Номер 704, страница 191 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Упражнения для повторения курса 7-9 классов - номер 704, страница 191.

Условие.

704. Разложите на множители квадратный трёхчлен:

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а) Чтобы разложить на множители квадратный трёхчлен $x^2 - x - 42$, мы находим корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - x - 42 = 0$.
Воспользуемся теоремой Виета. Нам нужно найти два числа $x_1$ и $x_2$, сумма которых равна $-(-1)=1$, а произведение равно $-42$.
$x_1 + x_2 = 1$
$x_1 \cdot x_2 = -42$
Подбором находим корни: $x_1 = 7$ и $x_2 = -6$.
Формула разложения квадратного трёхчлена: $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$.
В данном случае $a=1$, поэтому разложение выглядит так:
$x^2 - x - 42 = 1 \cdot (x - 7)(x - (-6)) = (x - 7)(x + 6)$.
Ответ: $(x - 7)(x + 6)$

б) Чтобы разложить на множители $y^2 + 9y + 18$, решим уравнение $y^2 + 9y + 18 = 0$.
Используем теорему Виета. Ищем два числа $y_1$ и $y_2$, для которых:
$y_1 + y_2 = -9$
$y_1 \cdot y_2 = 18$
Эти числа — $-3$ и $-6$.
Следовательно, корни уравнения $y_1 = -3$ и $y_2 = -6$.
Подставляем корни в формулу разложения $a(y - y_1)(y - y_2)$ при $a=1$:
$y^2 + 9y + 18 = (y - (-3))(y - (-6)) = (y + 3)(y + 6)$.
Ответ: $(y + 3)(y + 6)$

в) Трёхчлен $81x^2 + 18x + 1$ можно разложить, используя формулу квадрата суммы: $(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$.
В нашем случае $A^2 = 81x^2 = (9x)^2$, значит $A = 9x$.
$B^2 = 1 = 1^2$, значит $B = 1$.
Проверим средний член: $2AB = 2 \cdot 9x \cdot 1 = 18x$. Он совпадает со средним членом исходного трёхчлена.
Таким образом, мы можем свернуть выражение в полный квадрат:
$81x^2 + 18x + 1 = (9x + 1)^2$.
Ответ: $(9x + 1)^2$

г) Трёхчлен $16b^2 - 24b + 9$ можно разложить, используя формулу квадрата разности: $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$.
Здесь $A^2 = 16b^2 = (4b)^2$, значит $A = 4b$.
$B^2 = 9 = 3^2$, значит $B = 3$.
Проверим средний член: $2AB = 2 \cdot 4b \cdot 3 = 24b$. Знак "минус" перед средним членом в исходном выражении указывает на то, что это квадрат разности.
Следовательно:
$16b^2 - 24b + 9 = (4b - 3)^2$.
Ответ: $(4b - 3)^2$

д) Для разложения на множители $6x^2 - x - 1$, решим квадратное уравнение $6x^2 - x - 1 = 0$.
Найдём дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-1)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-1) = 1 + 24 = 25$.
Теперь найдём корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{1 + 5}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$.
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{1 - 5}{12} = \frac{-4}{12} = -\frac{1}{3}$.
Подставляем корни в формулу разложения $a(x - x_1)(x - x_2)$:
$6x^2 - x - 1 = 6(x - \frac{1}{2})(x - (-\frac{1}{3})) = 6(x - \frac{1}{2})(x + \frac{1}{3})$.
Чтобы избавиться от дробей, внесём множитель $6 = 2 \cdot 3$ в скобки:
$2(x - \frac{1}{2}) \cdot 3(x + \frac{1}{3}) = (2x - 1)(3x + 1)$.
Ответ: $(2x - 1)(3x + 1)$

е) Для разложения на множители $3a^2 - 13a - 10$, решим уравнение $3a^2 - 13a - 10 = 0$.
Вычислим дискриминант:
$D = (-13)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-10) = 169 + 120 = 289$.
Найдём корни уравнения, зная, что $\sqrt{289} = 17$:
$a_1 = \frac{-(-13) + \sqrt{289}}{2 \cdot 3} = \frac{13 + 17}{6} = \frac{30}{6} = 5$.
$a_2 = \frac{-(-13) - \sqrt{289}}{2 \cdot 3} = \frac{13 - 17}{6} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$.
Подставляем корни в формулу разложения $k(a - a_1)(a - a_2)$ (где $k$ - старший коэффициент):
$3a^2 - 13a - 10 = 3(a - 5)(a - (-\frac{2}{3})) = 3(a - 5)(a + \frac{2}{3})$.
Внесём множитель $3$ во вторую скобку:
$(a - 5) \cdot 3(a + \frac{2}{3}) = (a - 5)(3a + 2)$.
Ответ: $(a - 5)(3a + 2)$