Номер 675, страница 187 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Алгебра, 9 класс Учебник, авторы: Макарычев Юрий Николаевич, Миндюк Нора Григорьевна, Нешков Константин Иванович, Суворова Светлана Борисовна, издательство Просвещение, Москва, 2023, белого цвета

Авторы: Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И., Суворова С. Б.

Тип: Учебник

Издательство: Просвещение

Год издания: 2023 - 2025

Уровень обучения: базовый

Цвет обложки: белый, зелёный, фиолетовый

ISBN: 978-5-09-112135-3

Допущено Министерством просвещения Российской Федерации

Популярные ГДЗ в 9 классе

Дополнительные упражнения к главе 5. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии - номер 675, страница 187.

№675 (с. 187)
Условие. №675 (с. 187)
скриншот условия
Алгебра, 9 класс Учебник, авторы: Макарычев Юрий Николаевич, Миндюк Нора Григорьевна, Нешков Константин Иванович, Суворова Светлана Борисовна, издательство Просвещение, Москва, 2023, белого цвета, страница 187, номер 675, Условие

675. Докажите, что если (aₙ) — геометрическая прогрессия, то:

Доказать, что если (an) геометрическая прогрессия
Решение 1. №675 (с. 187)
Алгебра, 9 класс Учебник, авторы: Макарычев Юрий Николаевич, Миндюк Нора Григорьевна, Нешков Константин Иванович, Суворова Светлана Борисовна, издательство Просвещение, Москва, 2023, белого цвета, страница 187, номер 675, Решение 1
Решение 2. №675 (с. 187)
Алгебра, 9 класс Учебник, авторы: Макарычев Юрий Николаевич, Миндюк Нора Григорьевна, Нешков Константин Иванович, Суворова Светлана Борисовна, издательство Просвещение, Москва, 2023, белого цвета, страница 187, номер 675, Решение 2 Алгебра, 9 класс Учебник, авторы: Макарычев Юрий Николаевич, Миндюк Нора Григорьевна, Нешков Константин Иванович, Суворова Светлана Борисовна, издательство Просвещение, Москва, 2023, белого цвета, страница 187, номер 675, Решение 2 (продолжение 2)
Решение 3. №675 (с. 187)
Алгебра, 9 класс Учебник, авторы: Макарычев Юрий Николаевич, Миндюк Нора Григорьевна, Нешков Константин Иванович, Суворова Светлана Борисовна, издательство Просвещение, Москва, 2023, белого цвета, страница 187, номер 675, Решение 3
Решение 4. №675 (с. 187)
Алгебра, 9 класс Учебник, авторы: Макарычев Юрий Николаевич, Миндюк Нора Григорьевна, Нешков Константин Иванович, Суворова Светлана Борисовна, издательство Просвещение, Москва, 2023, белого цвета, страница 187, номер 675, Решение 4
Решение 5. №675 (с. 187)
Алгебра, 9 класс Учебник, авторы: Макарычев Юрий Николаевич, Миндюк Нора Григорьевна, Нешков Константин Иванович, Суворова Светлана Борисовна, издательство Просвещение, Москва, 2023, белого цвета, страница 187, номер 675, Решение 5
Решение 7. №675 (с. 187)
Алгебра, 9 класс Учебник, авторы: Макарычев Юрий Николаевич, Миндюк Нора Григорьевна, Нешков Константин Иванович, Суворова Светлана Борисовна, издательство Просвещение, Москва, 2023, белого цвета, страница 187, номер 675,  Решение 7
Решение 8. №675 (с. 187)

а)

Пусть $(a_n)$ — геометрическая прогрессия с первым членом $a_1$ и знаменателем $q$. По определению, $n$-й член геометрической прогрессии находится по формуле $a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$. Докажем равенство $a_2 \cdot a_6 = a_3 \cdot a_5$, выразив его левую и правую части через $a_1$ и $q$.

Преобразуем левую часть равенства:
$a_2 \cdot a_6 = (a_1 \cdot q^{2-1}) \cdot (a_1 \cdot q^{6-1}) = (a_1 q) \cdot (a_1 q^5) = a_1^2 \cdot q^{1+5} = a_1^2 q^6$.

Преобразуем правую часть равенства:
$a_3 \cdot a_5 = (a_1 \cdot q^{3-1}) \cdot (a_1 \cdot q^{5-1}) = (a_1 q^2) \cdot (a_1 q^4) = a_1^2 \cdot q^{2+4} = a_1^2 q^6$.

Так как левая и правая части равны одному и тому же выражению ($a_1^2 q^6$), тождество $a_2 \cdot a_6 = a_3 \cdot a_5$ доказано.
Это свойство верно, так как сумма индексов в левой части ($2+6=8$) равна сумме индексов в правой части ($3+5=8$).

Ответ: Что и требовалось доказать.

б)

Докажем равенство $a_{n-3} \cdot a_{n+8} = a_n \cdot a_{n+5}$ для $n > 3$. Условие $n > 3$ гарантирует, что все индексы ($n-3$, $n$, $n+5$, $n+8$) являются натуральными числами, так как $n$ — натуральное число. Аналогично предыдущему пункту, используем формулу $n$-го члена $a_k = a_1 \cdot q^{k-1}$.

Преобразуем левую часть равенства:
$a_{n-3} \cdot a_{n+8} = (a_1 \cdot q^{(n-3)-1}) \cdot (a_1 \cdot q^{(n+8)-1}) = (a_1 q^{n-4}) \cdot (a_1 q^{n+7}) = a_1^2 \cdot q^{(n-4)+(n+7)} = a_1^2 q^{2n+3}$.

Преобразуем правую часть равенства:
$a_n \cdot a_{n+5} = (a_1 \cdot q^{n-1}) \cdot (a_1 \cdot q^{(n+5)-1}) = (a_1 q^{n-1}) \cdot (a_1 q^{n+4}) = a_1^2 \cdot q^{(n-1)+(n+4)} = a_1^2 q^{2n+3}$.

Левая и правая части равны ($a_1^2 q^{2n+3}$), следовательно, равенство $a_{n-3} \cdot a_{n+8} = a_n \cdot a_{n+5}$ доказано.
Это свойство также следует из равенства сумм индексов: $(n-3)+(n+8) = 2n+5$ и $n+(n+5) = 2n+5$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 9 класс, для упражнения номер 675 расположенного на странице 187 к учебнику 2023 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №675 (с. 187), авторов: Макарычев (Юрий Николаевич), Миндюк (Нора Григорьевна), Нешков (Константин Иванович), Суворова (Светлана Борисовна), ФГОС (новый, красный) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.