Номер 720, страница 194 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Упражнения для повторения курса 7-9 классов - номер 720, страница 194.

Условие.

720. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а) Чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{3x}{7\sqrt{x}}$, необходимо умножить и числитель, и знаменатель этой дроби на выражение $\sqrt{x}$. Это действие основано на свойстве $\sqrt{a} \cdot \sqrt{a} = a$. Предполагается, что $x > 0$, чтобы исходное выражение имело смысл.

$\frac{3x}{7\sqrt{x}} = \frac{3x \cdot \sqrt{x}}{7\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}} = \frac{3x\sqrt{x}}{7(\sqrt{x})^2} = \frac{3x\sqrt{x}}{7x}$

Теперь можно сократить дробь, разделив числитель и знаменатель на $x$:

$\frac{3x\sqrt{x}}{7x} = \frac{3\sqrt{x}}{7}$

Ответ: $\frac{3\sqrt{x}}{7}$

б) В данном случае в знаменателе дроби $\frac{5}{\sqrt{ab}}$ стоит корень из произведения. Чтобы избавиться от него, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{ab}$. Предполагается, что $ab > 0$.

$\frac{5}{\sqrt{ab}} = \frac{5 \cdot \sqrt{ab}}{\sqrt{ab} \cdot \sqrt{ab}} = \frac{5\sqrt{ab}}{(\sqrt{ab})^2} = \frac{5\sqrt{ab}}{ab}$

Ответ: $\frac{5\sqrt{ab}}{ab}$

в) Знаменатель дроби $\frac{4}{\sqrt{c}-1}$ является разностью. Для избавления от иррациональности в таких случаях используется умножение на сопряженное выражение. Сопряженным для $(\sqrt{c}-1)$ является $(\sqrt{c}+1)$. При умножении мы используем формулу разности квадратов: $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$. Предполагается, что $c \ge 0$ и $c \ne 1$.

$\frac{4}{\sqrt{c}-1} = \frac{4 \cdot (\sqrt{c}+1)}{(\sqrt{c}-1) \cdot (\sqrt{c}+1)} = \frac{4(\sqrt{c}+1)}{(\sqrt{c})^2 - 1^2} = \frac{4(\sqrt{c}+1)}{c-1}$

Ответ: $\frac{4(\sqrt{c}+1)}{c-1}$

г) Знаменатель дроби $\frac{1}{2\sqrt{x}+3\sqrt{y}}$ представляет собой сумму двух слагаемых с корнями. Мы также используем метод умножения на сопряженное выражение. Сопряженным для $(2\sqrt{x}+3\sqrt{y})$ является $(2\sqrt{x}-3\sqrt{y})$. Применяем ту же формулу разности квадратов. Предполагается, что $x \ge 0$, $y \ge 0$ и $4x-9y \ne 0$.

$\frac{1}{2\sqrt{x}+3\sqrt{y}} = \frac{1 \cdot (2\sqrt{x}-3\sqrt{y})}{(2\sqrt{x}+3\sqrt{y}) \cdot (2\sqrt{x}-3\sqrt{y})} = \frac{2\sqrt{x}-3\sqrt{y}}{(2\sqrt{x})^2 - (3\sqrt{y})^2} = \frac{2\sqrt{x}-3\sqrt{y}}{4x-9y}$

Ответ: $\frac{2\sqrt{x}-3\sqrt{y}}{4x-9y}$