Номер 651, страница 184 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

651. Найдите сумму первых десяти членов арифметической прогрессии:

Для нахождения суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии используется формула:

$S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$

где $a_1$ — первый член прогрессии, $d$ — разность прогрессии, $n$ — количество членов. В данной задаче нам нужно найти сумму первых десяти членов, поэтому $n=10$.

а) $ \frac{2}{3}; \frac{3}{4}; ... $

1. Найдем первый член и разность прогрессии.

Первый член прогрессии $a_1 = \frac{2}{3}$.

Второй член прогрессии $a_2 = \frac{3}{4}$.

Разность прогрессии $d$ равна разности между вторым и первым членами:

$d = a_2 - a_1 = \frac{3}{4} - \frac{2}{3}$

Приводим дроби к общему знаменателю 12:

$d = \frac{3 \cdot 3}{12} - \frac{2 \cdot 4}{12} = \frac{9-8}{12} = \frac{1}{12}$

2. Найдем сумму первых десяти членов ($S_{10}$).

Подставим значения $a_1 = \frac{2}{3}$, $d = \frac{1}{12}$ и $n = 10$ в формулу суммы:

$S_{10} = \frac{2 \cdot \frac{2}{3} + \frac{1}{12}(10-1)}{2} \cdot 10$

$S_{10} = \left( \frac{4}{3} + \frac{1}{12} \cdot 9 \right) \cdot 5$

$S_{10} = \left( \frac{4}{3} + \frac{9}{12} \right) \cdot 5$

Сократим дробь $\frac{9}{12}$ на 3, получим $\frac{3}{4}$:

$S_{10} = \left( \frac{4}{3} + \frac{3}{4} \right) \cdot 5$

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю 12:

$S_{10} = \left( \frac{16}{12} + \frac{9}{12} \right) \cdot 5 = \frac{25}{12} \cdot 5 = \frac{125}{12}$

Выделим целую часть:

$S_{10} = 10 \frac{5}{12}$

Ответ: $10 \frac{5}{12}$.

б) $ \sqrt{3}; \sqrt{12}; ... $

1. Упростим члены прогрессии, найдем первый член и разность.

Первый член прогрессии $a_1 = \sqrt{3}$.

Упростим второй член прогрессии: $a_2 = \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$.

Разность прогрессии $d$ равна разности между вторым и первым членами:

$d = a_2 - a_1 = 2\sqrt{3} - \sqrt{3} = \sqrt{3}$

2. Найдем сумму первых десяти членов ($S_{10}$).

Подставим значения $a_1 = \sqrt{3}$, $d = \sqrt{3}$ и $n = 10$ в формулу суммы:

$S_{10} = \frac{2 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3}(10-1)}{2} \cdot 10$

$S_{10} = (2\sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 9) \cdot 5$

$S_{10} = (2\sqrt{3} + 9\sqrt{3}) \cdot 5$

$S_{10} = (11\sqrt{3}) \cdot 5$

$S_{10} = 55\sqrt{3}$

Ответ: $55\sqrt{3}$.