Номер 658, страница 184 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Дополнительные упражнения к главе 5 - номер 658, страница 184.

Условие.

658. Какова сумма натуральных чисел:

а) меньших 100 и не кратных 3;

б) больших 50, но меньших 150 и не кратных 5?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 7.

Решение 8.

а) Чтобы найти сумму натуральных чисел, меньших 100 и не кратных 3, мы сначала найдем сумму всех натуральных чисел от 1 до 99, а затем вычтем из нее сумму тех чисел из этого диапазона, которые кратны 3.

1. Найдем сумму всех натуральных чисел от 1 до 99. Эти числа образуют арифметическую прогрессию, где первый член $a_1 = 1$, последний член $a_{99} = 99$, и количество членов $n = 99$. Сумма находится по формуле:

$S_n = \frac{(a_1 + a_n)n}{2}$

$S_{1..99} = \frac{(1 + 99) \cdot 99}{2} = \frac{100 \cdot 99}{2} = 4950$

2. Теперь найдем сумму натуральных чисел от 1 до 99, которые кратны 3. Это числа 3, 6, 9, ..., 99. Они также образуют арифметическую прогрессию с разностью $d = 3$. Первый член этой прогрессии $b_1 = 3$, а последний $b_k = 99$. Найдем количество членов $k$:

$b_k = b_1 + (k-1)d$

$99 = 3 + (k-1) \cdot 3$

$96 = (k-1) \cdot 3$

$k-1 = 32$

$k = 33$

Сумма этих 33 чисел равна:

$S_{кратные\;3} = \frac{(b_1 + b_k)k}{2} = \frac{(3 + 99) \cdot 33}{2} = \frac{102 \cdot 33}{2} = 51 \cdot 33 = 1683$

3. Вычтем сумму чисел, кратных 3, из общей суммы, чтобы получить искомый результат:

$S = S_{1..99} - S_{кратные\;3} = 4950 - 1683 = 3267$

Ответ: 3267

б) Чтобы найти сумму натуральных чисел, больших 50, но меньших 150 и не кратных 5, мы найдем сумму всех натуральных чисел в диапазоне от 51 до 149, а затем вычтем из нее сумму тех чисел из этого диапазона, которые кратны 5.

1. Найдем сумму всех натуральных чисел от 51 до 149. Это арифметическая прогрессия. Первый член $a_1 = 51$, последний $a_n = 149$. Количество членов $n = 149 - 51 + 1 = 99$.

$S_{51..149} = \frac{(51 + 149) \cdot 99}{2} = \frac{200 \cdot 99}{2} = 100 \cdot 99 = 9900$

2. Найдем сумму чисел в этом диапазоне, которые кратны 5. Это числа 55, 60, ..., 145. Они образуют арифметическую прогрессию с разностью $d = 5$. Первый член $b_1 = 55$, последний $b_k = 145$. Найдем количество членов $k$:

$b_k = b_1 + (k-1)d$

$145 = 55 + (k-1) \cdot 5$

$90 = (k-1) \cdot 5$

$k-1 = 18$

$k = 19$

Сумма этих 19 чисел равна:

$S_{кратные\;5} = \frac{(b_1 + b_k)k}{2} = \frac{(55 + 145) \cdot 19}{2} = \frac{200 \cdot 19}{2} = 100 \cdot 19 = 1900$

3. Вычтем сумму чисел, кратных 5, из общей суммы чисел в диапазоне:

$S = S_{51..149} - S_{кратные\;5} = 9900 - 1900 = 8000$

Ответ: 8000