Номер 655, страница 184 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Дополнительные упражнения к главе 5. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии - номер 655, страница 184.

Условие.

655. Найдите разность арифметической прогрессии (xₙ) и её первый член, если десятый член этой прогрессии равен 1 и сумма первых шестнадцати её членов равна 4.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Обозначим первый член арифметической прогрессии $(x_n)$ как $x_1$, а её разность как $d$.

По условию задачи, десятый член прогрессии равен 1 ($x_{10} = 1$). Используем формулу n-го члена арифметической прогрессии: $x_n = x_1 + (n-1)d$.

Для $n=10$ получаем:
$x_{10} = x_1 + (10-1)d = x_1 + 9d$.
Так как $x_{10} = 1$, мы можем составить первое уравнение:
$x_1 + 9d = 1$

Также по условию, сумма первых шестнадцати членов прогрессии равна 4 ($S_{16} = 4$). Используем формулу суммы первых n членов арифметической прогрессии: $S_n = \frac{2x_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$.

Для $n=16$ получаем:
$S_{16} = \frac{2x_1 + (16-1)d}{2} \cdot 16 = (2x_1 + 15d) \cdot 8$.
Так как $S_{16} = 4$, мы можем составить второе уравнение:
$(2x_1 + 15d) \cdot 8 = 4$
$2x_1 + 15d = \frac{4}{8}$
$2x_1 + 15d = \frac{1}{2}$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя неизвестными, $x_1$ и $d$:
$\begin{cases} x_1 + 9d = 1 \\ 2x_1 + 15d = \frac{1}{2} \end{cases}$

Решим эту систему. Из первого уравнения выразим $x_1$:
$x_1 = 1 - 9d$

Подставим это выражение во второе уравнение:
$2(1 - 9d) + 15d = \frac{1}{2}$

Теперь решим полученное уравнение относительно $d$:
$2 - 18d + 15d = \frac{1}{2}$
$2 - 3d = \frac{1}{2}$
$-3d = \frac{1}{2} - 2$
$-3d = -\frac{3}{2}$
$d = \frac{-3/2}{-3} = \frac{1}{2}$

Мы нашли разность прогрессии. Теперь найдем её первый член, подставив значение $d$ в выражение для $x_1$:
$x_1 = 1 - 9 \cdot \left(\frac{1}{2}\right) = 1 - \frac{9}{2} = \frac{2}{2} - \frac{9}{2} = -\frac{7}{2}$

Ответ: разность арифметической прогрессии равна $\frac{1}{2}$, её первый член равен $-\frac{7}{2}$.