Страница 191 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

703. Разложите на множители:

а) $x^4 - 25y^2$

Данное выражение представляет собой разность квадратов, так как его можно записать в виде $(x^2)^2 - (5y)^2$. Воспользуемся формулой разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

В нашем случае $a = x^2$ и $b = 5y$.

Подставляем значения в формулу:

$x^4 - 25y^2 = (x^2)^2 - (5y)^2 = (x^2 - 5y)(x^2 + 5y)$.

Ответ: $(x^2 - 5y)(x^2 + 5y)$.

б) $4b^2 - 0,01c^6$

Это выражение также является разностью квадратов. Представим его в виде $(2b)^2 - (0,1c^3)^2$. Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Здесь $a = 2b$ и $b = 0,1c^3$.

Подставляем в формулу:

$4b^2 - 0,01c^6 = (2b)^2 - (0,1c^3)^2 = (2b - 0,1c^3)(2b + 0,1c^3)$.

Ответ: $(2b - 0,1c^3)(2b + 0,1c^3)$.

в) $8a^3 + c^3$

Это выражение является суммой кубов. Представим его в виде $(2a)^3 + c^3$. Воспользуемся формулой суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.

В данном случае $a = 2a$ и $b = c$.

Подставляем в формулу:

$8a^3 + c^3 = (2a)^3 + c^3 = (2a + c)((2a)^2 - (2a)(c) + c^2) = (2a + c)(4a^2 - 2ac + c^2)$.

Ответ: $(2a + c)(4a^2 - 2ac + c^2)$.

г) $x^9 - 27$

Данное выражение является разностью кубов, так как его можно представить в виде $(x^3)^3 - 3^3$. Используем формулу разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

Здесь $a = x^3$ и $b = 3$.

Подставляем в формулу:

$x^9 - 27 = (x^3)^3 - 3^3 = (x^3 - 3)((x^3)^2 + (x^3)(3) + 3^2) = (x^3 - 3)(x^6 + 3x^3 + 9)$.

Ответ: $(x^3 - 3)(x^6 + 3x^3 + 9)$.

д) $9ab^2 - 16ac^2$

Сначала вынесем общий множитель $a$ за скобки:

$9ab^2 - 16ac^2 = a(9b^2 - 16c^2)$.

Выражение в скобках $9b^2 - 16c^2$ является разностью квадратов: $(3b)^2 - (4c)^2$. Применим формулу $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$:

$9b^2 - 16c^2 = (3b - 4c)(3b + 4c)$.

Таким образом, исходное выражение раскладывается на множители:

$a(3b - 4c)(3b + 4c)$.

Ответ: $a(3b - 4c)(3b + 4c)$.

е) $-20xy^3 + 45x^3y$

Для удобства поменяем слагаемые местами: $45x^3y - 20xy^3$.

Найдем общий множитель для обоих членов. Наибольший общий делитель для 45 и 20 равен 5. Общие переменные - $x$ и $y$. Вынесем за скобки $5xy$:

$5xy(9x^2 - 4y^2)$.

Выражение в скобках $9x^2 - 4y^2$ является разностью квадратов: $(3x)^2 - (2y)^2$. Применим формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$9x^2 - 4y^2 = (3x - 2y)(3x + 2y)$.

Следовательно, окончательное разложение на множители имеет вид:

$5xy(3x - 2y)(3x + 2y)$.

Ответ: $5xy(3x - 2y)(3x + 2y)$.

704. Разложите на множители квадратный трёхчлен:

а) Чтобы разложить на множители квадратный трёхчлен $x^2 - x - 42$, мы находим корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - x - 42 = 0$.
Воспользуемся теоремой Виета. Нам нужно найти два числа $x_1$ и $x_2$, сумма которых равна $-(-1)=1$, а произведение равно $-42$.
$x_1 + x_2 = 1$
$x_1 \cdot x_2 = -42$
Подбором находим корни: $x_1 = 7$ и $x_2 = -6$.
Формула разложения квадратного трёхчлена: $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$.
В данном случае $a=1$, поэтому разложение выглядит так:
$x^2 - x - 42 = 1 \cdot (x - 7)(x - (-6)) = (x - 7)(x + 6)$.
Ответ: $(x - 7)(x + 6)$

б) Чтобы разложить на множители $y^2 + 9y + 18$, решим уравнение $y^2 + 9y + 18 = 0$.
Используем теорему Виета. Ищем два числа $y_1$ и $y_2$, для которых:
$y_1 + y_2 = -9$
$y_1 \cdot y_2 = 18$
Эти числа — $-3$ и $-6$.
Следовательно, корни уравнения $y_1 = -3$ и $y_2 = -6$.
Подставляем корни в формулу разложения $a(y - y_1)(y - y_2)$ при $a=1$:
$y^2 + 9y + 18 = (y - (-3))(y - (-6)) = (y + 3)(y + 6)$.
Ответ: $(y + 3)(y + 6)$

в) Трёхчлен $81x^2 + 18x + 1$ можно разложить, используя формулу квадрата суммы: $(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$.
В нашем случае $A^2 = 81x^2 = (9x)^2$, значит $A = 9x$.
$B^2 = 1 = 1^2$, значит $B = 1$.
Проверим средний член: $2AB = 2 \cdot 9x \cdot 1 = 18x$. Он совпадает со средним членом исходного трёхчлена.
Таким образом, мы можем свернуть выражение в полный квадрат:
$81x^2 + 18x + 1 = (9x + 1)^2$.
Ответ: $(9x + 1)^2$

г) Трёхчлен $16b^2 - 24b + 9$ можно разложить, используя формулу квадрата разности: $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$.
Здесь $A^2 = 16b^2 = (4b)^2$, значит $A = 4b$.
$B^2 = 9 = 3^2$, значит $B = 3$.
Проверим средний член: $2AB = 2 \cdot 4b \cdot 3 = 24b$. Знак "минус" перед средним членом в исходном выражении указывает на то, что это квадрат разности.
Следовательно:
$16b^2 - 24b + 9 = (4b - 3)^2$.
Ответ: $(4b - 3)^2$

д) Для разложения на множители $6x^2 - x - 1$, решим квадратное уравнение $6x^2 - x - 1 = 0$.
Найдём дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-1)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-1) = 1 + 24 = 25$.
Теперь найдём корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{1 + 5}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$.
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{1 - 5}{12} = \frac{-4}{12} = -\frac{1}{3}$.
Подставляем корни в формулу разложения $a(x - x_1)(x - x_2)$:
$6x^2 - x - 1 = 6(x - \frac{1}{2})(x - (-\frac{1}{3})) = 6(x - \frac{1}{2})(x + \frac{1}{3})$.
Чтобы избавиться от дробей, внесём множитель $6 = 2 \cdot 3$ в скобки:
$2(x - \frac{1}{2}) \cdot 3(x + \frac{1}{3}) = (2x - 1)(3x + 1)$.
Ответ: $(2x - 1)(3x + 1)$

е) Для разложения на множители $3a^2 - 13a - 10$, решим уравнение $3a^2 - 13a - 10 = 0$.
Вычислим дискриминант:
$D = (-13)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-10) = 169 + 120 = 289$.
Найдём корни уравнения, зная, что $\sqrt{289} = 17$:
$a_1 = \frac{-(-13) + \sqrt{289}}{2 \cdot 3} = \frac{13 + 17}{6} = \frac{30}{6} = 5$.
$a_2 = \frac{-(-13) - \sqrt{289}}{2 \cdot 3} = \frac{13 - 17}{6} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$.
Подставляем корни в формулу разложения $k(a - a_1)(a - a_2)$ (где $k$ - старший коэффициент):
$3a^2 - 13a - 10 = 3(a - 5)(a - (-\frac{2}{3})) = 3(a - 5)(a + \frac{2}{3})$.
Внесём множитель $3$ во вторую скобку:
$(a - 5) \cdot 3(a + \frac{2}{3}) = (a - 5)(3a + 2)$.
Ответ: $(a - 5)(3a + 2)$

705. Сократите дробь:

а) $\frac{21a^3 - 6a^2b}{12ab - 42a^2}$
Для сокращения дроби разложим числитель и знаменатель на множители, вынеся общие множители за скобки.
В числителе вынесем за скобки $3a^2$: $21a^3 - 6a^2b = 3a^2(7a - 2b)$.
В знаменателе вынесем за скобки $6a$: $12ab - 42a^2 = 6a(2b - 7a)$.
Заметим, что $(2b - 7a) = -(7a - 2b)$. Тогда знаменатель можно записать как: $6a(-(7a - 2b)) = -6a(7a - 2b)$.
Подставим разложения в дробь: $\frac{3a^2(7a - 2b)}{-6a(7a - 2b)}$.
Сократим дробь на общий множитель $3a(7a - 2b)$: $\frac{a}{-2} = -\frac{a}{2}$.
Ответ: $-\frac{a}{2}$.

б) $\frac{6m^3 + 3mn^2}{2m^3n + mn^3}$
Разложим числитель и знаменатель на множители, вынеся общие множители за скобки.
Числитель: $6m^3 + 3mn^2 = 3m(2m^2 + n^2)$.
Знаменатель: $2m^3n + mn^3 = mn(2m^2 + n^2)$.
Получаем дробь: $\frac{3m(2m^2 + n^2)}{mn(2m^2 + n^2)}$.
Сокращаем на общий множитель $m(2m^2 + n^2)$: $\frac{3}{n}$.
Ответ: $\frac{3}{n}$.

в) $\frac{x^2 - 2mx + 3x - 6m}{x^2 + 2mx + 3x + 6m}$
Разложим числитель и знаменатель на множители методом группировки.
Числитель: $(x^2 - 2mx) + (3x - 6m) = x(x - 2m) + 3(x - 2m) = (x + 3)(x - 2m)$.
Знаменатель: $(x^2 + 2mx) + (3x + 6m) = x(x + 2m) + 3(x + 2m) = (x + 3)(x + 2m)$.
Получаем дробь: $\frac{(x + 3)(x - 2m)}{(x + 3)(x + 2m)}$.
Сокращаем на общий множитель $(x + 3)$: $\frac{x - 2m}{x + 2m}$.
Ответ: $\frac{x - 2m}{x + 2m}$.

г) $\frac{8ab + 2a - 20b - 5}{4ab - 8b^2 + a - 2b}$
Разложим числитель и знаменатель на множители методом группировки.
Числитель: $(8ab + 2a) - (20b + 5) = 2a(4b + 1) - 5(4b + 1) = (2a - 5)(4b + 1)$.
Знаменатель: $(4ab - 8b^2) + (a - 2b) = 4b(a - 2b) + 1(a - 2b) = (4b + 1)(a - 2b)$.
Получаем дробь: $\frac{(2a - 5)(4b + 1)}{(4b + 1)(a - 2b)}$.
Сокращаем на общий множитель $(4b + 1)$: $\frac{2a - 5}{a - 2b}$.
Ответ: $\frac{2a - 5}{a - 2b}$.

д) $\frac{16a^2 - 8ab + b^2}{16a^2 - b^2}$
Используем формулы сокращенного умножения.
Числитель является квадратом разности: $16a^2 - 8ab + b^2 = (4a - b)^2$.
Знаменатель является разностью квадратов: $16a^2 - b^2 = (4a - b)(4a + b)$.
Получаем дробь: $\frac{(4a - b)^2}{(4a - b)(4a + b)}$.
Сокращаем на общий множитель $(4a - b)$: $\frac{4a - b}{4a + b}$.
Ответ: $\frac{4a - b}{4a + b}$.

е) $\frac{9x^2 - 25y^2}{9x^2 + 30xy + 25y^2}$
Используем формулы сокращенного умножения.
Числитель является разностью квадратов: $9x^2 - 25y^2 = (3x - 5y)(3x + 5y)$.
Знаменатель является квадратом суммы: $9x^2 + 30xy + 25y^2 = (3x + 5y)^2$.
Получаем дробь: $\frac{(3x - 5y)(3x + 5y)}{(3x + 5y)^2}$.
Сокращаем на общий множитель $(3x + 5y)$: $\frac{3x - 5y}{3x + 5y}$.
Ответ: $\frac{3x - 5y}{3x + 5y}$.

ж) $\frac{a^2 - 3a}{a^2 + 3a - 18}$
Разложим числитель и знаменатель на множители.
Числитель: $a^2 - 3a = a(a - 3)$.
Для разложения знаменателя $a^2 + 3a - 18$ найдем корни уравнения $a^2 + 3a - 18 = 0$. По теореме Виета, корни $a_1 = -6$ и $a_2 = 3$. Тогда $a^2 + 3a - 18 = (a - (-6))(a - 3) = (a + 6)(a - 3)$.
Получаем дробь: $\frac{a(a - 3)}{(a + 6)(a - 3)}$.
Сокращаем на общий множитель $(a - 3)$: $\frac{a}{a + 6}$.
Ответ: $\frac{a}{a + 6}$.

з) $\frac{4x^2 - 8x + 3}{4x^2 - 1}$
Разложим числитель и знаменатель на множители.
Для разложения числителя $4x^2 - 8x + 3$ найдем корни уравнения $4x^2 - 8x + 3 = 0$. Дискриминант $D = (-8)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3 = 64 - 48 = 16$. Корни $x_1 = \frac{8 - \sqrt{16}}{2 \cdot 4} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$ и $x_2 = \frac{8 + \sqrt{16}}{2 \cdot 4} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$. Тогда $4x^2 - 8x + 3 = 4(x - \frac{1}{2})(x - \frac{3}{2}) = (2x - 1)(2x - 3)$.
Знаменатель разложим по формуле разности квадратов: $4x^2 - 1 = (2x)^2 - 1^2 = (2x - 1)(2x + 1)$.
Получаем дробь: $\frac{(2x - 1)(2x - 3)}{(2x - 1)(2x + 1)}$.
Сокращаем на общий множитель $(2x - 1)$: $\frac{2x - 3}{2x + 1}$.
Ответ: $\frac{2x - 3}{2x + 1}$.

и) $\frac{m^2 + 4m - 5}{m^2 + 7m + 10}$
Разложим на множители квадратные трехчлены в числителе и знаменателе.
Числитель: $m^2 + 4m - 5$. Найдем корни уравнения $m^2 + 4m - 5 = 0$. По теореме Виета: $m_1 + m_2 = -4$, $m_1 \cdot m_2 = -5$. Корни $m_1 = -5, m_2 = 1$. Тогда $m^2 + 4m - 5 = (m - (-5))(m - 1) = (m + 5)(m - 1)$.
Знаменатель: $m^2 + 7m + 10$. Найдем корни уравнения $m^2 + 7m + 10 = 0$. По теореме Виета: $m_1 + m_2 = -7$, $m_1 \cdot m_2 = 10$. Корни $m_1 = -5, m_2 = -2$. Тогда $m^2 + 7m + 10 = (m - (-5))(m - (-2)) = (m + 5)(m + 2)$.
Получаем дробь: $\frac{(m + 5)(m - 1)}{(m + 5)(m + 2)}$.
Сокращаем на общий множитель $(m + 5)$: $\frac{m - 1}{m + 2}$.
Ответ: $\frac{m - 1}{m + 2}$.

706. а) Найдите значение выражения $\frac{3x+2y}{x}$, если известно, что $\frac{2x+3y}{y}$= 7.

б) Найдите значение выражения $\frac{b}{a+b}$ если известно, что $\frac{4a-5b}{b}$= 3.

а)

Нам дано равенство $\frac{2x + 3y}{y} = 7$.
Преобразуем левую часть равенства, разделив числитель почленно на знаменатель:
$\frac{2x}{y} + \frac{3y}{y} = 7$
$\frac{2x}{y} + 3 = 7$
Теперь выразим отношение $\frac{x}{y}$:
$\frac{2x}{y} = 7 - 3$
$\frac{2x}{y} = 4$
$\frac{x}{y} = 2$
Нам нужно найти значение выражения $\frac{3x + 2y}{x}$.
Так же, как и ранее, разделим числитель почленно на знаменатель:
$\frac{3x}{x} + \frac{2y}{x} = 3 + 2 \cdot \frac{y}{x}$
Мы нашли, что $\frac{x}{y} = 2$. Следовательно, обратное отношение $\frac{y}{x} = \frac{1}{2}$.
Подставим это значение в наше выражение:
$3 + 2 \cdot \frac{1}{2} = 3 + 1 = 4$
Ответ: 4

б)

Нам дано равенство $\frac{4a - 5b}{b} = 3$.
Преобразуем левую часть, разделив числитель почленно на знаменатель:
$\frac{4a}{b} - \frac{5b}{b} = 3$
$\frac{4a}{b} - 5 = 3$
Теперь выразим отношение $\frac{a}{b}$:
$\frac{4a}{b} = 3 + 5$
$\frac{4a}{b} = 8$
$\frac{a}{b} = 2$
Нам нужно найти значение выражения $\frac{b}{a + b}$.
Чтобы использовать найденное отношение, разделим числитель и знаменатель дроби на $b$ (мы можем это сделать, так как $b \ne 0$ из условия задачи):
$\frac{b/b}{(a+b)/b} = \frac{1}{a/b + b/b} = \frac{1}{a/b + 1}$
Подставим найденное значение $\frac{a}{b} = 2$ в преобразованное выражение:
$\frac{1}{2 + 1} = \frac{1}{3}$
Ответ: $\frac{1}{3}$

707. Упростите:

а)

Чтобы упростить выражение $ \frac{2}{x^2 - 3x} - \frac{1}{x^2 + 3x} - \frac{x+1}{x^2 - 9} $, сначала разложим знаменатели на множители, чтобы найти общий знаменатель.
Знаменатель первой дроби: $ x^2 - 3x = x(x - 3) $
Знаменатель второй дроби: $ x^2 + 3x = x(x + 3) $
Знаменатель третьей дроби: $ x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3) $ (разность квадратов).
Наименьший общий знаменатель (НОЗ) для этих дробей будет $ x(x - 3)(x + 3) $.
Теперь приведем каждую дробь к общему знаменателю:
$ \frac{2(x+3)}{x(x-3)(x+3)} - \frac{1(x-3)}{x(x-3)(x+3)} - \frac{x(x+1)}{x(x-3)(x+3)} $
Объединим дроби в одну:
$ \frac{2(x+3) - (x-3) - x(x+1)}{x(x-3)(x+3)} $
Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:
$ \frac{2x + 6 - x + 3 - x^2 - x}{x(x-3)(x+3)} = \frac{-x^2 + (2x - x - x) + (6 + 3)}{x(x-3)(x+3)} = \frac{-x^2 + 9}{x(x-3)(x+3)} $
Разложим числитель $ 9 - x^2 $ на множители как разность квадратов: $ 9 - x^2 = (3-x)(3+x) = -(x-3)(x+3) $.
Подставим это в дробь и сократим:
$ \frac{-(x-3)(x+3)}{x(x-3)(x+3)} = -\frac{1}{x} $

Ответ: $ -\frac{1}{x} $

б)

Рассмотрим выражение $ \frac{2y+1}{y^2+3y} + \frac{y+2}{3y-y^2} - \frac{1}{y} $. Разложим знаменатели на множители.
$ y^2 + 3y = y(y+3) $
$ 3y - y^2 = y(3-y) = -y(y-3) $
Заменим дробь $ \frac{y+2}{3y-y^2} $ на $ -\frac{y+2}{y(y-3)} $, чтобы сделать множители в знаменателях более схожими. Однако удобнее работать с множителем $ (3-y) $.
Итак, знаменатели: $ y(y+3) $, $ y(3-y) $, $ y $.
Общий знаменатель: $ y(y+3)(3-y) $.
Приведем дроби к общему знаменателю:
$ \frac{(2y+1)(3-y)}{y(y+3)(3-y)} + \frac{(y+2)(y+3)}{y(y+3)(3-y)} - \frac{1(y+3)(3-y)}{y(y+3)(3-y)} $
Запишем все под одной чертой:
$ \frac{(2y+1)(3-y) + (y+2)(y+3) - (y+3)(3-y)}{y(y+3)(3-y)} $
Раскроем скобки в числителе:
$ (2y+1)(3-y) = 6y - 2y^2 + 3 - y = -2y^2 + 5y + 3 $
$ (y+2)(y+3) = y^2 + 3y + 2y + 6 = y^2 + 5y + 6 $
$ (y+3)(3-y) = 9 - y^2 $
Подставим обратно в числитель:
$ \frac{(-2y^2 + 5y + 3) + (y^2 + 5y + 6) - (9 - y^2)}{y(y+3)(3-y)} $
Упростим числитель:
$ \frac{-2y^2 + 5y + 3 + y^2 + 5y + 6 - 9 + y^2}{y(y+3)(3-y)} = \frac{(-2y^2+y^2+y^2) + (5y+5y) + (3+6-9)}{y(y+3)(3-y)} = \frac{10y}{y(y+3)(3-y)} $
Сократим дробь на $ y $:
$ \frac{10}{(y+3)(3-y)} = \frac{10}{9-y^2} $

Ответ: $ \frac{10}{9-y^2} $

в)

Рассмотрим выражение $ \frac{a^2 + 16a + 12}{a^3 - 8} - \frac{2-3a}{a^2+2a+4} - \frac{3}{a-2} $. Разложим знаменатели на множители.
$ a^3 - 8 = a^3 - 2^3 = (a-2)(a^2+2a+4) $ (разность кубов).
Выражение $ a^2+2a+4 $ является неполным квадратом суммы и далее не раскладывается на действительные множители.
Общий знаменатель: $ (a-2)(a^2+2a+4) $.
Приведем дроби к общему знаменателю:
$ \frac{a^2 + 16a + 12}{(a-2)(a^2+2a+4)} - \frac{(2-3a)(a-2)}{(a-2)(a^2+2a+4)} - \frac{3(a^2+2a+4)}{(a-2)(a^2+2a+4)} $
Объединим под общей чертой:
$ \frac{(a^2 + 16a + 12) - (2-3a)(a-2) - 3(a^2+2a+4)}{(a-2)(a^2+2a+4)} $
Раскроем скобки в числителе:
$ (2-3a)(a-2) = 2a - 4 - 3a^2 + 6a = -3a^2 + 8a - 4 $
$ 3(a^2+2a+4) = 3a^2 + 6a + 12 $
Подставим и упростим числитель:
$ \frac{(a^2 + 16a + 12) - (-3a^2 + 8a - 4) - (3a^2 + 6a + 12)}{(a-2)(a^2+2a+4)} $
$ \frac{a^2 + 16a + 12 + 3a^2 - 8a + 4 - 3a^2 - 6a - 12}{(a-2)(a^2+2a+4)} $
$ \frac{(a^2+3a^2-3a^2) + (16a-8a-6a) + (12+4-12)}{(a-2)(a^2+2a+4)} = \frac{a^2+2a+4}{(a-2)(a^2+2a+4)} $
Сократим дробь на $ (a^2+2a+4) $:
$ \frac{1}{a-2} $

Ответ: $ \frac{1}{a-2} $

г)

Рассмотрим выражение $ \frac{2}{4b^2 - 6b + 9} + \frac{4b^2 + 18}{8b^3 + 27} - \frac{1}{2b+3} $. Разложим знаменатели.
$ 8b^3 + 27 = (2b)^3 + 3^3 = (2b+3)( (2b)^2 - (2b)(3) + 3^2 ) = (2b+3)(4b^2 - 6b + 9) $ (сумма кубов).
Выражение $ 4b^2-6b+9 $ является неполным квадратом разности.
Общий знаменатель: $ (2b+3)(4b^2 - 6b + 9) $.
Приведем дроби к общему знаменателю:
$ \frac{2(2b+3)}{(2b+3)(4b^2 - 6b + 9)} + \frac{4b^2 + 18}{(2b+3)(4b^2 - 6b + 9)} - \frac{1(4b^2 - 6b + 9)}{(2b+3)(4b^2 - 6b + 9)} $
Объединим дроби:
$ \frac{2(2b+3) + (4b^2 + 18) - (4b^2 - 6b + 9)}{(2b+3)(4b^2 - 6b + 9)} $
Раскроем скобки и упростим числитель:
$ \frac{4b + 6 + 4b^2 + 18 - 4b^2 + 6b - 9}{(2b+3)(4b^2 - 6b + 9)} $
$ \frac{(4b^2-4b^2) + (4b+6b) + (6+18-9)}{(2b+3)(4b^2 - 6b + 9)} = \frac{10b + 15}{(2b+3)(4b^2 - 6b + 9)} $
Вынесем общий множитель 5 в числителе: $ 10b + 15 = 5(2b+3) $.
Подставим и сократим дробь:
$ \frac{5(2b+3)}{(2b+3)(4b^2 - 6b + 9)} = \frac{5}{4b^2 - 6b + 9} $

Ответ: $ \frac{5}{4b^2 - 6b + 9} $