Номер 675, страница 187 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Авторы: Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И., Суворова С. Б.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2023 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: белый, зелёный, фиолетовый
ISBN: 978-5-09-112135-3
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 9 классе
Дополнительные упражнения к главе 5. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии - номер 675, страница 187.
№675 (с. 187)
Условие. №675 (с. 187)
скриншот условия

675. Докажите, что если (aₙ) — геометрическая прогрессия, то:

Решение 1. №675 (с. 187)

Решение 2. №675 (с. 187)


Решение 3. №675 (с. 187)

Решение 4. №675 (с. 187)

Решение 5. №675 (с. 187)

Решение 7. №675 (с. 187)

Решение 8. №675 (с. 187)
а)
Пусть $(a_n)$ — геометрическая прогрессия с первым членом $a_1$ и знаменателем $q$. По определению, $n$-й член геометрической прогрессии находится по формуле $a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$. Докажем равенство $a_2 \cdot a_6 = a_3 \cdot a_5$, выразив его левую и правую части через $a_1$ и $q$.
Преобразуем левую часть равенства:
$a_2 \cdot a_6 = (a_1 \cdot q^{2-1}) \cdot (a_1 \cdot q^{6-1}) = (a_1 q) \cdot (a_1 q^5) = a_1^2 \cdot q^{1+5} = a_1^2 q^6$.
Преобразуем правую часть равенства:
$a_3 \cdot a_5 = (a_1 \cdot q^{3-1}) \cdot (a_1 \cdot q^{5-1}) = (a_1 q^2) \cdot (a_1 q^4) = a_1^2 \cdot q^{2+4} = a_1^2 q^6$.
Так как левая и правая части равны одному и тому же выражению ($a_1^2 q^6$), тождество $a_2 \cdot a_6 = a_3 \cdot a_5$ доказано.
Это свойство верно, так как сумма индексов в левой части ($2+6=8$) равна сумме индексов в правой части ($3+5=8$).
Ответ: Что и требовалось доказать.
б)
Докажем равенство $a_{n-3} \cdot a_{n+8} = a_n \cdot a_{n+5}$ для $n > 3$. Условие $n > 3$ гарантирует, что все индексы ($n-3$, $n$, $n+5$, $n+8$) являются натуральными числами, так как $n$ — натуральное число. Аналогично предыдущему пункту, используем формулу $n$-го члена $a_k = a_1 \cdot q^{k-1}$.
Преобразуем левую часть равенства:
$a_{n-3} \cdot a_{n+8} = (a_1 \cdot q^{(n-3)-1}) \cdot (a_1 \cdot q^{(n+8)-1}) = (a_1 q^{n-4}) \cdot (a_1 q^{n+7}) = a_1^2 \cdot q^{(n-4)+(n+7)} = a_1^2 q^{2n+3}$.
Преобразуем правую часть равенства:
$a_n \cdot a_{n+5} = (a_1 \cdot q^{n-1}) \cdot (a_1 \cdot q^{(n+5)-1}) = (a_1 q^{n-1}) \cdot (a_1 q^{n+4}) = a_1^2 \cdot q^{(n-1)+(n+4)} = a_1^2 q^{2n+3}$.
Левая и правая части равны ($a_1^2 q^{2n+3}$), следовательно, равенство $a_{n-3} \cdot a_{n+8} = a_n \cdot a_{n+5}$ доказано.
Это свойство также следует из равенства сумм индексов: $(n-3)+(n+8) = 2n+5$ и $n+(n+5) = 2n+5$.
Ответ: Что и требовалось доказать.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 9 класс, для упражнения номер 675 расположенного на странице 187 к учебнику 2023 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №675 (с. 187), авторов: Макарычев (Юрий Николаевич), Миндюк (Нора Григорьевна), Нешков (Константин Иванович), Суворова (Светлана Борисовна), ФГОС (новый, красный) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.