Номер 713, страница 193 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

713. Докажите, что:

а) значение выражения a² + 2a + 2 ни при каком значении переменной a не может быть отрицательным;

б) выражение 2x² – 2xy + y² при любых значениях x и y принимает неотрицательные значения.

а)

Чтобы доказать, что значение выражения $a^2 + 2a + 2$ ни при каком значении переменной $a$ не может быть отрицательным, преобразуем его методом выделения полного квадрата.

Используем формулу квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$. В нашем выражении $a^2 + 2a$ — это первые два слагаемых формулы для $(a+1)^2 = a^2+2a+1$. Представим число 2 в исходном выражении как $1 + 1$:

$a^2 + 2a + 2 = (a^2 + 2a + 1) + 1$

Выражение в скобках является полным квадратом $(a+1)^2$. Таким образом, исходное выражение равно:

$(a+1)^2 + 1$

Проанализируем полученный результат. Квадрат любого действительного числа является неотрицательным, то есть $(a+1)^2 \ge 0$ для любого $a$. Если к неотрицательному числу прибавить положительное число 1, результат всегда будет положительным:

$(a+1)^2 + 1 \ge 0 + 1 = 1$

Поскольку значение выражения всегда больше или равно 1, оно не может быть отрицательным.

Ответ: Выражение $a^2 + 2a + 2$ преобразуется к виду $(a+1)^2 + 1$. Так как $(a+1)^2 \ge 0$ для любого $a$, то наименьшее значение всего выражения равно 1. Следовательно, выражение не может быть отрицательным.

б)

Чтобы доказать, что выражение $2x^2 - 2xy + y^2$ при любых значениях $x$ и $y$ принимает неотрицательные значения, преобразуем его, выделив полный квадрат.

Используем формулу квадрата разности: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$. Для этого представим слагаемое $2x^2$ в виде суммы $x^2 + x^2$:

$2x^2 - 2xy + y^2 = x^2 + x^2 - 2xy + y^2$

Теперь сгруппируем слагаемые, чтобы получить квадрат разности:

$x^2 + (x^2 - 2xy + y^2)$

Выражение в скобках является полным квадратом $(x-y)^2$. Таким образом, исходное выражение равно сумме двух квадратов:

$x^2 + (x-y)^2$

Проанализируем полученный результат. Квадрат любого действительного числа является неотрицательным, поэтому $x^2 \ge 0$ и $(x-y)^2 \ge 0$ для любых значений $x$ и $y$.

Сумма двух неотрицательных чисел также всегда неотрицательна:

$x^2 + (x-y)^2 \ge 0 + 0 = 0$

Следовательно, выражение $2x^2 - 2xy + y^2$ всегда принимает неотрицательные значения.

Ответ: Выражение $2x^2 - 2xy + y^2$ преобразуется к виду $x^2 + (x-y)^2$. Так как $x^2 \ge 0$ и $(x-y)^2 \ge 0$ при любых $x$ и $y$, их сумма также всегда неотрицательна.