Номер 715, страница 193 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Упражнения для повторения курса 7-9 классов. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии - номер 715, страница 193.

Условие.

715. Упростите выражение:

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а)

Для упрощения выражения $\frac{2 \cdot 3^{n+2} - 5 \cdot 3^{n+1}}{3^{n-1}}$ воспользуемся свойствами степеней, в частности $a^{m+k} = a^m \cdot a^k$.

Сначала преобразуем числитель. Вынесем за скобки общий множитель с наименьшим показателем степени в числителе, то есть $3^{n+1}$:
$2 \cdot 3^{n+2} - 5 \cdot 3^{n+1} = 2 \cdot 3^{(n+1)+1} - 5 \cdot 3^{n+1} = 2 \cdot 3^1 \cdot 3^{n+1} - 5 \cdot 3^{n+1}$
$ = 6 \cdot 3^{n+1} - 5 \cdot 3^{n+1} = (6-5) \cdot 3^{n+1} = 1 \cdot 3^{n+1} = 3^{n+1}$.

Теперь подставим полученное выражение обратно в дробь:
$\frac{3^{n+1}}{3^{n-1}}$

Используя свойство деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^k} = a^{m-k}$, получаем:
$3^{(n+1) - (n-1)} = 3^{n+1-n+1} = 3^2 = 9$.

Ответ: $9$

б)

Упростим выражение $\frac{25 \cdot 4^n}{4^n - 4^{n-1}}$.

Преобразуем знаменатель, вынеся за скобки общий множитель с наименьшим показателем степени, то есть $4^{n-1}$:
$4^n - 4^{n-1} = 4^{(n-1)+1} - 4^{n-1} = 4^1 \cdot 4^{n-1} - 1 \cdot 4^{n-1} = (4-1) \cdot 4^{n-1} = 3 \cdot 4^{n-1}$.

Теперь подставим преобразованный знаменатель в исходную дробь:
$\frac{25 \cdot 4^n}{3 \cdot 4^{n-1}}$

Разделим степени с основанием 4, используя свойство $\frac{a^m}{a^k} = a^{m-k}$:
$\frac{25}{3} \cdot \frac{4^n}{4^{n-1}} = \frac{25}{3} \cdot 4^{n - (n-1)} = \frac{25}{3} \cdot 4^{n-n+1} = \frac{25}{3} \cdot 4^1 = \frac{25 \cdot 4}{3} = \frac{100}{3}$.

Ответ: $\frac{100}{3}$

в)

Упростим выражение $\frac{10 \cdot 6^n}{2^{n+1} \cdot 3^{n-1}}$.

Разложим числа 10 и 6 на простые множители: $10 = 2 \cdot 5$ и $6 = 2 \cdot 3$.
Подставим это в числитель:
$10 \cdot 6^n = (2 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 3)^n = 2 \cdot 5 \cdot 2^n \cdot 3^n$.

Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями в числителе, используя свойство $a^m \cdot a^k = a^{m+k}$:
$2^1 \cdot 2^n \cdot 3^n \cdot 5^1 = 2^{n+1} \cdot 3^n \cdot 5$.

Теперь вся дробь выглядит так:
$\frac{2^{n+1} \cdot 3^n \cdot 5}{2^{n+1} \cdot 3^{n-1}}$

Сократим одинаковые множители $2^{n+1}$ в числителе и знаменателе. Затем разделим степени с основанием 3:
$\frac{3^n \cdot 5}{3^{n-1}} = 5 \cdot \frac{3^n}{3^{n-1}} = 5 \cdot 3^{n - (n-1)} = 5 \cdot 3^{n-n+1} = 5 \cdot 3^1 = 15$.

Ответ: $15$

г)

Упростим выражение $\frac{2^{2n-1} \cdot 5^{2n+1}}{100^n}$.

Представим основание 100 в знаменателе в виде произведения простых множителей: $100 = 10^2 = (2 \cdot 5)^2 = 2^2 \cdot 5^2$.
Тогда знаменатель будет равен:
$100^n = (2^2 \cdot 5^2)^n = (2^2)^n \cdot (5^2)^n = 2^{2n} \cdot 5^{2n}$.

Подставим это в исходное выражение:
$\frac{2^{2n-1} \cdot 5^{2n+1}}{2^{2n} \cdot 5^{2n}}$

Сгруппируем дроби с одинаковыми основаниями и применим свойство $\frac{a^m}{a^k} = a^{m-k}$:
$(\frac{2^{2n-1}}{2^{2n}}) \cdot (\frac{5^{2n+1}}{5^{2n}}) = 2^{(2n-1)-2n} \cdot 5^{(2n+1)-2n} = 2^{-1} \cdot 5^1 = \frac{1}{2} \cdot 5 = \frac{5}{2}$.

Результат также можно представить в виде десятичной дроби: $2.5$.

Ответ: $\frac{5}{2}$