Номер 652, страница 184 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Дополнительные упражнения к главе 5. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии - номер 652, страница 184.

Условие.

652. Найдите сумму, слагаемыми которой являются последовательные члены арифметической прогрессии:

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а) Данная сумма $2 + 6 + 10 + \ldots + 198$ представляет собой сумму членов арифметической прогрессии. Определим её параметры. Первый член прогрессии $a_1 = 2$. Разность прогрессии $d$ можно найти как разность между вторым и первым членами: $d = 6 - 2 = 4$. Последний член прогрессии $a_n = 198$.
Для вычисления суммы необходимо найти количество членов $n$. Воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$. Подставим известные значения и решим уравнение относительно $n$:
$198 = 2 + (n-1) \cdot 4$
$198 - 2 = 4(n-1)$
$196 = 4(n-1)$
$n-1 = \frac{196}{4}$
$n-1 = 49$
$n = 50$
Теперь, зная, что в прогрессии 50 членов, мы можем найти её сумму по формуле $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.
$S_{50} = \frac{2 + 198}{2} \cdot 50 = \frac{200}{2} \cdot 50 = 100 \cdot 50 = 5000$.
Ответ: $5000$.

б) Сумма $95 + 85 + 75 + \ldots + (-155)$ также является суммой членов арифметической прогрессии. Определим её параметры. Первый член $a_1 = 95$. Разность прогрессии $d$ равна $d = 85 - 95 = -10$. Последний член $a_n = -155$.
Сначала найдем количество членов $n$ в этой прогрессии, используя формулу $a_n = a_1 + (n-1)d$. Подставим известные значения:
$-155 = 95 + (n-1) \cdot (-10)$
$-155 - 95 = -10(n-1)$
$-250 = -10(n-1)$
$n-1 = \frac{-250}{-10}$
$n-1 = 25$
$n = 26$
В прогрессии 26 членов. Теперь вычислим сумму по формуле $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.
$S_{26} = \frac{95 + (-155)}{2} \cdot 26 = \frac{95 - 155}{2} \cdot 26 = \frac{-60}{2} \cdot 26 = -30 \cdot 26 = -780$.
Ответ: $-780$.