Номер 680, страница 187 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Дополнительные упражнения к главе 5 - номер 680, страница 187.

Условие.

680. Упростите выражение, применив формулу суммы первых n членов геометрической прогрессии:

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а) Выражение $1 + x + x^2 + x^3 + x^4$ представляет собой сумму членов геометрической прогрессии. Определим её параметры:

• Первый член $b_1 = 1$.
• Знаменатель прогрессии $q = \frac{x}{1} = x$.
• Количество членов $n = 5$ (от $x^0$ до $x^4$).

Формула суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии имеет вид: $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$.

По условию задачи $x \neq 1$, следовательно, знаменатель прогрессии $q \neq 1$, и мы можем применить эту формулу. Подставим в неё найденные параметры:

$S_5 = \frac{1 \cdot (x^5 - 1)}{x - 1} = \frac{x^5 - 1}{x - 1}$.

Ответ: $\frac{x^5 - 1}{x - 1}$.

б) Выражение $1 - x + x^2 - x^3 + x^4 - x^5 + x^6$ также является суммой членов геометрической прогрессии. Его можно представить в виде $1 + (-x) + (-x)^2 + (-x)^3 + (-x)^4 + (-x)^5 + (-x)^6$. Определим параметры этой прогрессии:

• Первый член $b_1 = 1$.
• Знаменатель прогрессии $q = \frac{-x}{1} = -x$.
• Количество членов $n = 7$ (от $(-x)^0$ до $(-x)^6$).

Используем ту же формулу суммы $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$.

По условию $x \neq -1$, следовательно, знаменатель прогрессии $q = -x \neq 1$, что позволяет применить формулу. Подставляем значения:

$S_7 = \frac{1 \cdot ((-x)^7 - 1)}{-x - 1} = \frac{-x^7 - 1}{-x - 1}$.

Вынесем знак минуса из числителя и знаменателя:

$S_7 = \frac{-(x^7 + 1)}{-(x + 1)} = \frac{x^7 + 1}{x + 1}$.

Ответ: $\frac{x^7 + 1}{x + 1}$.