Номер 701, страница 190 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

701. Докажите тождество:

а) Для доказательства тождества преобразуем его левую часть, последовательно применяя формулу разности квадратов $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$.
Сначала перемножим первые две скобки:
$(a + 2b)(a - 2b) = a^2 - (2b)^2 = a^2 - 4b^2$.
Теперь выражение принимает вид:
$(a^2 - 4b^2)(a^2 + 4b^2)$.
Снова применим формулу разности квадратов:
$(a^2 - 4b^2)(a^2 + 4b^2) = (a^2)^2 - (4b^2)^2 = a^4 - 16b^4$.
Левая часть тождества после преобразования равна правой части. Тождество доказано.
Ответ: $a^4 - 16b^4$.

б) Преобразуем левую часть тождества, многократно используя формулу разности квадратов $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$.
$(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)(x^4 + 1) = (x^2 - 1)(x^2 + 1)(x^4 + 1)$.
Продолжаем упрощение:
$(x^2 - 1)(x^2 + 1)(x^4 + 1) = ((x^2)^2 - 1^2)(x^4 + 1) = (x^4 - 1)(x^4 + 1)$.
И последний шаг:
$(x^4 - 1)(x^4 + 1) = (x^4)^2 - 1^2 = x^8 - 1$.
Полученное выражение равно правой части тождества. Тождество доказано.
Ответ: $x^8 - 1$.

в) Для доказательства преобразуем левую часть. Сгруппируем множители для применения формул суммы и разности кубов.
$(a - 2)(a + 2)(a^2 - 2a + 4)(a^2 + 2a + 4) = [(a - 2)(a^2 + 2a + 4)] \cdot [(a + 2)(a^2 - 2a + 4)]$.
Первая группа является формулой разности кубов $(x - y)(x^2 + xy + y^2) = x^3 - y^3$:
$(a - 2)(a^2 + 2a + 4) = a^3 - 2^3 = a^3 - 8$.
Вторая группа является формулой суммы кубов $(x + y)(x^2 - xy + y^2) = x^3 + y^3$:
$(a + 2)(a^2 - 2a + 4) = a^3 + 2^3 = a^3 + 8$.
Теперь перемножим полученные выражения:
$(a^3 - 8)(a^3 + 8)$.
Это разность квадратов:
$(a^3 - 8)(a^3 + 8) = (a^3)^2 - 8^2 = a^6 - 64$.
Результат совпадает с правой частью. Тождество доказано.
Ответ: $a^6 - 64$.

г) Преобразуем левую часть тождества. Сгруппируем слагаемые в скобках, чтобы использовать формулу разности квадратов.
$(c^2 - c - 2)(c^2 + c - 2) = ((c^2 - 2) - c)((c^2 - 2) + c)$.
Применим формулу $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$, где $x = c^2 - 2$ и $y = c$:
$((c^2 - 2) - c)((c^2 - 2) + c) = (c^2 - 2)^2 - c^2$.
Теперь раскроем квадрат разности по формуле $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$(c^2 - 2)^2 - c^2 = ((c^2)^2 - 2 \cdot c^2 \cdot 2 + 2^2) - c^2 = (c^4 - 4c^2 + 4) - c^2$.
Приведем подобные слагаемые:
$c^4 - 4c^2 - c^2 + 4 = c^4 - 5c^2 + 4$.
Левая часть равна правой. Тождество доказано.
Ответ: $c^4 - 5c^2 + 4$.