Номер 672, страница 186 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

672. Известны первый член и знаменатель геометрической прогрессии (bₙ). Найдите bₙ, если:

Для нахождения n-го члена геометрической прогрессии ($b_n$) используется формула: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $b_1$ — первый член прогрессии, $q$ — знаменатель прогрессии, а $n$ — номер искомого члена.

а) Даны: $b_1 = \frac{243}{256}$, $q = \frac{2}{3}$, $n = 8$.
Требуется найти $b_8$.
Подставим значения в формулу n-го члена: $b_8 = b_1 \cdot q^{8-1} = b_1 \cdot q^7$
$b_8 = \frac{243}{256} \cdot (\frac{2}{3})^7$
Для удобства вычислений представим числа 243 и 256 в виде степеней: $243 = 3^5$ и $256 = 2^8$.
Теперь подставим эти значения в наше выражение: $b_8 = \frac{3^5}{2^8} \cdot \frac{2^7}{3^7}$
Используя свойство степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$, сократим дробь: $b_8 = 3^{5-7} \cdot 2^{7-8} = 3^{-2} \cdot 2^{-1}$
Используя свойство $a^{-m} = \frac{1}{a^m}$, получим: $b_8 = \frac{1}{3^2} \cdot \frac{1}{2^1} = \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{18}$
Ответ: $b_8 = \frac{1}{18}$.

б) Даны: $b_1 = \sqrt{\frac{2}{3}}$, $q = -\sqrt{6}$, $n = 5$.
Требуется найти $b_5$.
Подставим значения в формулу n-го члена: $b_5 = b_1 \cdot q^{5-1} = b_1 \cdot q^4$
$b_5 = \sqrt{\frac{2}{3}} \cdot (-\sqrt{6})^4$
Вычислим значение $q^4$: $(-\sqrt{6})^4 = (\sqrt{6})^4 = ((\sqrt{6})^2)^2 = 6^2 = 36$
Теперь подставим полученное значение обратно в выражение для $b_5$: $b_5 = \sqrt{\frac{2}{3}} \cdot 36$
Преобразуем корень: $\sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$. $b_5 = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cdot 36$
Для избавления от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$: $b_5 = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} \cdot 36 = \frac{\sqrt{6}}{3} \cdot 36$
Сократим 36 и 3: $b_5 = 12\sqrt{6}$
Ответ: $b_5 = 12\sqrt{6}$.