Номер 666, страница 185 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

666. Является ли последовательность (xₙ) арифметической прогрессией, если сумму первых n её членов можно найти по формуле Sₙ = n² – 8n? Найдите пятый член этой последовательности.

Является ли последовательность (x_n) арифметической прогрессией?

Чтобы определить, является ли последовательность $(x_n)$ арифметической прогрессией, нужно найти формулу для её n-го члена $x_n$ и проверить, является ли разность между соседними членами постоянной величиной (эта величина называется разностью арифметической прогрессии и обозначается $d$).

N-й член последовательности можно найти по формуле $x_n = S_n - S_{n-1}$ для $n \geq 2$, где $S_n$ — сумма первых $n$ членов. Первый член последовательности равен $x_1 = S_1$.

По условию, формула для суммы первых $n$ членов такова: $S_n = n^2 - 8n$.

1. Найдём первый член последовательности $x_1$: $x_1 = S_1 = 1^2 - 8 \cdot 1 = 1 - 8 = -7$.

2. Найдём формулу для n-го члена $x_n$ при $n \geq 2$. Для этого сначала найдём $S_{n-1}$: $S_{n-1} = (n-1)^2 - 8(n-1) = (n^2 - 2n + 1) - (8n - 8) = n^2 - 10n + 9$.

Теперь вычислим $x_n$: $x_n = S_n - S_{n-1} = (n^2 - 8n) - (n^2 - 10n + 9) = n^2 - 8n - n^2 + 10n - 9 = 2n - 9$.

3. Проверим, работает ли полученная формула $x_n = 2n - 9$ для $n=1$: $x_1 = 2 \cdot 1 - 9 = -7$. Значение совпадает со значением, вычисленным через $S_1$. Следовательно, формула $x_n = 2n - 9$ верна для всех натуральных $n$.

4. Теперь проверим, является ли разность $d = x_{n+1} - x_n$ постоянной: $x_{n+1} = 2(n+1) - 9 = 2n + 2 - 9 = 2n - 7$. $d = x_{n+1} - x_n = (2n - 7) - (2n - 9) = 2n - 7 - 2n + 9 = 2$.

Разность между любым последующим и предыдущим членами последовательности постоянна и равна 2. Это означает, что последовательность $(x_n)$ является арифметической прогрессией с первым членом $x_1 = -7$ и разностью $d=2$.

Ответ: да, является.

Найдите пятый член этой последовательности.

Для нахождения пятого члена последовательности можно воспользоваться выведенной ранее формулой n-го члена $x_n = 2n - 9$.

Подставим в эту формулу значение $n=5$: $x_5 = 2 \cdot 5 - 9 = 10 - 9 = 1$.

Также пятый член можно найти, используя исходную формулу для суммы $S_n$ и соотношение $x_5 = S_5 - S_4$:

$S_5 = 5^2 - 8 \cdot 5 = 25 - 40 = -15$.

$S_4 = 4^2 - 8 \cdot 4 = 16 - 32 = -16$.

$x_5 = S_5 - S_4 = -15 - (-16) = -15 + 16 = 1$.

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 1.