Страница 196 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

738. Две бригады, работая вместе, выполняют работу за 6 ч. Одной первой бригаде на ту же работу требуется на 5 ч больше, чем второй. За какое время может выполнить всю работу каждая бригада, работая отдельно?

Пусть $t$ часов — это время, за которое вторая бригада может выполнить всю работу, работая в одиночку. Тогда, согласно условию, первой бригаде на выполнение той же работы потребуется $(t+5)$ часов.

Примем объем всей работы за 1. Производительность (скорость выполнения работы) второй бригады составит $\frac{1}{t}$ работы в час, а производительность первой бригады — $\frac{1}{t+5}$ работы в час.

Когда бригады работают вместе, их производительности складываются. По условию, вместе они выполняют работу за 6 часов, значит, их совместная производительность равна $\frac{1}{6}$ работы в час. Составим уравнение:$\frac{1}{t+5} + \frac{1}{t} = \frac{1}{6}$

Для решения уравнения приведем левую часть к общему знаменателю:$\frac{t + (t+5)}{t(t+5)} = \frac{1}{6}$$\frac{2t+5}{t^2+5t} = \frac{1}{6}$

Применив свойство пропорции (перекрестное умножение), получим:$6(2t+5) = t^2+5t$$12t + 30 = t^2+5t$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2+bx+c=0$:$t^2 + 5t - 12t - 30 = 0$$t^2 - 7t - 30 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 49 + 120 = 169$Корни уравнения:$t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 \pm \sqrt{169}}{2} = \frac{7 \pm 13}{2}$$t_1 = \frac{7+13}{2} = 10$$t_2 = \frac{7-13}{2} = -3$

Поскольку время не может быть отрицательной величиной, корень $t_2 = -3$ не является решением задачи. Следовательно, время выполнения работы второй бригадой составляет 10 часов.

Время выполнения работы первой бригадой равно $t+5 = 10+5=15$ часов.

Ответ: первая бригада может выполнить работу за 15 часов, вторая — за 10 часов.

739. Две автомашины отправились одновременно из села в город, который удалён на 180 км. Одна автомашина пришла в город на 45 мин позже другой, так как её скорость была на 20 км/ч меньше. С какой скоростью шла каждая автомашина?

Для решения задачи введем переменную и составим уравнение. Пусть $v$ км/ч — скорость более быстрой автомашины. Тогда, согласно условию, скорость второй, более медленной, автомашины равна $(v - 20)$ км/ч.

Обе машины проехали одинаковое расстояние $S = 180$ км.

Время, которое затратила на путь первая (быстрая) автомашина, можно выразить формулой $t_1 = \frac{S}{v} = \frac{180}{v}$ часов.

Время, которое затратила на путь вторая (медленная) автомашина, равно $t_2 = \frac{S}{v - 20} = \frac{180}{v - 20}$ часов.

Из условия известно, что вторая машина пришла на 45 минут позже. Переведем 45 минут в часы, чтобы все единицы измерения были согласованы:

$45 \text{ мин} = \frac{45}{60} \text{ ч} = \frac{3}{4} \text{ ч}$.

Разница во времени движения составляет $\frac{3}{4}$ часа. Так как вторая машина ехала дольше, то $t_2 - t_1 = \frac{3}{4}$. Составим и решим уравнение:

$\frac{180}{v - 20} - \frac{180}{v} = \frac{3}{4}$

Приведем дроби в левой части уравнения к общему знаменателю $v(v - 20)$:

$\frac{180v - 180(v - 20)}{v(v - 20)} = \frac{3}{4}$

$\frac{180v - 180v + 3600}{v^2 - 20v} = \frac{3}{4}$

$\frac{3600}{v^2 - 20v} = \frac{3}{4}$

Воспользуемся свойством пропорции (умножим крест-накрест):

$3 \cdot (v^2 - 20v) = 3600 \cdot 4$

$3(v^2 - 20v) = 14400$

Разделим обе части уравнения на 3:

$v^2 - 20v = 4800$

Перенесем все в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$v^2 - 20v - 4800 = 0$

Решим это уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-20)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4800) = 400 + 19200 = 19600$

Найдем корни уравнения:

$v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-20) \pm \sqrt{19600}}{2 \cdot 1} = \frac{20 \pm 140}{2}$

Получаем два возможных значения для скорости:

$v_1 = \frac{20 + 140}{2} = \frac{160}{2} = 80$

$v_2 = \frac{20 - 140}{2} = \frac{-120}{2} = -60$

Поскольку скорость не может быть отрицательной, корень $v_2 = -60$ не имеет физического смысла и не является решением задачи. Следовательно, скорость быстрой автомашины составляет 80 км/ч.

Теперь найдем скорость второй (медленной) автомашины:

$v - 20 = 80 - 20 = 60$ км/ч.

Ответ: скорость одной автомашины 80 км/ч, скорость другой автомашины 60 км/ч.

740. Моторная лодка прошла по течению реки 36 км и возвратилась обратно, затратив на весь путь 5 ч. Найдите скорость моторной лодки в стоячей воде, зная, что скорость течения равна 3 км/ч.

Пусть собственная скорость моторной лодки (скорость в стоячей воде) равна $x$ км/ч. По условию задачи, скорость течения реки равна 3 км/ч. Тогда скорость лодки по течению реки составляет $(x + 3)$ км/ч, а скорость лодки против течения реки — $(x - 3)$ км/ч. Для того чтобы лодка могла вернуться обратно, её собственная скорость должна быть больше скорости течения, то есть $x > 3$.

Лодка прошла 36 км по течению. Время, которое она на это затратила, вычисляется по формуле $t = \frac{S}{v}$ и равно $t_1 = \frac{36}{x+3}$ часов.

На обратный путь лодка также прошла 36 км, но уже против течения. Затраченное время равно $t_2 = \frac{36}{x-3}$ часов.

Суммарное время, затраченное на весь путь, составляет 5 часов. Можем составить уравнение, сложив время движения по течению и против течения: $t_1 + t_2 = 5$ $\frac{36}{x+3} + \frac{36}{x-3} = 5$

Для решения этого рационального уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю $(x+3)(x-3)$: $\frac{36(x-3) + 36(x+3)}{(x+3)(x-3)} = 5$

Раскроем скобки в числителе и применим формулу разности квадратов в знаменателе: $\frac{36x - 108 + 36x + 108}{x^2 - 9} = 5$

Упростим числитель: $\frac{72x}{x^2 - 9} = 5$

Это уравнение эквивалентно системе: $72x = 5(x^2 - 9)$ $x^2 - 9 \neq 0$

Решим первое уравнение: $72x = 5x^2 - 45$ $5x^2 - 72x - 45 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни с помощью дискриминанта: $a = 5, b = -72, c = -45$ $D = b^2 - 4ac = (-72)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-45) = 5184 + 900 = 6084$ $\sqrt{D} = \sqrt{6084} = 78$

Теперь найдем корни уравнения: $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{72 + 78}{2 \cdot 5} = \frac{150}{10} = 15$ $x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{72 - 78}{2 \cdot 5} = \frac{-6}{10} = -0.6$

Корень $x_2 = -0.6$ не удовлетворяет физическому смыслу задачи, так как скорость не может быть отрицательной. Также он не удовлетворяет нашему ограничению $x > 3$. Корень $x_1 = 15$ удовлетворяет всем условиям.

Выполним проверку. Если собственная скорость лодки 15 км/ч: Время по течению: $\frac{36}{15+3} = \frac{36}{18} = 2$ часа. Время против течения: $\frac{36}{15-3} = \frac{36}{12} = 3$ часа. Общее время в пути: $2 + 3 = 5$ часов, что соответствует условию задачи.

Ответ: скорость моторной лодки в стоячей воде равна 15 км/ч.

741. Моторная лодка прошла 18 км по течению и 14 км против течения, затратив на весь путь 3 ч 15 мин. Найдите скорость течения, если собственная скорость лодки 10 км/ч.

Пусть $x$ км/ч — искомая скорость течения. Собственная скорость лодки по условию равна $10$ км/ч. Тогда скорость лодки по течению реки составляет $(10 + x)$ км/ч, а скорость лодки против течения — $(10 - x)$ км/ч. Заметим, что скорость течения должна быть меньше собственной скорости лодки, чтобы лодка могла двигаться против течения, то есть $x < 10$.

Моторная лодка прошла 18 км по течению, затратив на это время $t_1 = \frac{18}{10 + x}$ часов. Против течения лодка прошла 14 км, затратив на это время $t_2 = \frac{14}{10 - x}$ часов.

Общее время, затраченное на весь путь, составляет 3 ч 15 мин. Переведем это время в часы для удобства расчетов: $3 \text{ ч } 15 \text{ мин } = 3 + \frac{15}{60} \text{ ч } = 3 + \frac{1}{4} \text{ ч } = \frac{12}{4} + \frac{1}{4} = \frac{13}{4}$ часа.

Суммарное время движения равно $t_1 + t_2$, что по условию составляет $\frac{13}{4}$ часа. Составим и решим уравнение: $\frac{18}{10 + x} + \frac{14}{10 - x} = \frac{13}{4}$

Приведем дроби в левой части уравнения к общему знаменателю $(10 + x)(10 - x) = 100 - x^2$: $\frac{18(10 - x) + 14(10 + x)}{100 - x^2} = \frac{13}{4}$

Упростим числитель левой части: $180 - 18x + 140 + 14x = 320 - 4x$
Получим уравнение: $\frac{320 - 4x}{100 - x^2} = \frac{13}{4}$

Используя основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних), получим: $4(320 - 4x) = 13(100 - x^2)$
$1280 - 16x = 1300 - 13x^2$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $ax^2+bx+c=0$: $13x^2 - 16x + 1280 - 1300 = 0$
$13x^2 - 16x - 20 = 0$

Решим это уравнение через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-16)^2 - 4 \cdot 13 \cdot (-20) = 256 + 1040 = 1296 = 36^2$

Найдем корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{16 \pm \sqrt{1296}}{2 \cdot 13} = \frac{16 \pm 36}{26}$
$x_1 = \frac{16 + 36}{26} = \frac{52}{26} = 2$
$x_2 = \frac{16 - 36}{26} = \frac{-20}{26} = -\frac{10}{13}$

Скорость течения не может быть отрицательной, поэтому корень $x_2 = -\frac{10}{13}$ является посторонним и не удовлетворяет условию задачи. Единственное подходящее решение — $x=2$.

Ответ: 2 км/ч.

742. Катер прошёл 75 км по течению реки и столько же против течения. На весь путь он затратил в 2 раза больше времени, чем ему понадобилось бы, чтобы пройти 80 км в стоячей воде. Какова скорость катера в стоячей воде, если скорость течения равна 5 км/ч?

Для решения задачи введём переменную. Пусть $x$ км/ч — это собственная скорость катера, то есть его скорость в стоячей воде. Нам нужно найти значение $x$.

Скорость течения реки по условию равна 5 км/ч.

Следовательно, скорость катера по течению реки составляет $v_{по} = (x + 5)$ км/ч.

Скорость катера против течения реки составляет $v_{пр} = (x - 5)$ км/ч.

Катер прошёл 75 км по течению и 75 км против течения. Время движения вычисляется по формуле $t = \frac{S}{v}$, где $S$ — расстояние, а $v$ — скорость.

Время, затраченное на путь по течению: $t_{по} = \frac{75}{x+5}$ ч.

Время, затраченное на путь против течения: $t_{пр} = \frac{75}{x-5}$ ч.

Общее время, затраченное на весь путь, равно сумме времени по течению и против течения:

$T_{общ} = t_{по} + t_{пр} = \frac{75}{x+5} + \frac{75}{x-5}$ ч.

Теперь рассчитаем время, которое потребовалось бы катеру, чтобы пройти 80 км в стоячей воде. Скорость в стоячей воде равна $x$ км/ч.

$T_{ст} = \frac{80}{x}$ ч.

Согласно условию задачи, на весь путь по реке ($T_{общ}$) катер затратил в 2 раза больше времени, чем на путь в стоячей воде ($T_{ст}$). На основе этого составим уравнение:

$T_{общ} = 2 \cdot T_{ст}$

$\frac{75}{x+5} + \frac{75}{x-5} = 2 \cdot \frac{80}{x}$

$\frac{75}{x+5} + \frac{75}{x-5} = \frac{160}{x}$

Приведём дроби в левой части уравнения к общему знаменателю $(x+5)(x-5) = x^2 - 25$:

$\frac{75(x-5) + 75(x+5)}{x^2 - 25} = \frac{160}{x}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{75x - 375 + 75x + 375}{x^2 - 25} = \frac{160}{x}$

$\frac{150x}{x^2 - 25} = \frac{160}{x}$

Решим получившееся уравнение методом пропорции. Стоит отметить, что скорость $x$ должна быть больше скорости течения, то есть $x > 5$.

$150x \cdot x = 160 \cdot (x^2 - 25)$

$150x^2 = 160x^2 - 160 \cdot 25$

$150x^2 = 160x^2 - 4000$

Перенесём слагаемые с $x^2$ в одну сторону, а числовое значение — в другую:

$160x^2 - 150x^2 = 4000$

$10x^2 = 4000$

$x^2 = \frac{4000}{10}$

$x^2 = 400$

$x = \sqrt{400}$

$x = 20$

(Мы выбираем только положительный корень, так как скорость не может быть отрицательной). Полученное значение $x=20$ км/ч удовлетворяет условию $x > 5$.

Ответ: скорость катера в стоячей воде равна 20 км/ч.

743. Токарь должен был обработать 240 деталей к определённому сроку. Усовершенствовав резец, он стал обрабатывать в час на 2 детали больше, чем предполагалось по плану, и потому выполнил задание на 4 ч раньше срока. Сколько деталей в час должен был обрабатывать токарь?

Пусть $x$ — количество деталей, которое токарь должен был обрабатывать в час по плану. Тогда, усовершенствовав резец, он стал обрабатывать $x + 2$ детали в час.

Время, которое токарь должен был затратить на всю работу по плану, составляет $\frac{240}{x}$ часов. Фактическое время, затраченное на работу, составило $\frac{240}{x+2}$ часов.

По условию задачи, токарь выполнил задание на 4 часа раньше срока. Это означает, что разница между плановым и фактическим временем составляет 4 часа. Составим уравнение:

$\frac{240}{x} - \frac{240}{x+2} = 4$

Разделим обе части уравнения на 4, чтобы упростить его:

$\frac{60}{x} - \frac{60}{x+2} = 1$

Приведем дроби в левой части уравнения к общему знаменателю $x(x+2)$:

$\frac{60(x+2) - 60x}{x(x+2)} = 1$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{60x + 120 - 60x}{x^2 + 2x} = 1$

$\frac{120}{x^2 + 2x} = 1$

Из этого следует, что:

$x^2 + 2x = 120$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 2x - 120 = 0$

Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения. По теореме Виета, произведение корней равно -120, а их сумма равна -2. Подбираем корни:

$x_1 = 10$

$x_2 = -12$

Поскольку $x$ представляет собой количество деталей в час, это значение не может быть отрицательным. Следовательно, корень $x_2 = -12$ не подходит по смыслу задачи.

Таким образом, по плану токарь должен был обрабатывать 10 деталей в час.

Проверим решение:
Плановая производительность: 10 деталей/час. Время по плану: $240 / 10 = 24$ часа.
Фактическая производительность: $10 + 2 = 12$ деталей/час. Фактическое время: $240 / 12 = 20$ часов.
Разница во времени: $24 - 20 = 4$ часа, что соответствует условию задачи.

Ответ: 10 деталей.

744. Сотрудник типографии должен набрать к определённому сроку рукопись объёмом 150 страниц. Если он будет набирать на 5 страниц в день больше, чем обычно, то закончит работу на 1 день раньше намеченного срока. Сколько страниц в день обычно набирает сотрудник?

Пусть $x$ — это количество страниц, которое сотрудник обычно набирает в день (его обычная производительность). Тогда время, которое ему требуется для набора рукописи объемом 150 страниц, составляет $\frac{150}{x}$ дней.

Согласно условию задачи, если сотрудник будет набирать на 5 страниц в день больше, его производительность составит $(x + 5)$ страниц в день. В этом случае время на выполнение всей работы составит $\frac{150}{x+5}$ дней.

Известно, что в этом случае работа будет закончена на 1 день раньше. Это означает, что разница между временем работы в обычном режиме и ускоренном режиме равна 1 дню. На основе этого составим уравнение:

$\frac{150}{x} - \frac{150}{x+5} = 1$

Чтобы решить это уравнение, приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x+5)$:

$\frac{150(x+5) - 150x}{x(x+5)} = 1$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{150x + 750 - 150x}{x^2 + 5x} = 1$

Упростим числитель:

$\frac{750}{x^2 + 5x} = 1$

Теперь умножим обе части уравнения на знаменатель $x^2 + 5x$, при условии, что $x \neq 0$ и $x \neq -5$ (что очевидно, так как производительность не может быть нулевой или отрицательной):

$750 = x^2 + 5x$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 5x - 750 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

$D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-750) = 25 + 3000 = 3025$

Найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-5 + \sqrt{3025}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 + 55}{2} = \frac{50}{2} = 25$

$x_2 = \frac{-5 - \sqrt{3025}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 - 55}{2} = \frac{-60}{2} = -30$

Так как $x$ представляет собой количество страниц, набираемых в день, это значение не может быть отрицательным. Поэтому корень $x_2 = -30$ не является решением задачи.

Следовательно, сотрудник обычно набирает 25 страниц в день.

Проверка:
Обычная скорость: 25 страниц/день. Время на работу: $150 / 25 = 6$ дней.
Увеличенная скорость: $25 + 5 = 30$ страниц/день. Время на работу: $150 / 30 = 5$ дней.
Разница во времени: $6 - 5 = 1$ день. Условие задачи выполнено.

Ответ: 25 страниц.