Номер 664, страница 185 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Дополнительные упражнения к главе 5. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии - номер 664, страница 185.

Условие.

664. Найдите пятидесятый член арифметической прогрессии, если:

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а)

Чтобы найти пятидесятый член арифметической прогрессии $a_{50}$, нам нужно определить её первый член $a_1$ и разность $d$. Формула n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$. Соответственно, для пятидесятого члена: $a_{50} = a_1 + 49d$.

Формула суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии: $S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$.

Используя данные из условия, $S_{20} = 1000$ и $S_{40} = 10000$, составим систему из двух уравнений с двумя неизвестными, $a_1$ и $d$.

1. Для $S_{20} = 1000$:

$S_{20} = \frac{2a_1 + (20-1)d}{2} \cdot 20 = 1000$

$(2a_1 + 19d) \cdot 10 = 1000$

$2a_1 + 19d = 100$

2. Для $S_{40} = 10000$:

$S_{40} = \frac{2a_1 + (40-1)d}{2} \cdot 40 = 10000$

$(2a_1 + 39d) \cdot 20 = 10000$

$2a_1 + 39d = 500$

Получаем систему уравнений:

$\begin{cases} 2a_1 + 19d = 100 \\ 2a_1 + 39d = 500 \end{cases}$

Вычтем первое уравнение из второго, чтобы найти $d$:

$(2a_1 + 39d) - (2a_1 + 19d) = 500 - 100$

$20d = 400$

$d = 20$

Теперь подставим найденное значение $d$ в первое уравнение, чтобы найти $a_1$:

$2a_1 + 19(20) = 100$

$2a_1 + 380 = 100$

$2a_1 = 100 - 380$

$2a_1 = -280$

$a_1 = -140$

Теперь, зная $a_1$ и $d$, мы можем найти $a_{50}$:

$a_{50} = a_1 + 49d = -140 + 49 \cdot 20 = -140 + 980 = 840$.

Ответ: $840$.

б)

Аналогично пункту а), используем данные $S_5 = 0,5$ и $S_{15} = -81$ для составления системы уравнений, чтобы найти $a_1$ и $d$.

1. Для $S_5 = 0,5$:

$S_5 = \frac{2a_1 + (5-1)d}{2} \cdot 5 = 0,5$

$\frac{2a_1 + 4d}{2} \cdot 5 = 0,5$

$(a_1 + 2d) \cdot 5 = 0,5$

$5a_1 + 10d = 0,5$

2. Для $S_{15} = -81$:

$S_{15} = \frac{2a_1 + (15-1)d}{2} \cdot 15 = -81$

$\frac{2a_1 + 14d}{2} \cdot 15 = -81$

$(a_1 + 7d) \cdot 15 = -81$

$15a_1 + 105d = -81$

Разделим обе части уравнения на 3 для упрощения:

$5a_1 + 35d = -27$

Получаем систему уравнений:

$\begin{cases} 5a_1 + 10d = 0,5 \\ 5a_1 + 35d = -27 \end{cases}$

Вычтем первое уравнение из второго, чтобы найти $d$:

$(5a_1 + 35d) - (5a_1 + 10d) = -27 - 0,5$

$25d = -27,5$

$d = \frac{-27,5}{25} = -1,1$

Теперь подставим значение $d$ в первое уравнение ($5a_1 + 10d = 0,5$), чтобы найти $a_1$:

$5a_1 + 10(-1,1) = 0,5$

$5a_1 - 11 = 0,5$

$5a_1 = 11,5$

$a_1 = \frac{11,5}{5} = 2,3$

Теперь, зная $a_1$ и $d$, мы можем найти $a_{50}$:

$a_{50} = a_1 + 49d = 2,3 + 49 \cdot (-1,1) = 2,3 - 53,9 = -51,6$.

Ответ: $-51,6$.