Номер 679, страница 187 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Дополнительные упражнения к главе 5. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии - номер 679, страница 187.

Условие.

679. Геометрическая прогрессия состоит из пятнадцати членов. Сумма первых пяти членов равна $\frac{11}{64}$, а сумма следующих пяти членов равна -5$\frac{1}{2}$, Найдите сумму последних пяти членов этой прогрессии.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Пусть $b_n$ – заданная геометрическая прогрессия, где $b_1$ – её первый член, а $q$ – её знаменатель. Всего в прогрессии 15 членов.

По условию задачи, сумма первых пяти членов равна $\frac{11}{64}$. Обозначим эту сумму как $S_A$:$S_A = b_1 + b_2 + b_3 + b_4 + b_5 = \frac{11}{64}$.

Сумма следующих пяти членов (с 6-го по 10-й) равна $-5\frac{1}{2}$. Обозначим эту сумму как $S_B$:$S_B = b_6 + b_7 + b_8 + b_9 + b_{10} = -5\frac{1}{2} = -\frac{11}{2}$.

Нам необходимо найти сумму последних пяти членов (с 11-го по 15-й). Обозначим эту сумму как $S_C$:$S_C = b_{11} + b_{12} + b_{13} + b_{14} + b_{15}$.

Установим связь между этими суммами. Каждый член в сумме $S_B$ можно получить из соответствующего члена суммы $S_A$ умножением на $q^5$. Например, $b_6 = b_1 \cdot q^5$, $b_7 = b_2 \cdot q^5$, и так далее до $b_{10} = b_5 \cdot q^5$.Таким образом, сумму $S_B$ можно выразить через $S_A$:$S_B = b_1q^5 + b_2q^5 + b_3q^5 + b_4q^5 + b_5q^5 = q^5(b_1 + b_2 + b_3 + b_4 + b_5) = q^5 \cdot S_A$.

Используя известные значения $S_A$ и $S_B$, найдем $q^5$:$S_B = q^5 \cdot S_A$$-\frac{11}{2} = q^5 \cdot \frac{11}{64}$

Выразим $q^5$:$q^5 = \left(-\frac{11}{2}\right) \div \left(\frac{11}{64}\right) = -\frac{11}{2} \cdot \frac{64}{11} = -\frac{64}{2} = -32$.

Аналогичным образом, каждый член суммы $S_C$ можно получить из соответствующего члена суммы $S_B$ умножением на $q^5$: $b_{11} = b_6 \cdot q^5$, $b_{12} = b_7 \cdot q^5$, и так далее до $b_{15} = b_{10} \cdot q^5$.Следовательно, сумму $S_C$ можно выразить через $S_B$:$S_C = b_6q^5 + b_7q^5 + b_8q^5 + b_9q^5 + b_{10}q^5 = q^5(b_6 + b_7 + b_8 + b_9 + b_{10}) = q^5 \cdot S_B$.

Это означает, что суммы блоков по пять последовательных членов ($S_A, S_B, S_C$) сами образуют геометрическую прогрессию со знаменателем, равным $q^5$.

Теперь мы можем вычислить искомую сумму $S_C$:$S_C = q^5 \cdot S_B = (-32) \cdot \left(-\frac{11}{2}\right)$$S_C = \frac{32 \cdot 11}{2} = 16 \cdot 11 = 176$.

Ответ: 176.