Номер 654, страница 184 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

654. В арифметической прогрессии (aₙ):

Для решения задач воспользуемся основными формулами арифметической прогрессии:

• Формула n-го члена: $a_n = a_1 + (n-1)d$
• Формула суммы первых n членов: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$
• Альтернативная формула суммы: $S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$

а) Дано: $d = -0,4$, $n = 12$, $a_{12} = 2,4$. Найти $a_1$ и $S_{12}$.

1. Найдем первый член прогрессии $a_1$.
Воспользуемся формулой n-го члена: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Подставим известные значения для $n=12$:
$a_{12} = a_1 + (12-1)d$
$2,4 = a_1 + 11 \cdot (-0,4)$
$2,4 = a_1 - 4,4$
$a_1 = 2,4 + 4,4$
$a_1 = 6,8$

2. Найдем сумму первых 12 членов прогрессии $S_{12}$.
Воспользуемся формулой суммы: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.
Подставим известные значения:
$S_{12} = \frac{a_1 + a_{12}}{2} \cdot 12$
$S_{12} = \frac{6,8 + 2,4}{2} \cdot 12$
$S_{12} = \frac{9,2}{2} \cdot 12$
$S_{12} = 4,6 \cdot 12$
$S_{12} = 55,2$

Ответ: $a_1 = 6,8$; $S_{12} = 55,2$.

б) Дано: $a_1 = -35$, $d = 5$, $S_n = 250$. Найти $n$ и $a_n$.

1. Найдем количество членов прогрессии $n$.
Воспользуемся альтернативной формулой суммы: $S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$.
Подставим известные значения:
$250 = \frac{2 \cdot (-35) + (n-1) \cdot 5}{2} \cdot n$
$500 = (-70 + 5n - 5) \cdot n$
$500 = (5n - 75)n$
$500 = 5n^2 - 75n$
$5n^2 - 75n - 500 = 0$
Разделим обе части уравнения на 5:
$n^2 - 15n - 100 = 0$
Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-15)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-100) = 225 + 400 = 625$.
$n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{15 \pm \sqrt{625}}{2} = \frac{15 \pm 25}{2}$.
$n_1 = \frac{15 + 25}{2} = \frac{40}{2} = 20$
$n_2 = \frac{15 - 25}{2} = \frac{-10}{2} = -5$
Поскольку число членов прогрессии $n$ не может быть отрицательным, выбираем $n = 20$.

2. Найдем n-й член прогрессии $a_n = a_{20}$.
Воспользуемся формулой n-го члена: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
$a_{20} = -35 + (20-1) \cdot 5$
$a_{20} = -35 + 19 \cdot 5$
$a_{20} = -35 + 95$
$a_{20} = 60$

Ответ: $n = 20$; $a_n = 60$.

в) Дано: $d = \frac{1}{2}$, $a_n = 50$, $S_n = 2525$. Найти $a_1$ и $n$.

1. Составим систему уравнений с двумя неизвестными $a_1$ и $n$.
Из формулы n-го члена: $a_n = a_1 + (n-1)d \implies 50 = a_1 + (n-1)\frac{1}{2}$ (1)
Из формулы суммы: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n \implies 2525 = \frac{a_1 + 50}{2} \cdot n$ (2)

2. Решим систему уравнений. Выразим $a_1$ из первого уравнения:
$50 = a_1 + \frac{n}{2} - \frac{1}{2}$
$100 = 2a_1 + n - 1$
$2a_1 = 101 - n \implies a_1 = \frac{101 - n}{2}$

3. Подставим выражение для $a_1$ во второе уравнение:
$2525 = \frac{\frac{101 - n}{2} + 50}{2} \cdot n$
$2525 = \frac{\frac{101 - n + 100}{2}}{2} \cdot n$
$2525 = \frac{201 - n}{4} \cdot n$
$10100 = (201 - n)n$
$10100 = 201n - n^2$
$n^2 - 201n + 10100 = 0$
Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-201)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10100 = 40401 - 40400 = 1$.
$n = \frac{201 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{201 \pm 1}{2}$.
Получаем два возможных значения для $n$:
$n_1 = \frac{201 + 1}{2} = 101$
$n_2 = \frac{201 - 1}{2} = 100$

4. Найдем соответствующее значение $a_1$ для каждого $n$.
Если $n = 101$, то $a_1 = \frac{101 - 101}{2} = 0$.
Если $n = 100$, то $a_1 = \frac{101 - 100}{2} = \frac{1}{2}$.
Оба решения удовлетворяют условиям задачи.

Ответ: задача имеет два решения: 1) $a_1 = 0$, $n = 101$; 2) $a_1 = \frac{1}{2}$, $n = 100$.

г) Дано: $a_1 = -\frac{1}{2}$, $a_n = -29\frac{1}{2}$, $S_n = -450$. Найти $d$ и $n$.

1. Найдем количество членов прогрессии $n$.
Воспользуемся формулой суммы: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.
Представим $a_n = -29\frac{1}{2}$ как $-\frac{59}{2}$.
$-450 = \frac{-\frac{1}{2} + (-\frac{59}{2})}{2} \cdot n$
$-450 = \frac{-\frac{60}{2}}{2} \cdot n$
$-450 = \frac{-30}{2} \cdot n$
$-450 = -15n$
$n = \frac{-450}{-15} = 30$

2. Найдем разность прогрессии $d$.
Воспользуемся формулой n-го члена: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Подставим $n=30$:
$a_{30} = a_1 + (30-1)d$
$-\frac{59}{2} = -\frac{1}{2} + 29d$
$-\frac{59}{2} + \frac{1}{2} = 29d$
$-\frac{58}{2} = 29d$
$-29 = 29d$
$d = -1$

Ответ: $d = -1$; $n = 30$.