим это выражение в первое уравнение:

$(-3y)^2 + y^2 + 3(-3y)y = 1$

3. Упростим и решим полученное уравнение:

$9y^2 + y^2 - 9y^2 = 1$

$y^2 = 1$

Отсюда $y_1 = 1$ и $y_2 = -1$.

4. Найдем соответствующие значения x, используя $x = -3y$:

Если $y_1 = 1$, то $x_1 = -3 \cdot 1 = -3$.

Если $y_2 = -1$, то $x_2 = -3 \cdot (-1) = 3$.

Система имеет два решения.

Ответ: $(-3; 1), (3; -1)$.

д)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} 2x^2 + 5x - 3y = -12, \\ 2y - 7x = 8; \end{cases} $$

1. Из второго уравнения выразим y через x:

$2y = 7x + 8$

$y = \frac{7x + 8}{2}$

2. Подставим это выражение в первое уравнение:

$2x^2 + 5x - 3\left(\frac{7x + 8}{2}\right) = -12$

3. Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от знаменателя:

$4x^2 + 10x - 3(7x + 8) = -24$

$4x^2 + 10x - 21x - 24 = -24$

$4x^2 - 11x = 0$

4. Решим полученное неполное квадратное уравнение:

$x(4x - 11) = 0$

Отсюда $x_1 = 0$ или $4x - 11 = 0 \Rightarrow 4x = 11 \Rightarrow x_2 = \frac{11}{4}$.

5. Найдем соответствующие значения y, используя $y = \frac{7x + 8}{2}$:

Если $x_1 = 0$, то $y_1 = \frac{7 \cdot 0 + 8}{2} = \frac{8}{2} = 4$.

Если $x_2 = \frac{11}{4}$, то $y_2 = \frac{7 \cdot \frac{11}{4} + 8}{2} = \frac{\frac{77}{4} + \frac{32}{4}}{2} = \frac{\frac{109}{4}}{2} = \frac{109}{8}$.

Система имеет два решения.

Ответ: $(0; 4), (\frac{11}{4}; \frac{109}{8})$.

е)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} y^2 - 6x + y = 0, \\ 2x - \frac{1}{2}y = 1. \end{cases} $$

1. Из второго уравнения выразим x через y:

$2x = 1 + \frac{1}{2}y$

$x = \frac{1}{2} + \frac{1}{4}y$

2. Подставим это выражение в первое уравнение:

$y^2 - 6\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{4}y\right) + y = 0$

3. Раскроем скобки и упростим:

$y^2 - 3 - \frac{6}{4}y + y = 0$

$y^2 - 3 - \frac{3}{2}y + y = 0$

$y^2 - \frac{1}{2}y - 3 = 0$

4. Умножим уравнение на 2 и решим полученное квадратное уравнение:

$2y^2 - y - 6 = 0$

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 1 + 48 = 49$.
$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 7}{4} = \frac{8}{4} = 2$
$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 7}{4} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2}$

5. Найдем соответствующие значения x, используя $x = \frac{1}{2} + \frac{1}{4}y$:

Если $y_1 = 2$, то $x_1 = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} \cdot 2 = \frac{1}{2} + \frac{2}{4} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$.

Если $y_2 = -\frac{3}{2}$, то $x_2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} \cdot \left(-\frac{3}{2}\right) = \frac{1}{2} - \frac{3}{8} = \frac{4}{8} - \frac{3}{8} = \frac{1}{8}$.

Система имеет два решения.

Ответ: $(1; 2), (\frac{1}{8}; -\frac{3}{2})$.