Номер 673, страница 186 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Дополнительные упражнения к главе 5. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии - номер 673, страница 186.

Условие.

673. Первый и девятый члены геометрической прогрессии равны соответственно 135 и $\frac{5}{3}$. Найдите заключённые между ними члены этой прогрессии.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Пусть $b_n$ – данная геометрическая прогрессия. По условию, её первый член $b_1 = 135$, а девятый член $b_9 = \frac{5}{3}$.

Формула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $q$ – знаменатель прогрессии.

Применим эту формулу для девятого члена прогрессии: $b_9 = b_1 \cdot q^{9-1} = b_1 \cdot q^8$.

Подставим известные значения в формулу, чтобы найти знаменатель $q$:
$\frac{5}{3} = 135 \cdot q^8$

Из этого уравнения выразим $q^8$:
$q^8 = \frac{5}{3 \cdot 135} = \frac{5}{405} = \frac{1}{81}$.

Так как показатель степени $8$ является чётным, уравнение $q^8 = \frac{1}{81}$ имеет два действительных решения для $q$:
$q = \pm \sqrt[8]{\frac{1}{81}} = \pm \sqrt[8]{\frac{1}{3^4}} = \pm \frac{1}{3^{4/8}} = \pm \frac{1}{3^{1/2}} = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$.

Следовательно, существуют две возможные последовательности. Найдём члены, заключённые между первым и девятым ($b_2, b_3, b_4, b_5, b_6, b_7, b_8$) для каждого случая.

Если знаменатель $q = \frac{1}{\sqrt{3}}$, то члены прогрессии будут следующими:
$b_2 = b_1 \cdot q = 135 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{135\sqrt{3}}{3} = 45\sqrt{3}$
$b_3 = b_2 \cdot q = 45\sqrt{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = 45$
$b_4 = b_3 \cdot q = 45 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{45\sqrt{3}}{3} = 15\sqrt{3}$
$b_5 = b_4 \cdot q = 15\sqrt{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = 15$
$b_6 = b_5 \cdot q = 15 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{15\sqrt{3}}{3} = 5\sqrt{3}$
$b_7 = b_6 \cdot q = 5\sqrt{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = 5$
$b_8 = b_7 \cdot q = 5 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{3}}{3}$

Если знаменатель $q = -\frac{1}{\sqrt{3}}$, то знаки членов прогрессии будут чередоваться:
$b_2 = 135 \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = -45\sqrt{3}$
$b_3 = -45\sqrt{3} \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = 45$
$b_4 = 45 \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = -15\sqrt{3}$
$b_5 = -15\sqrt{3} \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = 15$
$b_6 = 15 \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = -5\sqrt{3}$
$b_7 = -5\sqrt{3} \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = 5$
$b_8 = 5 \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = -\frac{5\sqrt{3}}{3}$

Ответ: Существуют два набора искомых членов прогрессии: $45\sqrt{3}, 45, 15\sqrt{3}, 15, 5\sqrt{3}, 5, \frac{5\sqrt{3}}{3}$ или $-45\sqrt{3}, 45, -15\sqrt{3}, 15, -5\sqrt{3}, 5, -\frac{5\sqrt{3}}{3}$.