Номер 680, страница 187 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Алгебра, 9 класс Учебник, авторы: Макарычев Юрий Николаевич, Миндюк Нора Григорьевна, Нешков Константин Иванович, Суворова Светлана Борисовна, издательство Просвещение, Москва, 2023, белого цвета

Авторы: Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И., Суворова С. Б.

Тип: Учебник

Издательство: Просвещение

Год издания: 2023 - 2025

Уровень обучения: базовый

Цвет обложки: белый, зелёный, фиолетовый

ISBN: 978-5-09-112135-3

Допущено Министерством просвещения Российской Федерации

Популярные ГДЗ в 9 классе

Дополнительные упражнения к главе 5. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии - номер 680, страница 187.

№680 (с. 187)
Условие. №680 (с. 187)
скриншот условия
Алгебра, 9 класс Учебник, авторы: Макарычев Юрий Николаевич, Миндюк Нора Григорьевна, Нешков Константин Иванович, Суворова Светлана Борисовна, издательство Просвещение, Москва, 2023, белого цвета, страница 187, номер 680, Условие

680. Упростите выражение, применив формулу суммы первых n членов геометрической прогрессии:

Упростить выражение, применив формулу суммы первых n членов геометрической прогрессии
Решение 1. №680 (с. 187)
Алгебра, 9 класс Учебник, авторы: Макарычев Юрий Николаевич, Миндюк Нора Григорьевна, Нешков Константин Иванович, Суворова Светлана Борисовна, издательство Просвещение, Москва, 2023, белого цвета, страница 187, номер 680, Решение 1
Решение 2. №680 (с. 187)
Алгебра, 9 класс Учебник, авторы: Макарычев Юрий Николаевич, Миндюк Нора Григорьевна, Нешков Константин Иванович, Суворова Светлана Борисовна, издательство Просвещение, Москва, 2023, белого цвета, страница 187, номер 680, Решение 2 Алгебра, 9 класс Учебник, авторы: Макарычев Юрий Николаевич, Миндюк Нора Григорьевна, Нешков Константин Иванович, Суворова Светлана Борисовна, издательство Просвещение, Москва, 2023, белого цвета, страница 187, номер 680, Решение 2 (продолжение 2)
Решение 3. №680 (с. 187)
Алгебра, 9 класс Учебник, авторы: Макарычев Юрий Николаевич, Миндюк Нора Григорьевна, Нешков Константин Иванович, Суворова Светлана Борисовна, издательство Просвещение, Москва, 2023, белого цвета, страница 187, номер 680, Решение 3
Решение 4. №680 (с. 187)
Алгебра, 9 класс Учебник, авторы: Макарычев Юрий Николаевич, Миндюк Нора Григорьевна, Нешков Константин Иванович, Суворова Светлана Борисовна, издательство Просвещение, Москва, 2023, белого цвета, страница 187, номер 680, Решение 4
Решение 5. №680 (с. 187)
Алгебра, 9 класс Учебник, авторы: Макарычев Юрий Николаевич, Миндюк Нора Григорьевна, Нешков Константин Иванович, Суворова Светлана Борисовна, издательство Просвещение, Москва, 2023, белого цвета, страница 187, номер 680, Решение 5
Решение 7. №680 (с. 187)
Алгебра, 9 класс Учебник, авторы: Макарычев Юрий Николаевич, Миндюк Нора Григорьевна, Нешков Константин Иванович, Суворова Светлана Борисовна, издательство Просвещение, Москва, 2023, белого цвета, страница 187, номер 680,  Решение 7
Решение 8. №680 (с. 187)

а) Выражение $1 + x + x^2 + x^3 + x^4$ представляет собой сумму членов геометрической прогрессии. Определим её параметры:

  • Первый член $b_1 = 1$.
  • Знаменатель прогрессии $q = \frac{x}{1} = x$.
  • Количество членов $n = 5$ (от $x^0$ до $x^4$).

Формула суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии имеет вид: $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$.

По условию задачи $x \neq 1$, следовательно, знаменатель прогрессии $q \neq 1$, и мы можем применить эту формулу. Подставим в неё найденные параметры:

$S_5 = \frac{1 \cdot (x^5 - 1)}{x - 1} = \frac{x^5 - 1}{x - 1}$.

Ответ: $\frac{x^5 - 1}{x - 1}$.

б) Выражение $1 - x + x^2 - x^3 + x^4 - x^5 + x^6$ также является суммой членов геометрической прогрессии. Его можно представить в виде $1 + (-x) + (-x)^2 + (-x)^3 + (-x)^4 + (-x)^5 + (-x)^6$. Определим параметры этой прогрессии:

  • Первый член $b_1 = 1$.
  • Знаменатель прогрессии $q = \frac{-x}{1} = -x$.
  • Количество членов $n = 7$ (от $(-x)^0$ до $(-x)^6$).

Используем ту же формулу суммы $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$.

По условию $x \neq -1$, следовательно, знаменатель прогрессии $q = -x \neq 1$, что позволяет применить формулу. Подставляем значения:

$S_7 = \frac{1 \cdot ((-x)^7 - 1)}{-x - 1} = \frac{-x^7 - 1}{-x - 1}$.

Вынесем знак минуса из числителя и знаменателя:

$S_7 = \frac{-(x^7 + 1)}{-(x + 1)} = \frac{x^7 + 1}{x + 1}$.

Ответ: $\frac{x^7 + 1}{x + 1}$.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 9 класс, для упражнения номер 680 расположенного на странице 187 к учебнику 2023 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №680 (с. 187), авторов: Макарычев (Юрий Николаевич), Миндюк (Нора Григорьевна), Нешков (Константин Иванович), Суворова (Светлана Борисовна), ФГОС (новый, красный) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.