Номер 660, страница 185 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Дополнительные упражнения к главе 5 - номер 660, страница 185.

Условие.

660. Члены арифметической прогрессии

2; 5; 8; …

с чётными номерами заменили противоположными им числами. В результате получили последовательность (xₙ). Напишите формулу n-го члена этой последовательности и найдите сумму первых пятидесяти её членов.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Напишите формулу n-го члена этой последовательности

Исходная последовательность 2; 5; 8; ... является арифметической прогрессией. Обозначим ее члены как $(a_n)$. Первый член этой прогрессии $a_1 = 2$. Найдем разность прогрессии $d$, вычтя первый член из второго: $d = a_2 - a_1 = 5 - 2 = 3$. Формула для n-го члена арифметической прогрессии имеет вид $a_n = a_1 + (n-1)d$. Подставив известные значения, получим формулу для n-го члена исходной прогрессии: $a_n = 2 + (n-1) \cdot 3 = 2 + 3n - 3 = 3n - 1$.

Новая последовательность $(x_n)$ получается из $(a_n)$ заменой членов с четными номерами $n$ на противоположные им числа. Это означает, что:
- если $n$ — нечетное число, то $x_n = a_n$;
- если $n$ — четное число, то $x_n = -a_n$.
Это можно записать в виде единой формулы, используя множитель $(-1)^{n+1}$, который равен 1 для нечетных $n$ и -1 для четных $n$. Таким образом, формула n-го члена новой последовательности $(x_n)$ такова: $x_n = (-1)^{n+1} \cdot a_n = (-1)^{n+1}(3n - 1)$.

Ответ: $x_n = (-1)^{n+1}(3n - 1)$.

Найдите сумму первых пятидесяти её членов

Нам необходимо найти сумму первых 50 членов последовательности $(x_n)$, то есть $S_{50} = x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + \dots + x_{49} + x_{50}$. Поскольку знаки членов последовательности чередуются, удобно сгруппировать слагаемые попарно: $S_{50} = (x_1 + x_2) + (x_3 + x_4) + \dots + (x_{49} + x_{50})$. Всего 50 членов, что составляет $50 / 2 = 25$ таких пар.

Рассмотрим сумму произвольной k-й пары $(x_{2k-1} + x_{2k})$, где $k$ принимает значения от 1 до 25. Член с нечетным номером: $x_{2k-1} = a_{2k-1} = 3(2k-1) - 1 = 6k - 3 - 1 = 6k - 4$. Член с четным номером: $x_{2k} = -a_{2k} = -(3(2k) - 1) = -(6k - 1) = 1 - 6k$. Сложим эти два члена, чтобы найти сумму пары: $x_{2k-1} + x_{2k} = (6k - 4) + (1 - 6k) = -3$.

Сумма каждой пары оказалась постоянной и равной -3. Поскольку у нас 25 таких пар, общая сумма первых пятидесяти членов будет равна произведению количества пар на сумму одной пары: $S_{50} = 25 \cdot (-3) = -75$.

Ответ: -75.