Страница 187 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

675. Докажите, что если (aₙ) — геометрическая прогрессия, то:

а)

Пусть $(a_n)$ — геометрическая прогрессия с первым членом $a_1$ и знаменателем $q$. По определению, $n$-й член геометрической прогрессии находится по формуле $a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$. Докажем равенство $a_2 \cdot a_6 = a_3 \cdot a_5$, выразив его левую и правую части через $a_1$ и $q$.

Преобразуем левую часть равенства:
$a_2 \cdot a_6 = (a_1 \cdot q^{2-1}) \cdot (a_1 \cdot q^{6-1}) = (a_1 q) \cdot (a_1 q^5) = a_1^2 \cdot q^{1+5} = a_1^2 q^6$.

Преобразуем правую часть равенства:
$a_3 \cdot a_5 = (a_1 \cdot q^{3-1}) \cdot (a_1 \cdot q^{5-1}) = (a_1 q^2) \cdot (a_1 q^4) = a_1^2 \cdot q^{2+4} = a_1^2 q^6$.

Так как левая и правая части равны одному и тому же выражению ($a_1^2 q^6$), тождество $a_2 \cdot a_6 = a_3 \cdot a_5$ доказано.
Это свойство верно, так как сумма индексов в левой части ($2+6=8$) равна сумме индексов в правой части ($3+5=8$).

Ответ: Что и требовалось доказать.

б)

Докажем равенство $a_{n-3} \cdot a_{n+8} = a_n \cdot a_{n+5}$ для $n > 3$. Условие $n > 3$ гарантирует, что все индексы ($n-3$, $n$, $n+5$, $n+8$) являются натуральными числами, так как $n$ — натуральное число. Аналогично предыдущему пункту, используем формулу $n$-го члена $a_k = a_1 \cdot q^{k-1}$.

Преобразуем левую часть равенства:
$a_{n-3} \cdot a_{n+8} = (a_1 \cdot q^{(n-3)-1}) \cdot (a_1 \cdot q^{(n+8)-1}) = (a_1 q^{n-4}) \cdot (a_1 q^{n+7}) = a_1^2 \cdot q^{(n-4)+(n+7)} = a_1^2 q^{2n+3}$.

Преобразуем правую часть равенства:
$a_n \cdot a_{n+5} = (a_1 \cdot q^{n-1}) \cdot (a_1 \cdot q^{(n+5)-1}) = (a_1 q^{n-1}) \cdot (a_1 q^{n+4}) = a_1^2 \cdot q^{(n-1)+(n+4)} = a_1^2 q^{2n+3}$.

Левая и правая части равны ($a_1^2 q^{2n+3}$), следовательно, равенство $a_{n-3} \cdot a_{n+8} = a_n \cdot a_{n+5}$ доказано.
Это свойство также следует из равенства сумм индексов: $(n-3)+(n+8) = 2n+5$ и $n+(n+5) = 2n+5$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

676. Докажите, что если bₙ и bₘ — члены геометрической прогрессии, знаменатель которой равен q, то bₙ = bₘqⁿ ⁻ ᵐ.

Пусть дана геометрическая прогрессия $(b_k)$, первый член которой равен $b_1$, а знаменатель равен $q$.

По определению, формула для $k$-го члена геометрической прогрессии имеет вид: $b_k = b_1 q^{k-1}$.

Запишем, используя эту формулу, выражения для членов прогрессии с номерами $n$ и $m$:

$b_n = b_1 q^{n-1}$

$b_m = b_1 q^{m-1}$

Для того чтобы связать эти два члена, разделим первое равенство на второе. Будем считать, что $b_m \neq 0$, что эквивалентно условиям $b_1 \neq 0$ и $q \neq 0$.

$\frac{b_n}{b_m} = \frac{b_1 q^{n-1}}{b_1 q^{m-1}}$

Сократив общий множитель $b_1$ в числителе и знаменателе, получим:

$\frac{b_n}{b_m} = \frac{q^{n-1}}{q^{m-1}}$

Применим свойство степеней $\frac{a^x}{a^y} = a^{x-y}$:

$\frac{b_n}{b_m} = q^{(n-1) - (m-1)} = q^{n-1-m+1} = q^{n-m}$

Теперь выразим $b_n$ из полученного соотношения, умножив обе части на $b_m$:

$b_n = b_m q^{n-m}$

Это и есть доказываемое равенство.

Ответ: Утверждение доказано.

677. В геометрической прогрессии (xₙ):

а)

Дано: знаменатель геометрической прогрессии $q = -\frac{1}{3}$, число членов $n = 5$, сумма первых $n$ членов $S_n = 20\frac{1}{3}$.

Сначала переведем смешанное число в неправильную дробь: $S_5 = 20\frac{1}{3} = \frac{20 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{61}{3}$.

Воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии: $S_n = \frac{x_1(q^n - 1)}{q - 1}$.

Подставим известные значения, чтобы найти первый член прогрессии $x_1$:

$\frac{61}{3} = \frac{x_1((-\frac{1}{3})^5 - 1)}{-\frac{1}{3} - 1}$

Вычислим знаменатель дроби в правой части: $-\frac{1}{3} - 1 = -\frac{1}{3} - \frac{3}{3} = -\frac{4}{3}$.

Вычислим выражение в скобках в числителе: $(-\frac{1}{3})^5 - 1 = -\frac{1}{243} - 1 = -\frac{1}{243} - \frac{243}{243} = -\frac{244}{243}$.

Подставим эти значения обратно в уравнение:

$\frac{61}{3} = \frac{x_1(-\frac{244}{243})}{-\frac{4}{3}}$

$\frac{61}{3} = x_1 \cdot \frac{244}{243} \cdot \frac{3}{4}$

Сократим дробь: $\frac{244 \cdot 3}{243 \cdot 4} = \frac{61 \cdot 4 \cdot 3}{81 \cdot 3 \cdot 4} = \frac{61}{81}$.

$\frac{61}{3} = x_1 \cdot \frac{61}{81}$

Отсюда находим $x_1$:

$x_1 = \frac{61}{3} \cdot \frac{81}{61} = \frac{81}{3} = 27$.

Теперь найдем $n$-й член прогрессии, то есть $x_5$, используя формулу $x_n = x_1 \cdot q^{n-1}$:

$x_5 = x_1 \cdot q^{5-1} = 27 \cdot (-\frac{1}{3})^4 = 27 \cdot \frac{1}{81} = \frac{27}{81} = \frac{1}{3}$.

Ответ: $x_1 = 27$, $x_n = \frac{1}{3}$.

б)

Дано: $x_1 = 11$, $x_n = 88$, $S_n = 165$.

Воспользуемся формулой для суммы $S_n = \frac{x_n q - x_1}{q - 1}$, чтобы найти знаменатель прогрессии $q$.

$165 = \frac{88q - 11}{q - 1}$

$165(q - 1) = 88q - 11$

$165q - 165 = 88q - 11$

$165q - 88q = 165 - 11$

$77q = 154$

$q = \frac{154}{77} = 2$.

Теперь найдем число членов прогрессии $n$, используя формулу $n$-го члена $x_n = x_1 \cdot q^{n-1}$.

$88 = 11 \cdot 2^{n-1}$

$\frac{88}{11} = 2^{n-1}$

$8 = 2^{n-1}$

Так как $8 = 2^3$, то $2^3 = 2^{n-1}$.

Отсюда $n-1 = 3$, следовательно, $n = 4$.

Ответ: $q = 2$, $n = 4$.

в)

Дано: $x_1 = \frac{1}{2}$, $q = -\frac{1}{2}$, $S_n = \frac{21}{64}$.

Воспользуемся формулой суммы $S_n = \frac{x_1(q^n - 1)}{q - 1}$ для нахождения $n$.

$\frac{21}{64} = \frac{\frac{1}{2}((-\frac{1}{2})^n - 1)}{-\frac{1}{2} - 1}$

Знаменатель правой части: $-\frac{1}{2} - 1 = -\frac{3}{2}$.

$\frac{21}{64} = \frac{\frac{1}{2}((-\frac{1}{2})^n - 1)}{-\frac{3}{2}} = \frac{1}{2} \cdot (-\frac{2}{3}) \cdot ((-\frac{1}{2})^n - 1) = -\frac{1}{3}((-\frac{1}{2})^n - 1)$.

Умножим обе части на -3:

$\frac{21}{64} \cdot (-3) = (-\frac{1}{2})^n - 1$

$-\frac{63}{64} = (-\frac{1}{2})^n - 1$

$1 - \frac{63}{64} = (-\frac{1}{2})^n$

$\frac{1}{64} = (-\frac{1}{2})^n$

Поскольку $\frac{1}{64} = (\frac{1}{2})^6 = (-\frac{1}{2})^6$ (так как степень четная), то $n = 6$.

Теперь найдем $n$-й член прогрессии $x_n = x_6$ по формуле $x_n = x_1 \cdot q^{n-1}$:

$x_6 = \frac{1}{2} \cdot (-\frac{1}{2})^{6-1} = \frac{1}{2} \cdot (-\frac{1}{2})^5 = \frac{1}{2} \cdot (-\frac{1}{32}) = -\frac{1}{64}$.

Ответ: $n=6$, $x_n = -\frac{1}{64}$.

г)

Дано: $q = \sqrt{3}$, $x_n = 18\sqrt{3}$, $S_n = 26\sqrt{3} + 24$.

Воспользуемся формулой $S_n = \frac{x_n q - x_1}{q - 1}$ для нахождения $x_1$.

$26\sqrt{3} + 24 = \frac{18\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} - x_1}{\sqrt{3} - 1}$

$26\sqrt{3} + 24 = \frac{18 \cdot 3 - x_1}{\sqrt{3} - 1} = \frac{54 - x_1}{\sqrt{3} - 1}$

Умножим обе части на $(\sqrt{3} - 1)$:

$(26\sqrt{3} + 24)(\sqrt{3} - 1) = 54 - x_1$

$26\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} - 26\sqrt{3} \cdot 1 + 24 \cdot \sqrt{3} - 24 \cdot 1 = 54 - x_1$

$26 \cdot 3 - 26\sqrt{3} + 24\sqrt{3} - 24 = 54 - x_1$

$78 - 2\sqrt{3} - 24 = 54 - x_1$

$54 - 2\sqrt{3} = 54 - x_1$

Отсюда следует, что $x_1 = 2\sqrt{3}$.

Теперь найдем $n$ по формуле $x_n = x_1 \cdot q^{n-1}$.

$18\sqrt{3} = 2\sqrt{3} \cdot (\sqrt{3})^{n-1}$

Разделим обе части на $2\sqrt{3}$:

$\frac{18\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = (\sqrt{3})^{n-1}$

$9 = (\sqrt{3})^{n-1}$

Так как $9 = 3^2 = ((\sqrt{3})^2)^2 = (\sqrt{3})^4$, то получаем:

$(\sqrt{3})^4 = (\sqrt{3})^{n-1}$

Следовательно, $4 = n-1$, откуда $n = 5$.

Ответ: $x_1 = 2\sqrt{3}$, $n = 5$.

678. Сумму первых n членов последовательности (xₙ) можно найти по формуле

Докажите, что последовательность (xₙ) — геометрическая прогрессия. Найдите знаменатель и первый член этой прогрессии.

Докажите, что последовательность ($x_n$) — геометрическая прогрессия.

Чтобы доказать, что последовательность ($x_n$) является геометрической прогрессией, необходимо найти формулу для ее n-го члена и показать, что отношение любого члена, начиная со второго, к предыдущему является постоянной величиной (знаменателем прогрессии q).

Сумма первых n членов последовательности задана формулой $S_n = \frac{3}{4}(5^n - 1)$.

Первый член последовательности $x_1$ равен сумме первого члена $S_1$: $x_1 = S_1 = \frac{3}{4}(5^1 - 1) = \frac{3}{4}(4) = 3$.

Для $n \ge 2$ n-й член последовательности можно найти как разность $x_n = S_n - S_{n-1}$: $x_n = \frac{3}{4}(5^n - 1) - \frac{3}{4}(5^{n-1} - 1)$.

Вынесем общий множитель $\frac{3}{4}$ за скобки и упростим выражение: $x_n = \frac{3}{4}((5^n - 1) - (5^{n-1} - 1)) = \frac{3}{4}(5^n - 1 - 5^{n-1} + 1) = \frac{3}{4}(5^n - 5^{n-1})$.

Вынесем за скобки $5^{n-1}$: $x_n = \frac{3}{4}(5 \cdot 5^{n-1} - 5^{n-1}) = \frac{3}{4}(5^{n-1}(5-1)) = \frac{3}{4}(5^{n-1} \cdot 4) = 3 \cdot 5^{n-1}$.

Мы получили формулу для n-го члена: $x_n = 3 \cdot 5^{n-1}$. Проверим, верна ли она для $n=1$: $x_1 = 3 \cdot 5^{1-1} = 3 \cdot 5^0 = 3 \cdot 1 = 3$. Формула верна для всех натуральных n.

Теперь найдем отношение $\frac{x_n}{x_{n-1}}$: $\frac{x_n}{x_{n-1}} = \frac{3 \cdot 5^{n-1}}{3 \cdot 5^{(n-1)-1}} = \frac{5^{n-1}}{5^{n-2}} = 5^{(n-1)-(n-2)} = 5^{1} = 5$.

Так как отношение $\frac{x_n}{x_{n-1}}$ постоянно и равно 5 для любого $n \ge 2$, то последовательность ($x_n$) является геометрической прогрессией.

Ответ: Доказано. Поскольку отношение каждого последующего члена к предыдущему постоянно ($q=5$), последовательность является геометрической прогрессией.

Найдите знаменатель и первый член этой прогрессии.

В ходе доказательства было установлено, что знаменатель прогрессии q, равный отношению $\frac{x_n}{x_{n-1}}$, составляет: $q = 5$.

Первый член прогрессии $x_1$ был вычислен в самом начале: $x_1 = 3$.

Ответ: Знаменатель прогрессии $q=5$, первый член $x_1=3$.

679. Геометрическая прогрессия состоит из пятнадцати членов. Сумма первых пяти членов равна $\frac{11}{64}$, а сумма следующих пяти членов равна -5$\frac{1}{2}$, Найдите сумму последних пяти членов этой прогрессии.

Пусть $b_n$ – заданная геометрическая прогрессия, где $b_1$ – её первый член, а $q$ – её знаменатель. Всего в прогрессии 15 членов.

По условию задачи, сумма первых пяти членов равна $\frac{11}{64}$. Обозначим эту сумму как $S_A$:$S_A = b_1 + b_2 + b_3 + b_4 + b_5 = \frac{11}{64}$.

Сумма следующих пяти членов (с 6-го по 10-й) равна $-5\frac{1}{2}$. Обозначим эту сумму как $S_B$:$S_B = b_6 + b_7 + b_8 + b_9 + b_{10} = -5\frac{1}{2} = -\frac{11}{2}$.

Нам необходимо найти сумму последних пяти членов (с 11-го по 15-й). Обозначим эту сумму как $S_C$:$S_C = b_{11} + b_{12} + b_{13} + b_{14} + b_{15}$.

Установим связь между этими суммами. Каждый член в сумме $S_B$ можно получить из соответствующего члена суммы $S_A$ умножением на $q^5$. Например, $b_6 = b_1 \cdot q^5$, $b_7 = b_2 \cdot q^5$, и так далее до $b_{10} = b_5 \cdot q^5$.Таким образом, сумму $S_B$ можно выразить через $S_A$:$S_B = b_1q^5 + b_2q^5 + b_3q^5 + b_4q^5 + b_5q^5 = q^5(b_1 + b_2 + b_3 + b_4 + b_5) = q^5 \cdot S_A$.

Используя известные значения $S_A$ и $S_B$, найдем $q^5$:$S_B = q^5 \cdot S_A$$-\frac{11}{2} = q^5 \cdot \frac{11}{64}$

Выразим $q^5$:$q^5 = \left(-\frac{11}{2}\right) \div \left(\frac{11}{64}\right) = -\frac{11}{2} \cdot \frac{64}{11} = -\frac{64}{2} = -32$.

Аналогичным образом, каждый член суммы $S_C$ можно получить из соответствующего члена суммы $S_B$ умножением на $q^5$: $b_{11} = b_6 \cdot q^5$, $b_{12} = b_7 \cdot q^5$, и так далее до $b_{15} = b_{10} \cdot q^5$.Следовательно, сумму $S_C$ можно выразить через $S_B$:$S_C = b_6q^5 + b_7q^5 + b_8q^5 + b_9q^5 + b_{10}q^5 = q^5(b_6 + b_7 + b_8 + b_9 + b_{10}) = q^5 \cdot S_B$.

Это означает, что суммы блоков по пять последовательных членов ($S_A, S_B, S_C$) сами образуют геометрическую прогрессию со знаменателем, равным $q^5$.

Теперь мы можем вычислить искомую сумму $S_C$:$S_C = q^5 \cdot S_B = (-32) \cdot \left(-\frac{11}{2}\right)$$S_C = \frac{32 \cdot 11}{2} = 16 \cdot 11 = 176$.

Ответ: 176.

680. Упростите выражение, применив формулу суммы первых n членов геометрической прогрессии:

а) Выражение $1 + x + x^2 + x^3 + x^4$ представляет собой сумму членов геометрической прогрессии. Определим её параметры:

• Первый член $b_1 = 1$.
• Знаменатель прогрессии $q = \frac{x}{1} = x$.
• Количество членов $n = 5$ (от $x^0$ до $x^4$).

Формула суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии имеет вид: $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$.

По условию задачи $x \neq 1$, следовательно, знаменатель прогрессии $q \neq 1$, и мы можем применить эту формулу. Подставим в неё найденные параметры:

$S_5 = \frac{1 \cdot (x^5 - 1)}{x - 1} = \frac{x^5 - 1}{x - 1}$.

Ответ: $\frac{x^5 - 1}{x - 1}$.

б) Выражение $1 - x + x^2 - x^3 + x^4 - x^5 + x^6$ также является суммой членов геометрической прогрессии. Его можно представить в виде $1 + (-x) + (-x)^2 + (-x)^3 + (-x)^4 + (-x)^5 + (-x)^6$. Определим параметры этой прогрессии:

• Первый член $b_1 = 1$.
• Знаменатель прогрессии $q = \frac{-x}{1} = -x$.
• Количество членов $n = 7$ (от $(-x)^0$ до $(-x)^6$).

Используем ту же формулу суммы $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$.

По условию $x \neq -1$, следовательно, знаменатель прогрессии $q = -x \neq 1$, что позволяет применить формулу. Подставляем значения:

$S_7 = \frac{1 \cdot ((-x)^7 - 1)}{-x - 1} = \frac{-x^7 - 1}{-x - 1}$.

Вынесем знак минуса из числителя и знаменателя:

$S_7 = \frac{-(x^7 + 1)}{-(x + 1)} = \frac{x^7 + 1}{x + 1}$.

Ответ: $\frac{x^7 + 1}{x + 1}$.