Номер 668, страница 186 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Дополнительные упражнения к главе 5. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии - номер 668, страница 186.

Условие.

668. Найдите обозначенные буквами члены геометрической прогрессии (bₙ):

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а)

Дана геометрическая прогрессия $b_n$: $b_1; b_2; 225; -135; 81; b_6; ...$

Из условия задачи нам известны третий, четвертый и пятый члены прогрессии: $b_3 = 225$, $b_4 = -135$ и $b_5 = 81$.

Знаменатель геометрической прогрессии $q$ можно найти, разделив любой член прогрессии на предыдущий. Найдем $q$, используя известные члены $b_4$ и $b_3$:

$q = \frac{b_4}{b_3} = \frac{-135}{225}$

Сократим эту дробь на 45:

$q = \frac{-135 \div 45}{225 \div 45} = -\frac{3}{5}$

Для проверки можно использовать $b_5$ и $b_4$:

$q = \frac{b_5}{b_4} = \frac{81}{-135} = -\frac{81 \div 27}{135 \div 27} = -\frac{3}{5}$

Теперь, зная знаменатель $q$, мы можем найти недостающие члены прогрессии. Члены геометрической прогрессии связаны соотношением $b_n = b_{n-1} \cdot q$. Следовательно, $b_{n-1} = \frac{b_n}{q}$.

Найдем $b_2$:

$b_2 = \frac{b_3}{q} = \frac{225}{-\frac{3}{5}} = 225 \cdot (-\frac{5}{3}) = -75 \cdot 5 = -375$

Найдем $b_1$:

$b_1 = \frac{b_2}{q} = \frac{-375}{-\frac{3}{5}} = -375 \cdot (-\frac{5}{3}) = 125 \cdot 5 = 625$

Найдем $b_6$, используя формулу $b_{n+1} = b_n \cdot q$:

$b_6 = b_5 \cdot q = 81 \cdot (-\frac{3}{5}) = -\frac{243}{5} = -48,6$

Ответ: $b_1 = 625$; $b_2 = -375$; $b_6 = -48,6$.

б)

Дана геометрическая прогрессия $b_n$: $b_1; b_2; b_3; 36; 54; ...$

Из условия нам известны четвертый и пятый члены прогрессии: $b_4 = 36$ и $b_5 = 54$.

Найдем знаменатель геометрической прогрессии $q$:

$q = \frac{b_5}{b_4} = \frac{54}{36}$

Сократим эту дробь на 18:

$q = \frac{54 \div 18}{36 \div 18} = \frac{3}{2}$

Теперь найдем неизвестные члены прогрессии, двигаясь в обратном порядке от известных членов, используя формулу $b_{n-1} = \frac{b_n}{q}$.

Найдем $b_3$:

$b_3 = \frac{b_4}{q} = \frac{36}{\frac{3}{2}} = 36 \cdot \frac{2}{3} = 12 \cdot 2 = 24$

Найдем $b_2$:

$b_2 = \frac{b_3}{q} = \frac{24}{\frac{3}{2}} = 24 \cdot \frac{2}{3} = 8 \cdot 2 = 16$

Найдем $b_1$:

$b_1 = \frac{b_2}{q} = \frac{16}{\frac{3}{2}} = 16 \cdot \frac{2}{3} = \frac{32}{3}$

Ответ: $b_1 = \frac{32}{3}$; $b_2 = 16$; $b_3 = 24$.