Номер 659, страница 185 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Дополнительные упражнения к главе 5. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии - номер 659, страница 185.

Условие.

659. Найдите натуральное число, которое:

а) в 5 раз меньше суммы предшествующих ему натуральных чисел;

б) равно сумме предшествующих ему натуральных чисел.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а) в 5 раз меньше суммы предшествующих ему натуральных чисел;

Пусть искомое натуральное число – это $n$. Поскольку у него есть предшествующие натуральные числа, $n > 1$. Ряд предшествующих натуральных чисел: $1, 2, 3, \ldots, n-1$. Сумма этих чисел представляет собой сумму членов арифметической прогрессии, которую можно найти по формуле: $S_{n-1} = \frac{(1 + (n-1)) \cdot (n-1)}{2} = \frac{n(n-1)}{2}$.

По условию задачи, искомое число $n$ в 5 раз меньше этой суммы. Составим уравнение: $n = \frac{S_{n-1}}{5}$ $5n = S_{n-1}$ Подставим выражение для суммы: $5n = \frac{n(n-1)}{2}$ Поскольку $n$ – натуральное число и $n > 1$, мы можем разделить обе части уравнения на $n$: $5 = \frac{n-1}{2}$ Теперь решим это уравнение относительно $n$: $10 = n-1$ $n = 11$

Проверим: предшествующие числу 11 натуральные числа – это $1, 2, \ldots, 10$. Их сумма равна $\frac{10(10+1)}{2} = \frac{110}{2} = 55$. Проверим условие: $11 = \frac{55}{5}$. Условие выполняется.
Ответ: 11

б) равно сумме предшествующих ему натуральных чисел.

Пусть искомое натуральное число – это $n$, где $n > 1$. Сумма предшествующих ему натуральных чисел, как и в предыдущем пункте, равна: $S_{n-1} = \frac{n(n-1)}{2}$.

По условию задачи, число $n$ равно этой сумме. Составим уравнение: $n = S_{n-1}$ $n = \frac{n(n-1)}{2}$ Разделим обе части уравнения на $n$ (так как $n > 1$): $1 = \frac{n-1}{2}$ Решим уравнение: $2 = n-1$ $n = 3$

Проверим: предшествующие числу 3 натуральные числа – это 1 и 2. Их сумма равна $1 + 2 = 3$. Искомое число 3 равно сумме предшествующих ему чисел. Условие выполняется.
Ответ: 3