Номер 662, страница 185 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Дополнительные упражнения к главе 5. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии - номер 662, страница 185.

Условие.

662. Найдите:

а) сумму всех положительных членов арифметической прогрессии 8,2; 7,4; … ;

б) сумму всех отрицательных членов арифметической прогрессии –6,5; –6; … .

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а) сумму всех положительных членов арифметической прогрессии 8,2; 7,4; … ;

Для начала определим параметры данной арифметической прогрессии. Первый член прогрессии $a_1 = 8,2$. Второй член прогрессии $a_2 = 7,4$.

Найдем разность прогрессии $d$:

$d = a_2 - a_1 = 7,4 - 8,2 = -0,8$.

Чтобы найти сумму всех положительных членов, нам нужно определить, сколько членов в этой прогрессии являются положительными. Для этого решим неравенство $a_n > 0$, где $a_n$ — n-й член прогрессии, который находится по формуле $a_n = a_1 + (n-1)d$.

$8,2 + (n-1)(-0,8) > 0$

$8,2 - 0,8n + 0,8 > 0$

$9 - 0,8n > 0$

$9 > 0,8n$

$n < \frac{9}{0,8}$

$n < 11,25$

Поскольку номер члена прогрессии $n$ должен быть целым числом, то положительными будут члены с 1-го по 11-й включительно. Таким образом, в прогрессии 11 положительных членов.

Теперь нужно найти сумму этих 11 членов. Воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.

Сначала найдем последний положительный член, то есть $a_{11}$:

$a_{11} = a_1 + (11-1)d = 8,2 + 10 \cdot (-0,8) = 8,2 - 8 = 0,2$.

Теперь вычислим сумму $S_{11}$:

$S_{11} = \frac{a_1 + a_{11}}{2} \cdot 11 = \frac{8,2 + 0,2}{2} \cdot 11 = \frac{8,4}{2} \cdot 11 = 4,2 \cdot 11 = 46,2$.

Ответ: 46,2

б) сумму всех отрицательных членов арифметической прогрессии –6,5; –6; … .

Определим параметры данной арифметической прогрессии. Первый член прогрессии $a_1 = -6,5$. Второй член прогрессии $a_2 = -6$.

Найдем разность прогрессии $d$:

$d = a_2 - a_1 = -6 - (-6,5) = -6 + 6,5 = 0,5$.

Чтобы найти сумму всех отрицательных членов, определим, сколько членов в этой прогрессии являются отрицательными. Для этого решим неравенство $a_n < 0$.

$-6,5 + (n-1) \cdot 0,5 < 0$

$-6,5 + 0,5n - 0,5 < 0$

$-7 + 0,5n < 0$

$0,5n < 7$

$n < \frac{7}{0,5}$

$n < 14$

Следовательно, отрицательными будут члены с 1-го по 13-й включительно. Всего в прогрессии 13 отрицательных членов.

Теперь найдем сумму этих 13 членов. Воспользуемся формулой $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.

Сначала найдем последний отрицательный член, то есть $a_{13}$:

$a_{13} = a_1 + (13-1)d = -6,5 + 12 \cdot 0,5 = -6,5 + 6 = -0,5$.

Теперь вычислим сумму $S_{13}$:

$S_{13} = \frac{a_1 + a_{13}}{2} \cdot 13 = \frac{-6,5 + (-0,5)}{2} \cdot 13 = \frac{-7}{2} \cdot 13 = -3,5 \cdot 13 = -45,5$.

Ответ: -45,5