Номер 702, страница 190 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

702. Разложите на множители:

а) $12x^3 - 3x^2y - 18xy^2$

Для разложения на множители данного многочлена необходимо найти и вынести за скобки общий множитель. Сначала найдем наибольший общий делитель (НОД) для числовых коэффициентов 12, -3 и -18. НОД(12, 3, 18) = 3.

Теперь определим общую переменную часть. Переменная $x$ содержится во всех членах многочлена. Наименьшая степень, в которой она встречается, это $x^1$ (или просто $x$). Переменная $y$ есть не во всех членах (в первом члене $12x^3$ ее нет), поэтому ее нельзя вынести как общий множитель.

Таким образом, общий множитель для всего выражения равен $3x$. Вынесем его за скобки, разделив каждый член многочлена на $3x$:

$12x^3 - 3x^2y - 18xy^2 = 3x(\frac{12x^3}{3x} - \frac{3x^2y}{3x} - \frac{18xy^2}{3x}) = 3x(4x^2 - xy - 6y^2)$

Квадратный трехчлен в скобках $4x^2 - xy - 6y^2$ не раскладывается на множители с целыми коэффициентами, так как для соответствующего квадратного уравнения $4z^2 - z - 6 = 0$ не существует целых корней.

Ответ: $3x(4x^2 - xy - 6y^2)$

б) $42a^5 - 6a^4 + 30a^3$

Найдем общий множитель для всех членов многочлена. Для коэффициентов 42, -6 и 30 наибольший общий делитель (НОД) равен 6.

Общая переменная часть для $a^5$, $a^4$ и $a^3$ — это переменная $a$ в наименьшей степени, то есть $a^3$.

Следовательно, общий множитель всего выражения — $6a^3$. Вынесем его за скобки:

$42a^5 - 6a^4 + 30a^3 = 6a^3(\frac{42a^5}{6a^3} - \frac{6a^4}{6a^3} + \frac{30a^3}{6a^3}) = 6a^3(7a^2 - a + 5)$

Проверим, можно ли разложить на множители квадратный трехчлен $7a^2 - a + 5$, находящийся в скобках. Для этого найдем его дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 5 = 1 - 140 = -139$.

Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$), квадратный трехчлен не имеет действительных корней и, следовательно, не раскладывается на линейные множители с действительными коэффициентами.

Ответ: $6a^3(7a^2 - a + 5)$

в) $8ab - 14a - 12b + 21$

В данном многочлене четыре члена, что позволяет применить метод группировки. Сгруппируем члены попарно. Например, сгруппируем первый член со вторым, а третий с четвертым:

$(8ab - 14a) + (-12b + 21)$

Теперь вынесем общий множитель из каждой группы. В первой группе общим множителем является $2a$. Во второй группе вынесем за скобки $-3$, чтобы выражение в скобках совпало с выражением в скобках первой группы:

$2a(4b - 7) - 3(4b - 7)$

Теперь у нас есть общий множитель — двучлен $(4b - 7)$. Вынесем его за скобки:

$(2a - 3)(4b - 7)$

Ответ: $(2a - 3)(4b - 7)$

г) $x^2 - 5x - 9xy + 45y$

Для разложения этого многочлена также используем метод группировки. Сгруппируем первый и второй члены, а также третий и четвертый:

$(x^2 - 5x) + (-9xy + 45y)$

Вынесем общий множитель из каждой скобки. Из первой группы вынесем $x$, а из второй — $-9y$:

$x(x - 5) - 9y(x - 5)$

В полученном выражении есть общий множитель $(x - 5)$, который мы можем вынести за скобку:

$(x - 9y)(x - 5)$

Ответ: $(x - 9y)(x - 5)$