Номер 675, страница 187 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Дополнительные упражнения к главе 5 - номер 675, страница 187.

Условие.

675. Докажите, что если (aₙ) — геометрическая прогрессия, то:

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а)

Пусть $(a_n)$ — геометрическая прогрессия с первым членом $a_1$ и знаменателем $q$. По определению, $n$-й член геометрической прогрессии находится по формуле $a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$. Докажем равенство $a_2 \cdot a_6 = a_3 \cdot a_5$, выразив его левую и правую части через $a_1$ и $q$.

Преобразуем левую часть равенства:
$a_2 \cdot a_6 = (a_1 \cdot q^{2-1}) \cdot (a_1 \cdot q^{6-1}) = (a_1 q) \cdot (a_1 q^5) = a_1^2 \cdot q^{1+5} = a_1^2 q^6$.

Преобразуем правую часть равенства:
$a_3 \cdot a_5 = (a_1 \cdot q^{3-1}) \cdot (a_1 \cdot q^{5-1}) = (a_1 q^2) \cdot (a_1 q^4) = a_1^2 \cdot q^{2+4} = a_1^2 q^6$.

Так как левая и правая части равны одному и тому же выражению ($a_1^2 q^6$), тождество $a_2 \cdot a_6 = a_3 \cdot a_5$ доказано.
Это свойство верно, так как сумма индексов в левой части ($2+6=8$) равна сумме индексов в правой части ($3+5=8$).

Ответ: Что и требовалось доказать.

б)

Докажем равенство $a_{n-3} \cdot a_{n+8} = a_n \cdot a_{n+5}$ для $n > 3$. Условие $n > 3$ гарантирует, что все индексы ($n-3$, $n$, $n+5$, $n+8$) являются натуральными числами, так как $n$ — натуральное число. Аналогично предыдущему пункту, используем формулу $n$-го члена $a_k = a_1 \cdot q^{k-1}$.

Преобразуем левую часть равенства:
$a_{n-3} \cdot a_{n+8} = (a_1 \cdot q^{(n-3)-1}) \cdot (a_1 \cdot q^{(n+8)-1}) = (a_1 q^{n-4}) \cdot (a_1 q^{n+7}) = a_1^2 \cdot q^{(n-4)+(n+7)} = a_1^2 q^{2n+3}$.

Преобразуем правую часть равенства:
$a_n \cdot a_{n+5} = (a_1 \cdot q^{n-1}) \cdot (a_1 \cdot q^{(n+5)-1}) = (a_1 q^{n-1}) \cdot (a_1 q^{n+4}) = a_1^2 \cdot q^{(n-1)+(n+4)} = a_1^2 q^{2n+3}$.

Левая и правая части равны ($a_1^2 q^{2n+3}$), следовательно, равенство $a_{n-3} \cdot a_{n+8} = a_n \cdot a_{n+5}$ доказано.
Это свойство также следует из равенства сумм индексов: $(n-3)+(n+8) = 2n+5$ и $n+(n+5) = 2n+5$.

Ответ: Что и требовалось доказать.