Номер 708, страница 192 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Упражнения для повторения курса 7-9 классов. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии - номер 708, страница 192.

Условие.

708. Представьте в виде дроби:

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а) Чтобы представить выражение $ \frac{ab^2 - 16a}{5b^3} \cdot \frac{20b^5}{a^2b + 4a^2} $ в виде дроби, сначала разложим на множители числители и знаменатели.

Числитель первой дроби: $ ab^2 - 16a = a(b^2 - 16) = a(b-4)(b+4) $ (вынесение общего множителя и формула разности квадратов).

Знаменатель второй дроби: $ a^2b + 4a^2 = a^2(b+4) $ (вынесение общего множителя).

Теперь перепишем исходное выражение с разложенными множителями и выполним умножение и сокращение:

$ \frac{a(b-4)(b+4)}{5b^3} \cdot \frac{20b^5}{a^2(b+4)} = \frac{a(b-4)(b+4) \cdot 20b^5}{5b^3 \cdot a^2(b+4)} $

Сокращаем общие множители $ a $, $ (b+4) $, $ 5 $ и $ b^3 $:

$ \frac{\cancel{a}(b-4)\cancel{(b+4)} \cdot \cancel{20}^4\cancel{b^5}^{b^2}}{\cancel{5}\cancel{b^3} \cdot \cancel{a^2}_a\cancel{(b+4)}} = \frac{4b^2(b-4)}{a} $

Ответ: $ \frac{4b^2(b-4)}{a} $

б) Рассмотрим выражение $ \frac{7xy}{x^2 - 4xy + 4y^2} \cdot \frac{3x - 6y}{14y^2} $.

Разложим на множители знаменатель первой дроби и числитель второй.

Знаменатель первой дроби: $ x^2 - 4xy + 4y^2 = (x-2y)^2 $ (формула квадрата разности).

Числитель второй дроби: $ 3x - 6y = 3(x-2y) $ (вынесение общего множителя).

Подставим разложенные выражения и выполним умножение:

$ \frac{7xy}{(x-2y)^2} \cdot \frac{3(x-2y)}{14y^2} = \frac{7xy \cdot 3(x-2y)}{(x-2y)^2 \cdot 14y^2} $

Сокращаем общие множители $ 7 $, $ y $ и $ (x-2y) $:

$ \frac{\cancel{7}x\cancel{y} \cdot 3\cancel{(x-2y)}}{\cancel{(x-2y)^2}_{(x-2y)} \cdot \cancel{14}_2\cancel{y^2}_y} = \frac{3x}{2y(x-2y)} $

Ответ: $ \frac{3x}{2y(x-2y)} $

в) Рассмотрим выражение $ \frac{p^3 - 125}{8p^2} \cdot \frac{4p}{p^2 + 5p + 25} $.

Разложим на множители числитель первой дроби, используя формулу разности кубов $ a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) $:

$ p^3 - 125 = p^3 - 5^3 = (p-5)(p^2 + 5p + 25) $.

Знаменатель второй дроби $ p^2 + 5p + 25 $ является неполным квадратом суммы и не раскладывается на множители с действительными корнями.

Подставим разложенное выражение и выполним умножение:

$ \frac{(p-5)(p^2 + 5p + 25)}{8p^2} \cdot \frac{4p}{p^2 + 5p + 25} = \frac{(p-5)(p^2 + 5p + 25) \cdot 4p}{8p^2 \cdot (p^2 + 5p + 25)} $

Сокращаем общие множители $ (p^2 + 5p + 25) $, $ 4 $ и $ p $:

$ \frac{(p-5)\cancel{(p^2 + 5p + 25)} \cdot \cancel{4}\cancel{p}}{\cancel{8}_2\cancel{p^2}_p \cdot \cancel{(p^2 + 5p + 25)}} = \frac{p-5}{2p} $

Ответ: $ \frac{p-5}{2p} $

г) Рассмотрим выражение $ \frac{9m^2 - 12mn + 4n^2}{3m^3 + 24n^3} \cdot \frac{3m + 6n}{2n - 3m} $.

Разложим на множители числители и знаменатели.

Числитель первой дроби: $ 9m^2 - 12mn + 4n^2 = (3m-2n)^2 $ (квадрат разности).

Знаменатель первой дроби: $ 3m^3 + 24n^3 = 3(m^3+8n^3) = 3(m+2n)(m^2-2mn+4n^2) $ (вынесение множителя и сумма кубов).

Числитель второй дроби: $ 3m + 6n = 3(m+2n) $ (вынесение множителя).

Знаменатель второй дроби: $ 2n - 3m = -(3m-2n) $ (вынесение знака минус).

Подставим разложенные выражения и перемножим:

$ \frac{(3m-2n)^2}{3(m+2n)(m^2-2mn+4n^2)} \cdot \frac{3(m+2n)}{-(3m-2n)} = \frac{(3m-2n)^2 \cdot 3(m+2n)}{-3(m+2n)(m^2-2mn+4n^2)(3m-2n)} $

Сокращаем общие множители $ 3 $, $ (m+2n) $ и $ (3m-2n) $:

$ \frac{\cancel{(3m-2n)^2}^{(3m-2n)} \cdot \cancel{3}\cancel{(m+2n)}}{-\cancel{3}\cancel{(m+2n)}(m^2-2mn+4n^2)\cancel{(3m-2n)}} = \frac{3m-2n}{-(m^2-2mn+4n^2)} $

Упростим полученное выражение:

$ -\frac{3m-2n}{m^2-2mn+4n^2} = \frac{-(3m-2n)}{m^2-2mn+4n^2} = \frac{2n-3m}{m^2-2mn+4n^2} $

Ответ: $ \frac{2n-3m}{m^2-2mn+4n^2} $