Страница 193 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

712. а) Найдите значение выражения a² + b², если a + b = 6, ab = 3.

б) Найдите значение выражения с² + $\frac{1}{c^2}$, если c + $\frac{1}{c}$ = 2,5.

а) Чтобы найти значение выражения $a^2 + b^2$, воспользуемся формулой квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Из этой формулы мы можем выразить искомую сумму квадратов:

$a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab$.

Согласно условию, нам известны значения $a+b = 6$ и $ab = 3$. Подставим их в полученное выражение:

$a^2 + b^2 = (6)^2 - 2 \cdot 3$

$a^2 + b^2 = 36 - 6$

$a^2 + b^2 = 30$

Ответ: 30

б) Чтобы найти значение выражения $c^2 + \frac{1}{c^2}$, применим тот же метод, что и в пункте а). Возведем в квадрат известное нам выражение $c + \frac{1}{c}$:

$(c + \frac{1}{c})^2 = c^2 + 2 \cdot c \cdot \frac{1}{c} + (\frac{1}{c})^2$

Упростим средний член: $2 \cdot c \cdot \frac{1}{c} = 2$. Таким образом, формула принимает вид:

$(c + \frac{1}{c})^2 = c^2 + 2 + \frac{1}{c^2}$

Выразим из этого равенства искомую сумму $c^2 + \frac{1}{c^2}$:

$c^2 + \frac{1}{c^2} = (c + \frac{1}{c})^2 - 2$

По условию задачи $c + \frac{1}{c} = 2,5$. Подставим это значение в формулу:

$c^2 + \frac{1}{c^2} = (2,5)^2 - 2$

$c^2 + \frac{1}{c^2} = 6,25 - 2$

$c^2 + \frac{1}{c^2} = 4,25$

Ответ: 4,25

713. Докажите, что:

а) значение выражения a² + 2a + 2 ни при каком значении переменной a не может быть отрицательным;

б) выражение 2x² – 2xy + y² при любых значениях x и y принимает неотрицательные значения.

а)

Чтобы доказать, что значение выражения $a^2 + 2a + 2$ ни при каком значении переменной $a$ не может быть отрицательным, преобразуем его методом выделения полного квадрата.

Используем формулу квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$. В нашем выражении $a^2 + 2a$ — это первые два слагаемых формулы для $(a+1)^2 = a^2+2a+1$. Представим число 2 в исходном выражении как $1 + 1$:

$a^2 + 2a + 2 = (a^2 + 2a + 1) + 1$

Выражение в скобках является полным квадратом $(a+1)^2$. Таким образом, исходное выражение равно:

$(a+1)^2 + 1$

Проанализируем полученный результат. Квадрат любого действительного числа является неотрицательным, то есть $(a+1)^2 \ge 0$ для любого $a$. Если к неотрицательному числу прибавить положительное число 1, результат всегда будет положительным:

$(a+1)^2 + 1 \ge 0 + 1 = 1$

Поскольку значение выражения всегда больше или равно 1, оно не может быть отрицательным.

Ответ: Выражение $a^2 + 2a + 2$ преобразуется к виду $(a+1)^2 + 1$. Так как $(a+1)^2 \ge 0$ для любого $a$, то наименьшее значение всего выражения равно 1. Следовательно, выражение не может быть отрицательным.

б)

Чтобы доказать, что выражение $2x^2 - 2xy + y^2$ при любых значениях $x$ и $y$ принимает неотрицательные значения, преобразуем его, выделив полный квадрат.

Используем формулу квадрата разности: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$. Для этого представим слагаемое $2x^2$ в виде суммы $x^2 + x^2$:

$2x^2 - 2xy + y^2 = x^2 + x^2 - 2xy + y^2$

Теперь сгруппируем слагаемые, чтобы получить квадрат разности:

$x^2 + (x^2 - 2xy + y^2)$

Выражение в скобках является полным квадратом $(x-y)^2$. Таким образом, исходное выражение равно сумме двух квадратов:

$x^2 + (x-y)^2$

Проанализируем полученный результат. Квадрат любого действительного числа является неотрицательным, поэтому $x^2 \ge 0$ и $(x-y)^2 \ge 0$ для любых значений $x$ и $y$.

Сумма двух неотрицательных чисел также всегда неотрицательна:

$x^2 + (x-y)^2 \ge 0 + 0 = 0$

Следовательно, выражение $2x^2 - 2xy + y^2$ всегда принимает неотрицательные значения.

Ответ: Выражение $2x^2 - 2xy + y^2$ преобразуется к виду $x^2 + (x-y)^2$. Так как $x^2 \ge 0$ и $(x-y)^2 \ge 0$ при любых $x$ и $y$, их сумма также всегда неотрицательна.

714. Упростите выражение:

а) $(4x^{-2}y^3)^2 \cdot (0.5x^2y^{-1})^3$

Чтобы упростить выражение, сначала возведем каждый множитель в соответствующую степень, используя правила $(ab)^n = a^n b^n$ и $(a^m)^n = a^{mn}$:

$(4x^{-2}y^3)^2 = 4^2 \cdot (x^{-2})^2 \cdot (y^3)^2 = 16x^{-4}y^6$

$(0.5x^2y^{-1})^3 = (0.5)^3 \cdot (x^2)^3 \cdot (y^{-1})^3 = 0.125x^6y^{-3}$

Теперь перемножим полученные выражения, группируя коэффициенты и переменные с одинаковыми основаниями:

$(16x^{-4}y^6) \cdot (0.125x^6y^{-3}) = (16 \cdot 0.125) \cdot (x^{-4}x^6) \cdot (y^6y^{-3})$

Используя правило $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, завершим упрощение:

$2 \cdot x^{-4+6} \cdot y^{6+(-3)} = 2x^2y^3$

Ответ: $2x^2y^3$

б) $(\frac{c^4}{6x^2y^{-5}})^{-2} \cdot (\frac{1}{3}c^2x^3y^{-2})^4$

Для первого множителя применим свойство $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$. Для второго — свойство $(abc)^n = a^n b^n c^n$.

$(\frac{c^4}{6x^2y^{-5}})^{-2} = (\frac{6x^2y^{-5}}{c^4})^2 = \frac{6^2(x^2)^2(y^{-5})^2}{(c^4)^2} = \frac{36x^4y^{-10}}{c^8}$

$(\frac{1}{3}c^2x^3y^{-2})^4 = (\frac{1}{3})^4(c^2)^4(x^3)^4(y^{-2})^4 = \frac{1}{81}c^8x^{12}y^{-8}$

Теперь перемножим полученные выражения:

$\frac{36x^4y^{-10}}{c^8} \cdot \frac{1}{81}c^8x^{12}y^{-8} = \frac{36}{81} \cdot \frac{c^8}{c^8} \cdot (x^4x^{12}) \cdot (y^{-10}y^{-8})$

Сократим дробь $\frac{36}{81}$ на 9 и сложим показатели степеней:

$\frac{4}{9} \cdot 1 \cdot x^{4+12} \cdot y^{-10-8} = \frac{4}{9}x^{16}y^{-18}$

Ответ: $\frac{4}{9}x^{16}y^{-18}$

в) $(0.25a^{-3}b^4)^{-2} \cdot (2a^5b^{-6})^{-1}$

Представим $0.25$ как $\frac{1}{4}$ и применим свойства степеней:

$(0.25a^{-3}b^4)^{-2} = (\frac{1}{4})^{-2}(a^{-3})^{-2}(b^4)^{-2} = 4^2 a^{6} b^{-8} = 16a^6b^{-8}$

$(2a^5b^{-6})^{-1} = 2^{-1}(a^5)^{-1}(b^{-6})^{-1} = \frac{1}{2}a^{-5}b^6$

Перемножим результаты:

$(16a^6b^{-8}) \cdot (\frac{1}{2}a^{-5}b^6) = (16 \cdot \frac{1}{2}) \cdot (a^6a^{-5}) \cdot (b^{-8}b^6)$

Упростим, выполнив умножение коэффициентов и сложение показателей степеней:

$8 \cdot a^{6-5} \cdot b^{-8+6} = 8a^1b^{-2} = 8ab^{-2}$

Ответ: $8ab^{-2}$

г) $(\frac{0.1a^{-2}}{b^{-1}c^3})^5 \cdot (\frac{b^5}{10a^4c^6})^{-3}$

Применим свойство $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$ ко второму множителю. Заметим, что $0.1 = \frac{1}{10} = 10^{-1}$.

$(\frac{10^{-1}a^{-2}}{b^{-1}c^3})^5 \cdot (\frac{10a^4c^6}{b^5})^3$

Возведем каждую дробь в соответствующую степень:

$\frac{(10^{-1})^5(a^{-2})^5}{(b^{-1})^5(c^3)^5} \cdot \frac{10^3(a^4)^3(c^6)^3}{(b^5)^3} = \frac{10^{-5}a^{-10}}{b^{-5}c^{15}} \cdot \frac{10^3a^{12}c^{18}}{b^{15}}$

Перемножим дроби, сгруппировав подобные члены:

$\frac{(10^{-5} \cdot 10^3) \cdot (a^{-10}a^{12}) \cdot c^{18}}{(b^{-5}b^{15}) \cdot c^{15}} = \frac{10^{-2} \cdot a^{-10+12} \cdot c^{18}}{b^{-5+15} \cdot c^{15}} = \frac{10^{-2}a^2c^{18}}{b^{10}c^{15}}$

Применим свойство $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ для переменной $c$:

$\frac{10^{-2}a^2c^{18-15}}{b^{10}} = \frac{10^{-2}a^2c^3}{b^{10}} = \frac{a^2c^3}{100b^{10}}$

Ответ: $\frac{a^2c^3}{100b^{10}}$

715. Упростите выражение:

а)

Для упрощения выражения $\frac{2 \cdot 3^{n+2} - 5 \cdot 3^{n+1}}{3^{n-1}}$ воспользуемся свойствами степеней, в частности $a^{m+k} = a^m \cdot a^k$.

Сначала преобразуем числитель. Вынесем за скобки общий множитель с наименьшим показателем степени в числителе, то есть $3^{n+1}$:
$2 \cdot 3^{n+2} - 5 \cdot 3^{n+1} = 2 \cdot 3^{(n+1)+1} - 5 \cdot 3^{n+1} = 2 \cdot 3^1 \cdot 3^{n+1} - 5 \cdot 3^{n+1}$
$ = 6 \cdot 3^{n+1} - 5 \cdot 3^{n+1} = (6-5) \cdot 3^{n+1} = 1 \cdot 3^{n+1} = 3^{n+1}$.

Теперь подставим полученное выражение обратно в дробь:
$\frac{3^{n+1}}{3^{n-1}}$

Используя свойство деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^k} = a^{m-k}$, получаем:
$3^{(n+1) - (n-1)} = 3^{n+1-n+1} = 3^2 = 9$.

Ответ: $9$

б)

Упростим выражение $\frac{25 \cdot 4^n}{4^n - 4^{n-1}}$.

Преобразуем знаменатель, вынеся за скобки общий множитель с наименьшим показателем степени, то есть $4^{n-1}$:
$4^n - 4^{n-1} = 4^{(n-1)+1} - 4^{n-1} = 4^1 \cdot 4^{n-1} - 1 \cdot 4^{n-1} = (4-1) \cdot 4^{n-1} = 3 \cdot 4^{n-1}$.

Теперь подставим преобразованный знаменатель в исходную дробь:
$\frac{25 \cdot 4^n}{3 \cdot 4^{n-1}}$

Разделим степени с основанием 4, используя свойство $\frac{a^m}{a^k} = a^{m-k}$:
$\frac{25}{3} \cdot \frac{4^n}{4^{n-1}} = \frac{25}{3} \cdot 4^{n - (n-1)} = \frac{25}{3} \cdot 4^{n-n+1} = \frac{25}{3} \cdot 4^1 = \frac{25 \cdot 4}{3} = \frac{100}{3}$.

Ответ: $\frac{100}{3}$

в)

Упростим выражение $\frac{10 \cdot 6^n}{2^{n+1} \cdot 3^{n-1}}$.

Разложим числа 10 и 6 на простые множители: $10 = 2 \cdot 5$ и $6 = 2 \cdot 3$.
Подставим это в числитель:
$10 \cdot 6^n = (2 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 3)^n = 2 \cdot 5 \cdot 2^n \cdot 3^n$.

Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями в числителе, используя свойство $a^m \cdot a^k = a^{m+k}$:
$2^1 \cdot 2^n \cdot 3^n \cdot 5^1 = 2^{n+1} \cdot 3^n \cdot 5$.

Теперь вся дробь выглядит так:
$\frac{2^{n+1} \cdot 3^n \cdot 5}{2^{n+1} \cdot 3^{n-1}}$

Сократим одинаковые множители $2^{n+1}$ в числителе и знаменателе. Затем разделим степени с основанием 3:
$\frac{3^n \cdot 5}{3^{n-1}} = 5 \cdot \frac{3^n}{3^{n-1}} = 5 \cdot 3^{n - (n-1)} = 5 \cdot 3^{n-n+1} = 5 \cdot 3^1 = 15$.

Ответ: $15$

г)

Упростим выражение $\frac{2^{2n-1} \cdot 5^{2n+1}}{100^n}$.

Представим основание 100 в знаменателе в виде произведения простых множителей: $100 = 10^2 = (2 \cdot 5)^2 = 2^2 \cdot 5^2$.
Тогда знаменатель будет равен:
$100^n = (2^2 \cdot 5^2)^n = (2^2)^n \cdot (5^2)^n = 2^{2n} \cdot 5^{2n}$.

Подставим это в исходное выражение:
$\frac{2^{2n-1} \cdot 5^{2n+1}}{2^{2n} \cdot 5^{2n}}$

Сгруппируем дроби с одинаковыми основаниями и применим свойство $\frac{a^m}{a^k} = a^{m-k}$:
$(\frac{2^{2n-1}}{2^{2n}}) \cdot (\frac{5^{2n+1}}{5^{2n}}) = 2^{(2n-1)-2n} \cdot 5^{(2n+1)-2n} = 2^{-1} \cdot 5^1 = \frac{1}{2} \cdot 5 = \frac{5}{2}$.

Результат также можно представить в виде десятичной дроби: $2.5$.

Ответ: $\frac{5}{2}$

716. Вынесите множитель из-под знака корня:

а) Чтобы вынести множитель из-под знака корня в выражении $\sqrt{98}$, нужно разложить подкоренное число 98 на множители так, чтобы один из них был точным квадратом. Разложим 98 на множители: $98 = 49 \times 2$. Число 49 является квадратом числа 7 ($49 = 7^2$).
Используя свойство корня из произведения ($\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}$), получаем:
$\sqrt{98} = \sqrt{49 \times 2} = \sqrt{49} \times \sqrt{2} = 7\sqrt{2}$.
Ответ: $7\sqrt{2}$.

б) Разложим число 24 на множители, выделив наибольший возможный точный квадрат. $24 = 4 \times 6$. Число 4 является квадратом числа 2 ($4 = 2^2$).
Следовательно, $\sqrt{24} = \sqrt{4 \times 6}$.
Применяем свойство корня из произведения:
$\sqrt{4 \times 6} = \sqrt{4} \times \sqrt{6} = 2\sqrt{6}$.
Ответ: $2\sqrt{6}$.

в) Сначала упростим выражение под корнем $\sqrt{242}$. Разложим 242 на множители: $242 = 121 \times 2$. Число 121 — это квадрат числа 11 ($121 = 11^2$).
Таким образом, $\sqrt{242} = \sqrt{121 \times 2} = \sqrt{121} \times \sqrt{2} = 11\sqrt{2}$.
Теперь вернем знак минуса перед выражением:
$-\sqrt{242} = -11\sqrt{2}$.
Ответ: $-11\sqrt{2}$.

г) Рассмотрим корень $\sqrt{75}$. Разложим 75 на множители, выделив наибольший точный квадрат: $75 = 25 \times 3$. Число 25 является квадратом числа 5 ($25 = 5^2$).
Следовательно, $\sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} = \sqrt{25} \times \sqrt{3} = 5\sqrt{3}$.
Не забываем про знак минус:
$-\sqrt{75} = -5\sqrt{3}$.
Ответ: $-5\sqrt{3}$.

д) Вынесем множитель из-под знака корня в $\sqrt{128}$. Разложим 128 на множители: $128 = 64 \times 2$. Число 64 является квадратом числа 8 ($64 = 8^2$).
Тогда $\sqrt{128} = \sqrt{64 \times 2} = \sqrt{64} \times \sqrt{2} = 8\sqrt{2}$.
Теперь умножим полученное выражение на коэффициент 0,1:
$0,1 \times 8\sqrt{2} = 0,8\sqrt{2}$.
Ответ: $0,8\sqrt{2}$.

е) Упростим $\sqrt{40}$. Разложим 40 на множители, выделив точный квадрат: $40 = 4 \times 10$. Число 4 является квадратом числа 2 ($4=2^2$).
$\sqrt{40} = \sqrt{4 \times 10} = \sqrt{4} \times \sqrt{10} = 2\sqrt{10}$.
Умножим на коэффициент 0,4:
$0,4 \times 2\sqrt{10} = 0,8\sqrt{10}$.
Ответ: $0,8\sqrt{10}$.

ж) Представим подкоренное выражение $\sqrt{12x^2}$ в виде произведения множителей: $\sqrt{12 \times x^2} = \sqrt{12} \times \sqrt{x^2}$.
Упростим каждый множитель. Для числового множителя: $\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3}$.
Для буквенного множителя, по определению, $\sqrt{x^2} = |x|$. Так как по условию $x \ge 0$, то $|x| = x$.
Объединяем результаты: $2\sqrt{3} \times x = 2x\sqrt{3}$.
Ответ: $2x\sqrt{3}$.

з) Представим подкоренное выражение $\sqrt{18y^2}$ в виде произведения: $\sqrt{18 \times y^2} = \sqrt{18} \times \sqrt{y^2}$.
Упростим каждый множитель. Для числового: $\sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3\sqrt{2}$.
Для буквенного: $\sqrt{y^2} = |y|$. По условию $y < 0$, поэтому модуль отрицательного числа равен противоположному ему положительному числу: $|y| = -y$.
Объединяем результаты: $3\sqrt{2} \times (-y) = -3y\sqrt{2}$.
Ответ: $-3y\sqrt{2}$.

и) Представим подкоренное выражение $\sqrt{5a^4}$ в виде произведения: $\sqrt{5 \times a^4} = \sqrt{5} \times \sqrt{a^4}$.
Множитель $\sqrt{5}$ упростить нельзя.
Упростим $\sqrt{a^4}$. Так как $a^4 = (a^2)^2$, то $\sqrt{a^4} = \sqrt{(a^2)^2} = |a^2|$.
Квадрат любого действительного числа $a$ всегда неотрицателен ($a^2 \ge 0$), поэтому $|a^2| = a^2$.
Объединяем результаты: $\sqrt{5} \times a^2 = a^2\sqrt{5}$.
Ответ: $a^2\sqrt{5}$.

717. Внесите множитель под знак корня:

а) Чтобы внести положительный множитель 10 под знак корня, его необходимо возвести в квадрат и умножить на подкоренное выражение 3. Так как $10 > 0$, то:

$10\sqrt{3} = \sqrt{10^2 \cdot 3} = \sqrt{100 \cdot 3} = \sqrt{300}$.

Ответ: $\sqrt{300}$.

б) Множитель 0,1 является положительным числом. Внесем его под знак корня, возведя в квадрат. Так как $0,1 > 0$, то:

$0,1\sqrt{2} = \sqrt{(0,1)^2 \cdot 2} = \sqrt{0,01 \cdot 2} = \sqrt{0,02}$.

Ответ: $\sqrt{0,02}$.

в) Множитель -3 является отрицательным. При внесении отрицательного множителя под знак корня, знак "минус" остается перед корнем, а под корень вносится модуль этого множителя (число 3), возведенный в квадрат.

$-3\sqrt{5} = -\sqrt{3^2 \cdot 5} = -\sqrt{9 \cdot 5} = -\sqrt{45}$.

Ответ: $-\sqrt{45}$.

г) Множитель -0,2 является отрицательным. Знак "минус" оставляем перед корнем, а под корень вносим положительное число 0,2, возведенное в квадрат.

$-0,2\sqrt{40} = -\sqrt{(0,2)^2 \cdot 40} = -\sqrt{0,04 \cdot 40} = -\sqrt{1,6}$.

Ответ: $-\sqrt{1,6}$.

д) По условию, множитель $x \ge 0$, то есть он неотрицательный. Поэтому мы можем внести его под знак корня, возведя в квадрат.

$x\sqrt{3} = \sqrt{x^2 \cdot 3} = \sqrt{3x^2}$.

Ответ: $\sqrt{3x^2}$.

е) По условию, множитель $y < 0$, то есть он отрицательный. Чтобы внести его под корень, мы оставляем знак "минус" перед корнем, а под корень вносим положительное число $-y$, возведенное в квадрат.

$y\sqrt{5} = -(-y)\sqrt{5} = -\sqrt{(-y)^2 \cdot 5} = -\sqrt{y^2 \cdot 5} = -\sqrt{5y^2}$.

Ответ: $-\sqrt{5y^2}$.

718. Упростите выражение:

а) Чтобы упростить выражение $\sqrt{50x} + \sqrt{32x} - \sqrt{98x}$, необходимо привести слагаемые к общему подкоренному выражению. Для этого вынесем множители из-под знака корня. Разложим числовые коэффициенты под корнями на множители так, чтобы один из множителей был полным квадратом:
$\sqrt{50x} = \sqrt{25 \cdot 2x} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{2x} = 5\sqrt{2x}$
$\sqrt{32x} = \sqrt{16 \cdot 2x} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{2x} = 4\sqrt{2x}$
$\sqrt{98x} = \sqrt{49 \cdot 2x} = \sqrt{49} \cdot \sqrt{2x} = 7\sqrt{2x}$
Теперь подставим упрощенные слагаемые обратно в выражение:
$5\sqrt{2x} + 4\sqrt{2x} - 7\sqrt{2x}$
Так как все слагаемые имеют общий множитель $\sqrt{2x}$, мы можем сложить и вычесть их коэффициенты:
$(5 + 4 - 7)\sqrt{2x} = 2\sqrt{2x}$
Данные преобразования верны при $x \ge 0$.
Ответ: $2\sqrt{2x}$

б) Упростим выражение $(\sqrt{a} + \sqrt{2})(\sqrt{a} - \sqrt{2}) - (\sqrt{a} - \sqrt{2}) \cdot \sqrt{a}$.
Первая часть выражения, $(\sqrt{a} + \sqrt{2})(\sqrt{a} - \sqrt{2})$, является формулой разности квадратов $(u+v)(u-v) = u^2 - v^2$. Применим ее:
$(\sqrt{a})^2 - (\sqrt{2})^2 = a - 2$
Во второй части выражения, $- (\sqrt{a} - \sqrt{2}) \cdot \sqrt{a}$, раскроем скобки, умножив $\sqrt{a}$ на каждый член внутри скобок:
$-(\sqrt{a} \cdot \sqrt{a} - \sqrt{2} \cdot \sqrt{a}) = -(a - \sqrt{2a}) = -a + \sqrt{2a}$
Теперь объединим обе упрощенные части:
$(a - 2) + (-a + \sqrt{2a}) = a - 2 - a + \sqrt{2a}$
Приведем подобные слагаемые:
$(a - a) - 2 + \sqrt{2a} = 0 - 2 + \sqrt{2a} = \sqrt{2a} - 2$
Данные преобразования верны при $a \ge 0$.
Ответ: $\sqrt{2a} - 2$

в) Упростим выражение $(\sqrt{x} + \sqrt{y})^2 - (\sqrt{x} - \sqrt{y})^2$.
Используем формулы сокращенного умножения: квадрат суммы $(u+v)^2 = u^2 + 2uv + v^2$ и квадрат разности $(u-v)^2 = u^2 - 2uv + v^2$.
Раскроем первую скобку:
$(\sqrt{x} + \sqrt{y})^2 = (\sqrt{x})^2 + 2\sqrt{x}\sqrt{y} + (\sqrt{y})^2 = x + 2\sqrt{xy} + y$
Раскроем вторую скобку:
$(\sqrt{x} - \sqrt{y})^2 = (\sqrt{x})^2 - 2\sqrt{x}\sqrt{y} + (\sqrt{y})^2 = x - 2\sqrt{xy} + y$
Теперь вычтем второе разложение из первого:
$(x + 2\sqrt{xy} + y) - (x - 2\sqrt{xy} + y) = x + 2\sqrt{xy} + y - x + 2\sqrt{xy} - y$
Сгруппируем и сократим подобные слагаемые:
$(x - x) + (y - y) + (2\sqrt{xy} + 2\sqrt{xy}) = 0 + 0 + 4\sqrt{xy} = 4\sqrt{xy}$
Данные преобразования верны при $x \ge 0$ и $y \ge 0$.
Ответ: $4\sqrt{xy}$

г) Упростим выражение $(\sqrt{x} - \sqrt{y})(x + \sqrt{xy} + y)$.
Это выражение является формулой разности кубов: $(u-v)(u^2 + uv + v^2) = u^3 - v^3$.
Определим $u$ и $v$. Пусть $u = \sqrt{x}$ и $v = \sqrt{y}$. Тогда:
$u^2 = (\sqrt{x})^2 = x$
$v^2 = (\sqrt{y})^2 = y$
$uv = \sqrt{x}\sqrt{y} = \sqrt{xy}$
Выражение $(\sqrt{x} - \sqrt{y})(x + \sqrt{xy} + y)$ можно переписать как $(\sqrt{x} - \sqrt{y})((\sqrt{x})^2 + \sqrt{x}\sqrt{y} + (\sqrt{y})^2)$, что в точности соответствует формуле.
Применив формулу, получаем:
$(\sqrt{x})^3 - (\sqrt{y})^3$
Упростим полученные кубы:
$(\sqrt{x})^3 = \sqrt{x^3} = \sqrt{x^2 \cdot x} = x\sqrt{x}$
$(\sqrt{y})^3 = \sqrt{y^3} = \sqrt{y^2 \cdot y} = y\sqrt{y}$
Итоговый результат:
$x\sqrt{x} - y\sqrt{y}$
Данные преобразования верны при $x \ge 0$ и $y \ge 0$.
Ответ: $x\sqrt{x} - y\sqrt{y}$

719. Сократите дробь:

а) Исходная дробь: $\frac{5 + \sqrt{y}}{5\sqrt{y} + y}$.
Для сокращения дроби разложим знаменатель на множители. Представим $y$ как $(\sqrt{y})^2$ и вынесем общий множитель $\sqrt{y}$ за скобки: $5\sqrt{y} + y = 5\sqrt{y} + (\sqrt{y})^2 = \sqrt{y}(5 + \sqrt{y})$.
Подставим полученное выражение в знаменатель дроби: $\frac{5 + \sqrt{y}}{\sqrt{y}(5 + \sqrt{y})}$.
Сократим дробь на общий множитель $(5 + \sqrt{y})$, при условии, что $y>0$ (чтобы знаменатель не был равен нулю): $\frac{1}{\sqrt{y}}$.
Ответ: $\frac{1}{\sqrt{y}}$

б) Исходная дробь: $\frac{3x - 6}{\sqrt{x} + \sqrt{2}}$.
Разложим числитель на множители. Сначала вынесем общий множитель 3: $3x - 6 = 3(x - 2)$.
Затем применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ к выражению в скобках, представив $x = (\sqrt{x})^2$ и $2 = (\sqrt{2})^2$: $x - 2 = (\sqrt{x})^2 - (\sqrt{2})^2 = (\sqrt{x} - \sqrt{2})(\sqrt{x} + \sqrt{2})$.
Теперь дробь имеет вид: $\frac{3(\sqrt{x} - \sqrt{2})(\sqrt{x} + \sqrt{2})}{\sqrt{x} + \sqrt{2}}$.
Сократим дробь на общий множитель $(\sqrt{x} + \sqrt{2})$: $3(\sqrt{x} - \sqrt{2})$.
Ответ: $3(\sqrt{x} - \sqrt{2})$

в) Исходная дробь: $\frac{a\sqrt{a} - 1}{a + \sqrt{a} + 1}$.
Преобразуем числитель, представив его как разность кубов. Заметим, что $a\sqrt{a} = (\sqrt{a})^3$ и $1 = 1^3$: $a\sqrt{a} - 1 = (\sqrt{a})^3 - 1^3$.
Используем формулу разности кубов $u^3 - v^3 = (u-v)(u^2 + uv + v^2)$, где $u = \sqrt{a}$ и $v = 1$: $(\sqrt{a} - 1)((\sqrt{a})^2 + \sqrt{a} \cdot 1 + 1^2) = (\sqrt{a} - 1)(a + \sqrt{a} + 1)$.
Подставим разложенный числитель в дробь: $\frac{(\sqrt{a} - 1)(a + \sqrt{a} + 1)}{a + \sqrt{a} + 1}$.
Сократим дробь на общий множитель $(a + \sqrt{a} + 1)$: $\sqrt{a} - 1$.
Ответ: $\sqrt{a} - 1$

г) Исходная дробь: $\frac{b - \sqrt{b} + 1}{b\sqrt{b} + 1}$.
Преобразуем знаменатель, представив его как сумму кубов. Заметим, что $b\sqrt{b} = (\sqrt{b})^3$ и $1 = 1^3$: $b\sqrt{b} + 1 = (\sqrt{b})^3 + 1^3$.
Используем формулу суммы кубов $u^3 + v^3 = (u+v)(u^2 - uv + v^2)$, где $u = \sqrt{b}$ и $v = 1$: $(\sqrt{b} + 1)((\sqrt{b})^2 - \sqrt{b} \cdot 1 + 1^2) = (\sqrt{b} + 1)(b - \sqrt{b} + 1)$.
Подставим разложенный знаменатель в дробь: $\frac{b - \sqrt{b} + 1}{(\sqrt{b} + 1)(b - \sqrt{b} + 1)}$.
Сократим дробь на общий множитель $(b - \sqrt{b} + 1)$: $\frac{1}{\sqrt{b} + 1}$.
Ответ: $\frac{1}{\sqrt{b} + 1}$

д) Исходная дробь: $\frac{x\sqrt{x} + y\sqrt{y}}{\sqrt{xy} + y}$.
Разложим на множители числитель, представив его как сумму кубов $x\sqrt{x} = (\sqrt{x})^3$ и $y\sqrt{y} = (\sqrt{y})^3$: $(\sqrt{x})^3 + (\sqrt{y})^3 = (\sqrt{x} + \sqrt{y})(x - \sqrt{xy} + y)$.
Разложим на множители знаменатель, вынеся общий множитель $\sqrt{y}$: $\sqrt{xy} + y = \sqrt{x}\sqrt{y} + (\sqrt{y})^2 = \sqrt{y}(\sqrt{x} + \sqrt{y})$.
Теперь дробь имеет вид: $\frac{(\sqrt{x} + \sqrt{y})(x - \sqrt{xy} + y)}{\sqrt{y}(\sqrt{x} + \sqrt{y})}$.
Сократим дробь на общий множитель $(\sqrt{x} + \sqrt{y})$: $\frac{x - \sqrt{xy} + y}{\sqrt{y}}$.
Ответ: $\frac{x - \sqrt{xy} + y}{\sqrt{y}}$

е) Исходная дробь: $\frac{c - \sqrt{cd}}{c\sqrt{c} - d\sqrt{d}}$.
Разложим на множители числитель, вынеся за скобки $\sqrt{c}$: $c - \sqrt{cd} = (\sqrt{c})^2 - \sqrt{c}\sqrt{d} = \sqrt{c}(\sqrt{c} - \sqrt{d})$.
Разложим на множители знаменатель, представив его как разность кубов $c\sqrt{c} = (\sqrt{c})^3$ и $d\sqrt{d} = (\sqrt{d})^3$: $(\sqrt{c})^3 - (\sqrt{d})^3 = (\sqrt{c} - \sqrt{d})(c + \sqrt{cd} + d)$.
Теперь дробь имеет вид: $\frac{\sqrt{c}(\sqrt{c} - \sqrt{d})}{(\sqrt{c} - \sqrt{d})(c + \sqrt{cd} + d)}$.
Сократим дробь на общий множитель $(\sqrt{c} - \sqrt{d})$, при условии, что $c \neq d$: $\frac{\sqrt{c}}{c + \sqrt{cd} + d}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{c}}{c + \sqrt{cd} + d}$