Номер 709, страница 192 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Упражнения для повторения курса 7-9 классов - номер 709, страница 192.

Условие.

709. Упростите:

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а)

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй:

$\frac{x^2 - 4x}{x^2 + 7x} : \frac{24 - 6x}{49 - x^2} = \frac{x^2 - 4x}{x^2 + 7x} \cdot \frac{49 - x^2}{24 - 6x}$

Теперь разложим числители и знаменатели на множители:

В числителе первой дроби вынесем $x$ за скобки: $x^2 - 4x = x(x - 4)$.

В знаменателе первой дроби вынесем $x$ за скобки: $x^2 + 7x = x(x + 7)$.

В числителе второй дроби используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$: $49 - x^2 = 7^2 - x^2 = (7 - x)(7 + x)$.

В знаменателе второй дроби вынесем $6$ за скобки: $24 - 6x = 6(4 - x)$.

Подставим разложенные выражения обратно в пример:

$\frac{x(x - 4)}{x(x + 7)} \cdot \frac{(7 - x)(7 + x)}{6(4 - x)}$

Заметим, что $4 - x = -(x - 4)$ и $7+x = x+7$. Перепишем выражение:

$\frac{x(x - 4)}{x(x + 7)} \cdot \frac{(7 - x)(x + 7)}{-6(x - 4)}$

Сократим одинаковые множители в числителях и знаменателях ($x$, $(x - 4)$ и $(x + 7)$):

$\frac{\cancel{x}\cancel{(x - 4)}}{\cancel{x}\cancel{(x + 7)}} \cdot \frac{(7 - x)\cancel{(x + 7)}}{-6\cancel{(x - 4)}} = \frac{7 - x}{-6} = \frac{-(x - 7)}{-6} = \frac{x - 7}{6}$

Ответ: $\frac{x-7}{6}$

б)

Заменим деление на умножение на обратную дробь:

$\frac{y^3 - 16y}{2y + 18} : \frac{4 - y}{y^2 + 9y} = \frac{y^3 - 16y}{2y + 18} \cdot \frac{y^2 + 9y}{4 - y}$

Разложим на множители числители и знаменатели:

$y^3 - 16y = y(y^2 - 16) = y(y - 4)(y + 4)$ (разность квадратов).

$2y + 18 = 2(y + 9)$.

$y^2 + 9y = y(y + 9)$.

$4 - y = -(y - 4)$.

Подставим полученные выражения:

$\frac{y(y - 4)(y + 4)}{2(y + 9)} \cdot \frac{y(y + 9)}{-(y - 4)}$

Сократим общие множители $(y - 4)$ и $(y + 9)$:

$\frac{y\cancel{(y - 4)}(y + 4)}{2\cancel{(y + 9)}} \cdot \frac{y\cancel{(y + 9)}}{-\cancel{(y - 4)}} = \frac{y(y + 4)}{2} \cdot \frac{y}{-1} = -\frac{y^2(y + 4)}{2}$

Ответ: $-\frac{y^2(y+4)}{2}$

в)

Заменяем деление на умножение:

$\frac{(a + b)^2 - 2ab}{4a^2} : \frac{a^2 + b^2}{ab} = \frac{(a + b)^2 - 2ab}{4a^2} \cdot \frac{ab}{a^2 + b^2}$

Упростим числитель первой дроби, раскрыв скобки по формуле квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$:

$(a + b)^2 - 2ab = (a^2 + 2ab + b^2) - 2ab = a^2 + b^2$.

Подставим упрощенное выражение обратно:

$\frac{a^2 + b^2}{4a^2} \cdot \frac{ab}{a^2 + b^2}$

Сократим общие множители $(a^2 + b^2)$ и $a$:

$\frac{\cancel{(a^2 + b^2)}}{4a^{\cancel{2}}} \cdot \frac{\cancel{a}b}{\cancel{a^2 + b^2}} = \frac{1}{4a} \cdot \frac{b}{1} = \frac{b}{4a}$

Ответ: $\frac{b}{4a}$

г)

Перейдем от деления к умножению:

$\frac{5c^3 - 5}{c + 2} : \frac{(c + 1)^2 - c}{13c + 26} = \frac{5c^3 - 5}{c + 2} \cdot \frac{13c + 26}{(c + 1)^2 - c}$

Разложим на множители числители и знаменатели:

В числителе первой дроби вынесем $5$ за скобки и применим формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$:

$5c^3 - 5 = 5(c^3 - 1) = 5(c - 1)(c^2 + c + 1)$.

В числителе второй дроби вынесем $13$ за скобки: $13c + 26 = 13(c + 2)$.

В знаменателе второй дроби раскроем скобки и упростим: $(c + 1)^2 - c = (c^2 + 2c + 1) - c = c^2 + c + 1$.

Подставим разложенные выражения:

$\frac{5(c - 1)(c^2 + c + 1)}{c + 2} \cdot \frac{13(c + 2)}{c^2 + c + 1}$

Сократим общие множители $(c + 2)$ и $(c^2 + c + 1)$:

$\frac{5(c - 1)\cancel{(c^2 + c + 1)}}{\cancel{c + 2}} \cdot \frac{13\cancel{(c + 2)}}{\cancel{c^2 + c + 1}} = 5(c - 1) \cdot 13 = 65(c - 1)$

Ответ: $65(c-1)$