Номер 678, страница 187 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Авторы: Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И., Суворова С. Б.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2023 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: белый, зелёный, фиолетовый
ISBN: 978-5-09-112135-3
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 9 классе
Дополнительные упражнения к главе 5. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии - номер 678, страница 187.
№678 (с. 187)
Условие. №678 (с. 187)
скриншот условия

678. Сумму первых n членов последовательности (xₙ) можно найти по формуле

Докажите, что последовательность (xₙ) — геометрическая прогрессия. Найдите знаменатель и первый член этой прогрессии.
Решение 1. №678 (с. 187)


Решение 2. №678 (с. 187)

Решение 3. №678 (с. 187)

Решение 4. №678 (с. 187)

Решение 5. №678 (с. 187)

Решение 7. №678 (с. 187)

Решение 8. №678 (с. 187)
Докажите, что последовательность ($x_n$) — геометрическая прогрессия.
Чтобы доказать, что последовательность ($x_n$) является геометрической прогрессией, необходимо найти формулу для ее n-го члена и показать, что отношение любого члена, начиная со второго, к предыдущему является постоянной величиной (знаменателем прогрессии q).
Сумма первых n членов последовательности задана формулой $S_n = \frac{3}{4}(5^n - 1)$.
Первый член последовательности $x_1$ равен сумме первого члена $S_1$: $x_1 = S_1 = \frac{3}{4}(5^1 - 1) = \frac{3}{4}(4) = 3$.
Для $n \ge 2$ n-й член последовательности можно найти как разность $x_n = S_n - S_{n-1}$: $x_n = \frac{3}{4}(5^n - 1) - \frac{3}{4}(5^{n-1} - 1)$.
Вынесем общий множитель $\frac{3}{4}$ за скобки и упростим выражение: $x_n = \frac{3}{4}((5^n - 1) - (5^{n-1} - 1)) = \frac{3}{4}(5^n - 1 - 5^{n-1} + 1) = \frac{3}{4}(5^n - 5^{n-1})$.
Вынесем за скобки $5^{n-1}$: $x_n = \frac{3}{4}(5 \cdot 5^{n-1} - 5^{n-1}) = \frac{3}{4}(5^{n-1}(5-1)) = \frac{3}{4}(5^{n-1} \cdot 4) = 3 \cdot 5^{n-1}$.
Мы получили формулу для n-го члена: $x_n = 3 \cdot 5^{n-1}$. Проверим, верна ли она для $n=1$: $x_1 = 3 \cdot 5^{1-1} = 3 \cdot 5^0 = 3 \cdot 1 = 3$. Формула верна для всех натуральных n.
Теперь найдем отношение $\frac{x_n}{x_{n-1}}$: $\frac{x_n}{x_{n-1}} = \frac{3 \cdot 5^{n-1}}{3 \cdot 5^{(n-1)-1}} = \frac{5^{n-1}}{5^{n-2}} = 5^{(n-1)-(n-2)} = 5^{1} = 5$.
Так как отношение $\frac{x_n}{x_{n-1}}$ постоянно и равно 5 для любого $n \ge 2$, то последовательность ($x_n$) является геометрической прогрессией.
Ответ: Доказано. Поскольку отношение каждого последующего члена к предыдущему постоянно ($q=5$), последовательность является геометрической прогрессией.
Найдите знаменатель и первый член этой прогрессии.
В ходе доказательства было установлено, что знаменатель прогрессии q, равный отношению $\frac{x_n}{x_{n-1}}$, составляет: $q = 5$.
Первый член прогрессии $x_1$ был вычислен в самом начале: $x_1 = 3$.
Ответ: Знаменатель прогрессии $q=5$, первый член $x_1=3$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 9 класс, для упражнения номер 678 расположенного на странице 187 к учебнику 2023 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №678 (с. 187), авторов: Макарычев (Юрий Николаевич), Миндюк (Нора Григорьевна), Нешков (Константин Иванович), Суворова (Светлана Борисовна), ФГОС (новый, красный) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.