Номер 678, страница 187 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Дополнительные упражнения к главе 5 - номер 678, страница 187.

Условие.

678. Сумму первых n членов последовательности (xₙ) можно найти по формуле

Докажите, что последовательность (xₙ) — геометрическая прогрессия. Найдите знаменатель и первый член этой прогрессии.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Докажите, что последовательность ($x_n$) — геометрическая прогрессия.

Чтобы доказать, что последовательность ($x_n$) является геометрической прогрессией, необходимо найти формулу для ее n-го члена и показать, что отношение любого члена, начиная со второго, к предыдущему является постоянной величиной (знаменателем прогрессии q).

Сумма первых n членов последовательности задана формулой $S_n = \frac{3}{4}(5^n - 1)$.

Первый член последовательности $x_1$ равен сумме первого члена $S_1$: $x_1 = S_1 = \frac{3}{4}(5^1 - 1) = \frac{3}{4}(4) = 3$.

Для $n \ge 2$ n-й член последовательности можно найти как разность $x_n = S_n - S_{n-1}$: $x_n = \frac{3}{4}(5^n - 1) - \frac{3}{4}(5^{n-1} - 1)$.

Вынесем общий множитель $\frac{3}{4}$ за скобки и упростим выражение: $x_n = \frac{3}{4}((5^n - 1) - (5^{n-1} - 1)) = \frac{3}{4}(5^n - 1 - 5^{n-1} + 1) = \frac{3}{4}(5^n - 5^{n-1})$.

Вынесем за скобки $5^{n-1}$: $x_n = \frac{3}{4}(5 \cdot 5^{n-1} - 5^{n-1}) = \frac{3}{4}(5^{n-1}(5-1)) = \frac{3}{4}(5^{n-1} \cdot 4) = 3 \cdot 5^{n-1}$.

Мы получили формулу для n-го члена: $x_n = 3 \cdot 5^{n-1}$. Проверим, верна ли она для $n=1$: $x_1 = 3 \cdot 5^{1-1} = 3 \cdot 5^0 = 3 \cdot 1 = 3$. Формула верна для всех натуральных n.

Теперь найдем отношение $\frac{x_n}{x_{n-1}}$: $\frac{x_n}{x_{n-1}} = \frac{3 \cdot 5^{n-1}}{3 \cdot 5^{(n-1)-1}} = \frac{5^{n-1}}{5^{n-2}} = 5^{(n-1)-(n-2)} = 5^{1} = 5$.

Так как отношение $\frac{x_n}{x_{n-1}}$ постоянно и равно 5 для любого $n \ge 2$, то последовательность ($x_n$) является геометрической прогрессией.

Ответ: Доказано. Поскольку отношение каждого последующего члена к предыдущему постоянно ($q=5$), последовательность является геометрической прогрессией.

Найдите знаменатель и первый член этой прогрессии.

В ходе доказательства было установлено, что знаменатель прогрессии q, равный отношению $\frac{x_n}{x_{n-1}}$, составляет: $q = 5$.

Первый член прогрессии $x_1$ был вычислен в самом начале: $x_1 = 3$.

Ответ: Знаменатель прогрессии $q=5$, первый член $x_1=3$.